Aufgaben:Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 84: Zeile 84:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf = 10 \ \rm kHz$:
+
'''(1)'''  Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit  $Δf = 10 \ \rm kHz$:
 
:$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
 
:$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:  
+
*Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor  $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:  
 
:$$y_1(t) =  10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
 
:$$y_1(t) =  10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
 
:$$  \Rightarrow  \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm
 
:$$  \Rightarrow  \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm
 
si} \left( {\pi}/{2} \right)  \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
 
si} \left( {\pi}/{2} \right)  \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
 +
  
  
 
[[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts |frame| Diracpuls und Rechteckfilter]]  
 
[[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts |frame| Diracpuls und Rechteckfilter]]  
'''(2)'''  Das Spektrum $X_2(f)$ des Diracpulses beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit dem Gewicht $5 \ \rm V$.  
+
'''(2)'''  Das Spektrum  $X_2(f)$  beinhaltet diskrete Linien im Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht  $5 \ \rm V$.  
  
Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f = 0$  mit dem Gewicht $5 \ \rm V$ und je einer bei $±5  \ \rm kHz$ mit dem Gewicht $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
+
*Das Spektrum  $Y_2(f)$  besteht somit aus einer Spektrallinie bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $5 \ \rm V$  und je einer bei  $±5  \ \rm kHz$  mit dem Gewicht  $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
 
:$$ y_2(t)  = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
 
:$$ y_2(t)  = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
 +
  
  
 
   
 
   
'''(3)'''  Mit $T_{\rm A} = 199 \  \rm µ s $ ist $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen $H(f_{\rm A}) = 0$  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5.025 \ \rm V$ und man erhält den konstanten Verlauf  
+
'''(3)'''  Mit  $T_{\rm A} = 199 \  \rm µ s $  ist  $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen  $H(f_{\rm A}) = 0$  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $5.025 \ \rm V$  und man erhält den konstanten Verlauf  
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
  
Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$).  
+
*Wird  $T_{\rm A}$  weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert  $($proportional zu  $1/T_{\rm A})$.  
  
Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \  \rm µ s $  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:  
+
*Dagegen ist mit  $T_{\rm A} = 201 \  \rm µ s $  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters  $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:  
 
:$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
 
:$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
Daraus folgt für das Zeitsignal:  
+
*Daraus folgt für das Zeitsignal:  
 
:$$y_2(t )  =  4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} +  9.95\hspace{0.1cm}{\rm
 
:$$y_2(t )  =  4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} +  9.95\hspace{0.1cm}{\rm
 
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t )  \hspace{0.2cm} \Rightarrow
 
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t )  \hspace{0.2cm} \Rightarrow
 
  \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
 
  \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
*Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $ gilt.  
+
*Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange&nbsp; $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $&nbsp; gilt.  
*Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden.  
+
*Allerdings ergeben sich je nach&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; unterschiedliche Amplituden. &nbsp; Für&nbsp; $T_{\rm A} ≥ 400  \  {\rm &micro;  s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.  
*Für $T_{\rm A} ≥ 400  \  {\rm &micro;  s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.  
 
  
  
[[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impuls– und Sprungantwort| rechts|frame]]  
+
 
'''(4)'''&nbsp; Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:  
+
[[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impulsantwort und Sprungantwort| rechts|frame]]  
 +
'''(4)'''&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:  
 
:$$y_3(t = 0)  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot  \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm  d}\tau  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\big].$$
 
:$$y_3(t = 0)  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot  \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm  d}\tau  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\big].$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
 
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:
+
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Es ist offensichtlich, dass&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; dann maximal ist, wenn die&nbsp; ${\rm si}$–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:
 
:$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: &micro; s}.$$  
 
:$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: &micro; s}.$$  
  
Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu  
+
*Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu  
 
:$$y_3(t = t_{\rm max})  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot
 
:$$y_3(t = t_{\rm max})  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot
 
   {\rm Si} ( \pi  )\big]=  10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 +
 
   {\rm Si} ( \pi  )\big]=  10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 +
 
   0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
 
   0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein.  
+
*Zu späteren Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; schwingt&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; langsam auf seinen Endwert&nbsp; $10 \ \rm V$ ein.  
  
  
 
[[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]]  
 
[[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]]  
'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5  \ \rm kHz$ stets Null.  
+
'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $X_4(f)$&nbsp; ist wie&nbsp; $H(f)$&nbsp; rechteckförmig und für&nbsp; $|f| > 2.5  \ \rm kHz$&nbsp; stets Null.  
*Das bedeutet, dass $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und somit auch $y_4(t) = x_4(t)$.  
+
*Das bedeutet, dass&nbsp; $Y_4(f ) = X_4(f)$&nbsp; gilt und somit auch&nbsp; $y_4(t) = x_4(t)$.  
 
*Damit ist &nbsp;$y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.  
 
*Damit ist &nbsp;$y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.  
  
  
'''(7)'''&nbsp; Mit $T = 50 \ \rm &micro; s$ hat $X_4(f)$ die Breite $20 \ \rm kHz$ und die Höhe $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.
 
