Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik.  Berücksichtigt sind dabei:
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*Ein systematischer  $(5, 2)$–Blockcode  $\mathcal{C}$  mit den Codeworten
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:$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
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*ein digitales  (binäres)  Kanalmodell,  das den Vektor  $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$  in den Vektor  $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$  verfälscht;
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*ein  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]  (kurz:   "ML–Decoder")  mit der Entscheidungsregel
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:$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$
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Hier bezeichnet  $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$  die  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]]  zwischen dem Empfangswort  $\underline{y}$  und dem  (möglicherweise)  gesendeten Codewort  $\underline{x_{i}}$.
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Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und  Entscheiderstrukturen"]].
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
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{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$.&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Falsch
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- $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
+ Richtig
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- $\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
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+ $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
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- $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.
  
  
{Input-Box Frage
+
{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$.&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
 +
|type="[]"}
 +
+ $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
 +
+ $\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
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- $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
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- $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.
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{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$,&nbsp; wenn ihm mitgeteilt wird,&nbsp; dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?
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|type="[]"}
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- $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
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- $\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
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+ $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
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- $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.
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 +
 
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{Zu welchem Informationswort&nbsp; $v = (v_{1}, v_{2})$&nbsp; führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$v_{1} \ = \ $ { 1 }
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$v_{2} \ = \ $ { 0. }
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
+
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$:
'''2.'''
+
*Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$&nbsp; und den vier möglichen Codeworten&nbsp; $\underline{x}_{i}$&nbsp; ergeben sich wie folgt:
'''3.'''
+
:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 3\hspace{0.05cm}.$$
'''4.'''
+
*Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1$.
'''5.'''
+
 
'''6.'''
+
 
'''7.'''
+
 
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'''(2)'''&nbsp; Für&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$&nbsp; sind die&nbsp; <u>Antworten 1 und 2</u>&nbsp; richtig,&nbsp; wie die folgende Rechnung zeigt:
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:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 4\hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
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*Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von&nbsp; $x_{2}$&nbsp; genau so möglich wie für&nbsp; $x_{3}$,&nbsp; wenn $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$&nbsp; empfangen wird:
 +
:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 1\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; unterscheidet sich aber von&nbsp; $x_{2}$&nbsp; bezüglich des vierten Bits und von&nbsp; $x_{3}$&nbsp; im zweiten Bit.
 +
* Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite,&nbsp; wird er sich für&nbsp; $x_{2}$&nbsp; entscheiden .
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'''(4)'''&nbsp; Da es sich hier um einen systematischen Code handelt,&nbsp; ist die Entscheidung für&nbsp; $\underline{z} = (1, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; gleichbedeutend mit der Entscheidung
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:$$v_{1}  \ \underline{ = 1}, \ v_{2} \  \underline{= 0}.$$
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*Es ist nicht sicher,&nbsp; dass&nbsp; $\underline{u} = (1, 0)$&nbsp;  tatsächlich gesendet wurde.  
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*Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$&nbsp; hierfür am größten.
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{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanal und Entscheiderstrukturen
 
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Aktuelle Version vom 12. Juni 2022, 15:25 Uhr

Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung

Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik.  Berücksichtigt sind dabei:

  • Ein systematischer  $(5, 2)$–Blockcode  $\mathcal{C}$  mit den Codeworten
$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
  • ein digitales  (binäres)  Kanalmodell,  das den Vektor  $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$  in den Vektor  $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$  verfälscht;
$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$

Hier bezeichnet  $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$  die  Hamming–Distanz  zwischen dem Empfangswort  $\underline{y}$  und dem  (möglicherweise)  gesendeten Codewort  $\underline{x_{i}}$.




Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen".



Fragebogen

1

Es sei  $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$.  Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?

$\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

2

Es sei  $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$.  Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?

$\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

3

Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für  $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$,  wenn ihm mitgeteilt wird,  dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?

$\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 0)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$,
$\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.

4

Zu welchem Informationswort  $v = (v_{1}, v_{2})$  führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?

$v_{1} \ = \ $

$v_{2} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig ist die  Antwort 3   ⇒   $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$:

  • Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort  $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$  und den vier möglichen Codeworten  $\underline{x}_{i}$  ergeben sich wie folgt:
$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 3\hspace{0.05cm}.$$
  • Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1$.


(2)  Für  $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$  sind die  Antworten 1 und 2  richtig,  wie die folgende Rechnung zeigt:

$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 4\hspace{0.05cm}.$$


(3)  Richtig ist die  Antwort 3:

  • Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von  $x_{2}$  genau so möglich wie für  $x_{3}$,  wenn $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$  empfangen wird:
$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 1\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Empfangsvektor  $\underline{y}$  unterscheidet sich aber von  $x_{2}$  bezüglich des vierten Bits und von  $x_{3}$  im zweiten Bit.
  • Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite,  wird er sich für  $x_{2}$  entscheiden .


(4)  Da es sich hier um einen systematischen Code handelt,  ist die Entscheidung für  $\underline{z} = (1, 0, 1, 0, 1)$  gleichbedeutend mit der Entscheidung

$$v_{1} \ \underline{ = 1}, \ v_{2} \ \underline{= 0}.$$
  • Es ist nicht sicher,  dass  $\underline{u} = (1, 0)$  tatsächlich gesendet wurde.
  • Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors  $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$  hierfür am größten.