Aufgabe 1.4: Rayleigh–WDF und Jakes–LDS

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Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit Rayleigh–Fading. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags a(t) = |z(t)| ≥ 0 in folgender Weise darstellen:

$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert A ist, kann wie folgt berechnet werden:

$${\rm Pr}(|z(t)| \le A) = 1 - {\rm exp} [ -\frac{A^2}{2\sigma^2}] \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit (R) bzw. (B) bezeichnet werden, unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit υ und damit in der Form des Leistungsdichtespektrums Φz(fD). In beiden Fällen ergibt sich aber ein Jakes–Spektrum. Für eine Dopplerfrequenz fD, deren Betrag kleiner als ein Grenzwert fD, max ist, lautet die Gleichung:

$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt{ 1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von –fD, max bis +fD, max sind ausgeschlossen. Die entsprechende Beschreibungsgröße im Zeitbereich ist die Autokorrelationsfunktion (AKF):

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet J0(.) die Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung. Es gilt J0(0) = 1. Vom Kanalmodell (R) ist die maximale Dopplerfrequenz bekannt: fD, max = 200 Hz. Außerdem ist bekannt, dass sich die Geschwindigkeiten υR und υB um den Faktor 2 unterscheiden. Ob υR doppelt so groß ist als υB oder umgekehrt, sollen Sie anhand der obigen Grafiken entscheiden.


Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 1.3. Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie folgendes Interaktionsmodul benutzen:

  1. WDF, VTF und Momente



Fragebogen

1

Ermitteln Sie den Rayleigh–Parameter σ für die Kanäle (R) und (B).

$\sigma_R \ = \ $

$\ \rm $
$\sigma_B \ = \ $

$\ \rm $

2

Geben Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit an, dass 20 · lg a ≤ –10 dB ist, was gleichzeitig auch bedeutet, dass a ≤ 0.316 ist.

$(R):   Pr(a ≤ 0.316) \ = \ $

$\ \rm \%$
$(B):   Pr(a ≤ 0.316) \ = \ $

$\ \rm \%$

3

Welche Aussagen sind bezüglich den Fahrgeschwindigkeiten zutreffend?

$\upsilon_B$ ist doppelt so groß als $\upsilon_R$.
$\upsilon_B$ ist halb so groß als $\upsilon_R$.
Mit $\upsilon = 0$ wäre $|z(t)|$ konstant.
Mit $\upsilon = 0$ wäre $|z(t)|$ spektral gesehen weiß.
Mit $\upsilon → ∞$ wäre $|z(t)|$ konstant.
Mit $\upsilon → ∞$ wäre $|z(t)|$ weiß.

4

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Der LDS–Wert $\Phi_z(f_D = 0)$ ist bei beiden Kanälen gleich.
Der AKF–Wert $\phi_z(\Delta\t = 0)$ ist bei beiden Kanälen gleich.
Die Fläche unter $\Phi_z(f_D)$ ist bei beiden Kanälen gleich.
Die Fläche unter φzt) ist bei beiden Kanälen gleich.


Musterlösung

1.


2.


3.


4.