Aufgaben:Aufgabe 1.5: Karten ziehen: Unterschied zwischen den Versionen

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Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
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Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
  
*Für die Teilaufgabe '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
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*Für die Teilaufgabe  '''(1)'''  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
  
  
*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
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*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab  '''(2)'''  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
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Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
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Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
 
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
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{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
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{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
 
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$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
 
$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_2$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_2$ kleiner/gleich/größer als $p_1$?
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{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
 
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{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
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{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
 
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$p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
 
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
 
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind? ''Hinweis'': Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$ ein vollständiges System beschreiben.
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind?&nbsp; <br>''Hinweis'':&nbsp; Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; ein vollständiges System beschreiben.
 
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$p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }
 
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'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig;&nbsp; $(1/8)$:
 
:$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
 
:$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Nun erh&auml;lt man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
 
'''(2)'''&nbsp; Nun erh&auml;lt man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
 
:$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
 
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Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar. Man erhält hierfür $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
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*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.&nbsp; Man erhält hierfür&nbsp; $k/m$&nbsp; (bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse im Stapel):
 
:$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
 
:$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
Man erkennt: &nbsp;  $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
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*Man erkennt: &nbsp;  $p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
  
  
'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erh&auml;lt man hier:
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'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erh&auml;lt man hier:
 
:$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
 
:$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
 
'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
 
:$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
 
:$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
:$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
:$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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::$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
:$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =  Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
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::$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =  Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?  
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*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?  
  
 
*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.  
 
*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.  
  
Damit erh&auml;lt man für die Summe $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
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*Damit erh&auml;lt man für die Summe&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
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'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse $E_i :=$ &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit den Index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
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'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
 
:$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 
:$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 
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Aktuelle Version vom 9. November 2019, 17:29 Uhr

Wunschergebnis „Drei Asse”

Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.

  • Für die Teilaufgabe  (1)  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.


  • Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab  (2)  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).


Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.





Hinweise:

  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.


Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?

$p_1 \ = \ $

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit  $p_2$  werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?  Warum ist  $p_2$  kleiner/gleich/größer als  $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_3 \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?

$p_4 \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind? 
Hinweis:  Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$  ein vollständiges System beschreiben.

$p_5 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass genau gleich groß  $(1/8)$:

$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$


(2)  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
  • Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.  Man erhält hierfür  $k/m$  (bei  $m$  Karten sind noch  $k$  Asse im Stapel):
$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
  • Man erkennt:   $p_2$  ist kleiner als  $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.


(3)  Analog zur Teilaufgabe  (2)  erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$


(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:

$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) = {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) = Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
  • Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
  • Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
  • Damit erhält man für die Summe  $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.


(5)  Definiert man die Ereignisse  $E_i :=$  „Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen” mit Index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$,
        so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und  $E_3$  ein vollständiges System. Deshalb gilt:

$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$