Aufgaben:Aufgabe 1.5: Karten ziehen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
[[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis „Drei Asse”]]
 
[[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis „Drei Asse”]]
Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
+
Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
  
*Für die Teilaufgabe '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
+
*Für die Teilaufgabe  '''(1)'''  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
  
  
*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
+
*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab  '''(2)'''  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
 +
 
 +
 
 +
Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
 +
 
  
  
Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
 
  
  
Zeile 19: Zeile 22:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
+
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
:[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+
::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
  
  
Zeile 29: Zeile 32:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
+
{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
 
$p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_2$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_2$ kleiner/gleich/größer als $p_1$?
+
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
 
$p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
  
{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
+
{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
 
$p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
 
$p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind? ''Hinweis'': Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$ ein vollständiges System beschreiben.
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind?&nbsp; <br>''Hinweis'':&nbsp; Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; ein vollständiges System beschreiben.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }
 
$p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }

Version vom 9. November 2019, 17:21 Uhr

Wunschergebnis „Drei Asse”

Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.

  • Für die Teilaufgabe  (1)  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.


  • Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab  (2)  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).


Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist  $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.





Hinweise:

  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.


Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?

$p_1 \ = \ $

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit  $p_2$  werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?  Warum ist  $p_2$  kleiner/gleich/größer als  $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_3 \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?

$p_4 \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind? 
Hinweis:  Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$  ein vollständiges System beschreiben.

$p_5 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass genau gleich groß $(1/8)$:

$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$


(2)  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar. Man erhält hierfür $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):

$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$

Man erkennt:   $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.


(3)  Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$


(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:

$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) = {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) = Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$

Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?

  • Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.

Damit erhält man für die Summe $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.


(5)  Definiert man die Ereignisse $E_i :=$ „Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen” mit den Index $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System. Deshalb gilt:

$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$