  
Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite $10 \ \rm kHz$ wird jedoch nun ausschließlich durch $H(f)$ bestimmt:  
+
'''(7)'''&nbsp; Mit&nbsp; $T = 50 \ \rm &micro; s$&nbsp; hat&nbsp; $X_4(f)$&nbsp; die Breite&nbsp; $20 \ \rm kHz$&nbsp; und die Höhe&nbsp; $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.
 +
 
 +
*Die Spektralfunktion&nbsp; $Y_4(f)$&nbsp; nach Multiplikation mit&nbsp; $H(f)$&nbsp; hat die gleiche Höhe.
 +
*Die Breite&nbsp; $10 \ \rm kHz$&nbsp; wird nun ausschließlich durch&nbsp; $H(f)$&nbsp; bestimmt:  
 
:$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm
 
:$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm
 
Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t )$$
 
Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t )$$

Version vom 23. Oktober 2019, 09:25 Uhr

Tabelle mit Werten der  $\rm si$–Funktion und der  $\rm Si$–Funktion

Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt,

  • der alle Frequenzen  $f < 5 \ \rm kHz$  unverfälscht durchlässt   ⇒   $H(f) = 1$,
  • und alle Spektralanteile über  $5 \ \rm kHz$  vollständig unterdrückt   ⇒   $H(f) = 0$.


Exakt bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$  ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich  $1/2$.

An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:

  • ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen „Dirac” angenähert werden kann:
$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
  • ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand  $T_{\rm A}$:
$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
wobei das zugehörige Spektrum mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  lautet:
$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
  • eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt  $t = 0$:
$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ { t > 0,} \\ \end{array}$$
  • ein  $\rm si$–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer  $T$:
$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$





Hinweise:

$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$



Fragebogen

1

Welches Ausgangssignal  $y_1(t)$  ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls  $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten  $t = 0$  und  $t = 50 \ \rm µ s$?

$y_1(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$
$y_1(t = 50 {\: \rm µ s}) \ = \ $

 $\rm V$

2

Wie lautet das Ausgangssignal  $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls  $x_2(t)$  anliegt und  $T_{\rm A} = 200 \ µ \rm s$  gilt. Welcher Signalwert tritt bei  $t = 0$  auf?

$y_2(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

3

Welche Werte  $y_2(t = 0)$  ergeben sich mit  $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s$  bzw.  $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s$?

$T_{\rm A} = 199 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$
$T_{\rm A} = 201 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

4

Geben Sie das Ausgangssignal  $y_3(t)$  für die Sprungfunktion  $x_3(t)$  mit Endwert  $10 \ \rm V$  an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?

$y_3(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

5

Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  ist  $y_3(t)$  maximal? Wie groß ist der Maximalwert?

$t_{\rm max} \ = \ $

 $\rm µ s$
$y_3(t_{\rm max}) \ = \ $

 $\rm V$

6

Wie lautet das Ausgangssignal  $y_4(t)$, wenn am Eingang das  ${\rm si}$–förmige Signal  $x_4(t)$  mit  ${\rm si}(πx)$ $T = 200 \ \rm µ s$  anliegt? Welcher Wert ergibt sich für  $t = 0$?

$y_4(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

7

Welcher Signalwert  $y_4(t = 0)$  ergibt sich für  $T = 50 \ \rm µ s$?

$y_4(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$


Musterlösung

(1)  Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit  $Δf = 10 \ \rm kHz$:

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
  • Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor  $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:
$$y_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si} \left( {\pi}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$


Diracpuls und Rechteckfilter

(2)  Das Spektrum  $X_2(f)$  beinhaltet diskrete Linien im Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht  $5 \ \rm V$.

  • Das Spektrum  $Y_2(f)$  besteht somit aus einer Spektrallinie bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $5 \ \rm V$  und je einer bei  $±5 \ \rm kHz$  mit dem Gewicht  $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
$$ y_2(t) = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$



(3)  Mit  $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s $  ist  $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen  $H(f_{\rm A}) = 0$  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $5.025 \ \rm V$  und man erhält den konstanten Verlauf

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
  • Wird  $T_{\rm A}$  weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert  $($proportional zu  $1/T_{\rm A})$.
  • Dagegen ist mit  $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s $  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters  $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:
$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
  • Daraus folgt für das Zeitsignal:
$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
  • Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange  $ 200 \ {\rm µ s} < T_{\rm A} < 400 \ {\rm µ s} $  gilt.
  • Allerdings ergeben sich je nach  $T_{\rm A}$  unterschiedliche Amplituden.   Für  $T_{\rm A} ≥ 400 \ {\rm µ s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.


Impulsantwort und Sprungantwort

(4)  Das Ausgangssignal  $y_3(t)$  verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:

$$y_3(t = 0) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\big].$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$


(5)  Es ist offensichtlich, dass  $y_3(t)$  dann maximal ist, wenn die  ${\rm si}$–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:

$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: µ s}.$$
  • Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi )\big]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 + 0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
  • Zu späteren Zeiten  $t$  schwingt  $y_3(t)$  langsam auf seinen Endwert  $10 \ \rm V$ ein.


Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters

(6)  Die Spektralfunktion  $X_4(f)$  ist wie  $H(f)$  rechteckförmig und für  $|f| > 2.5 \ \rm kHz$  stets Null.

  • Das bedeutet, dass  $Y_4(f ) = X_4(f)$  gilt und somit auch  $y_4(t) = x_4(t)$.
  • Damit ist  $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.


(7)  Mit  $T = 50 \ \rm µ s$  hat  $X_4(f)$  die Breite  $20 \ \rm kHz$  und die Höhe  $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.

  • Die Spektralfunktion  $Y_4(f)$  nach Multiplikation mit  $H(f)$  hat die gleiche Höhe.
  • Die Breite  $10 \ \rm kHz$  wird nun ausschließlich durch  $H(f)$  bestimmt:
$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.$$