Aufgaben:Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$) und $\rm H$ (Ereignis $S_{\rm H}$) ab.  
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Ein Sender gibt die binären Symbole  $\rm L$  $($Ereignis  $S_{\rm L})$  und  $\rm H$  $($Ereignis  $S_{\rm H})$  ab.  
*Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$) oder $\rm H$ (Ereignis $E_{\rm H}$) .  
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*Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole  $\rm L$  $($Ereignis  $E_{\rm L})$  oder  $\rm H$  $($Ereignis  $E_{\rm H})$.  
*Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $\rm K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”).
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*Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung  $($Ereignis  $E_{\rm K})$;  $\rm K$  steht hierbei für „Keine Entscheidung”).
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Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten.  Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes  $\rm L$  durchaus als Symbol  $\rm H$  empfangen werden kann.  Dagegen ist der Übergang von  $\rm H$  nach  $\rm L$  nicht möglich.
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Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien  ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$  und  ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
  
  
Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich.
 
  
Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
 
  
  
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo  [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
  
  
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entscheidet?
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${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $  { 0.21 3% }
 
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${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $ { 0.66 3% }
 
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat?
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich  das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entschieden hat?
 
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol $\rm L$ entscheiden.  
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'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheiden.  
  
Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:   
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*Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes&nbsp; $\rm L$&nbsp; ist allerdings um den Faktor&nbsp; $0.7$&nbsp; kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:   
 
:$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
 
:$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis&nbsp; $E_{\rm H}$&nbsp; kommt man sowohl von&nbsp; $S_{\rm H}$&nbsp; als auch von&nbsp; $S_{\rm L}$&nbsp; aus. Deshalb gilt:
 
:$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
 
:$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
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'''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse&nbsp; $E_{\rm H}$,&nbsp; $E_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm K}$&nbsp; bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
 
:$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
 
:$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:  
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:$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
 
:$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
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Aktuelle Version vom 9. November 2019, 17:05 Uhr

$\rm 2S/3E$-Kanalmodell

Ein Sender gibt die binären Symbole  $\rm L$  $($Ereignis  $S_{\rm L})$  und  $\rm H$  $($Ereignis  $S_{\rm H})$  ab.

  • Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole  $\rm L$  $($Ereignis  $E_{\rm L})$  oder  $\rm H$  $($Ereignis  $E_{\rm H})$.
  • Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung  $($Ereignis  $E_{\rm K})$;  $\rm K$  steht hierbei für „Keine Entscheidung”).


Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten.  Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes  $\rm L$  durchaus als Symbol  $\rm H$  empfangen werden kann.  Dagegen ist der Übergang von  $\rm H$  nach  $\rm L$  nicht möglich.

Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien  ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$  und  ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.




Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol  $\rm L$  entscheidet?

${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol  $\rm H$  entscheidet?

${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $

3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Empfänger keine Entscheidung trifft?

${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = \ $

4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheidet der Empfänger falsch?

$\text{Pr(falsche Entscheidung)} \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich das Symbol  $\rm L$  gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol  $\rm L$  entschieden hat?

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol  $\rm L$  gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?

${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $


Musterlösung

(1)  Nur wenn das Symbol  $\rm L$  gesendet wurde, kann sich der Empfänger beim gegebenen Kanal für das Symbol  $\rm L$  entscheiden.

  • Die Wahrscheinlichkeit für ein empfangenes  $\rm L$  ist allerdings um den Faktor  $0.7$  kleiner als für ein gesendetes. Daraus folgt:
$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$


(2)  Zum Ereignis  $E_{\rm H}$  kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$  als auch von  $S_{\rm L}$  aus. Deshalb gilt:

$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$


(3)  Die Ereignisse  $E_{\rm H}$,  $E_{\rm L}$  und  $E_{\rm K}$  bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$


(4)  Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:

$${\rm Pr} \text{(falsche Entscheidung)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$


(5)  Wenn das Symbol  $\rm L$  empfangen wurde, kann nur  $\rm L$  gesendet worden sein. Daraus folgt:

$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$


(6)  Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:

$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$