Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass

Tabelle mit Werten der si–Funktion und der Si–Funktion

Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt,

der alle Frequenzen $f < 5 \ \rm kHz$ unverfälscht durchlässt ⇒ $H(f) = 1$,
und alle Spektralanteile über $5 \ \rm kHz$ vollständig unterdrückt ⇒ $H(f) = 0$.

Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$ ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich $1/2$.

An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:

ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen „Dirac” angenähert werden kann:

$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$

ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand $T_{\rm A}$:

$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$

wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet:

$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$

eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$:

$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ { t > 0,} \\ \end{array}$$

ein si–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$:

$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
In der Tabelle sind die Funktionswerte der Spaltfunktion ${\rm si}(πx)$ und der Integralsinusfunktion ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:

$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$

Fragebogen

$y_1(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

$y_1(t = 50 {\: \rm µ s}) \ = \ $

$\rm V$

$y_2(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

$T_{\rm A} = 199 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

$T_{\rm A} = 201 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

$y_3(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

$t_{\rm max} \ = \ $

$\rm µ s$

$y_3(t_{\rm max}) \ = \ $

$\rm V$

$y_4(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

$y_4(t = 0) \ = \ $

$\rm V$

Musterlösung

(1) Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf = 10 \ \rm kHz$:

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$

Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:

$$y_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si} \left( {\pi}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$

Diracpuls und Rechteckfilter

(2) Das Spektrum $X_2(f)$ des Diracpulses beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit dem Gewicht $5 \ \rm V$.

Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5 \ \rm V$ und je einer bei $±5 \ \rm kHz$ mit dem Gewicht $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:

$$ y_2(t) = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$

(3) Mit $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s $ ist $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen $H(f_{\rm A}) = 0$ besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5.025 \ \rm V$ und man erhält den konstanten Verlauf

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$

Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$).

Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s $ die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:

$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\right].$$

Daraus folgt für das Zeitsignal:

$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$

Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, solange $ 200 \ {\rm µ s} < T_{\rm A} < 400 \ {\rm µ s} $ gilt. Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A} ≥ 400 \ {\rm µ s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.

Impuls– und Sprungantwort

(4) Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:

$$y_3(t = 0) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int_{ - \infty }^{ t } {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\right].$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$

(5) Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss $t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: µ s}$ gelten.

Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu

$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi )\right]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ 0.5 + 0.5895 \right] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$

Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein.

Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters

(6) Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5 \ \rm kHz$ stets $0$. Das bedeutet, dass in diesem Fall $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und entsprechend auch $y_4(t) = x_4(t)$. Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.

(7) Mit $T = 50 \ \rm µ s$ ist die Breite von $X_4(f)$ gleich $20 \ \rm kHz$ und die Höhe $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$. Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite $10 \ \rm kHz$ wird jedoch nun ausschließlich durch $H(f)$ bestimmt:

$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }$$