Aufgaben:Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$) und $H$ (Ereignis $S_{\rm H}$) ab. | + | Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$) und $\rm H$ (Ereignis $S_{\rm H}$) ab. |
| − | *Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$) oder $H$ (Ereignis $E_{\rm H}$) . | + | *Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$) oder $\rm H$ (Ereignis $E_{\rm H}$) . |
| − | *Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”). | + | *Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $\rm K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”). |
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Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich. | Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich. | ||
Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$. | Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$. | ||
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{Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheidet der Empfänger falsch? | {Mit welcher Wahrscheinlichkeit entscheidet der Empfänger falsch? | ||
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat? | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat? | ||
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft? | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft? | ||
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| − | ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =$ { 0.4614 3% } | + | ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% } |
Version vom 1. August 2018, 13:37 Uhr
Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$) und $\rm H$ (Ereignis $S_{\rm H}$) ab.
- Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$) oder $\rm H$ (Ereignis $E_{\rm H}$) .
- Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $\rm K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”).
Die Grafik zeigt ein einfaches Kanalmodell in Form von Übergangswahrscheinlichkeiten. Es ist zu erkennen, dass ein gesendetes $\rm L$ durchaus als Symbol $\rm H$ empfangen werden kann. Dagegen ist der Übergang von $\rm H$ nach $\rm L$ nicht möglich.
Die Symbolauftrittswahrscheinlichkeiten am Sender seien ${\rm Pr}(S_{\rm L}) = 0.3$ und ${\rm Pr}(S_{\rm H}) = 0.7$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt: $${\rm Pr} (E_{\rm H}) = \rm Pr (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = \rm 0.66}.$$
(3) Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollständiges System. Daraus folgt: $${\rm Pr} (E_{\rm K}) =\rm 1 - {\rm Pr} (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
(4) Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren: $$\rm Pr (falsche\hspace{0.1cm}Entscheidung) = Pr (S_{\rm L} \cap E_{\rm H} \cup S_{\rm H} \cap E_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
(5) Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt: $${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
(6) Zur Lösung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes: $${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
