Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Thermisches Rauschen: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID953__Mod_Z_1_3.png|right|frame|Beispielhafte Signale für <br>TP– und BP–Rauschen]]
Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist das thermische Rauschen, da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte
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Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist&nbsp; '''Thermisches Rauschen''',&nbsp; da jeder Widerstand &nbsp;$R$&nbsp; mit der absoluten Temperatur &nbsp;$θ$&nbsp; (in „Grad Kelvin”)&nbsp; ein Rauschsignal &nbsp;$n(t)$&nbsp; mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte
$$N_{0,min} = k_B \cdot \theta ( k_B = 1.38 \cdot 10^{ -23 } Ws/K)$$
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:$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta  
abgibt. $k_B$ bezeichnet man als die Boltzmann–Konstante.
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\hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23}
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\hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$
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abgibt.&nbsp; $k_{\rm B}$&nbsp; bezeichnet man als die&nbsp; "Boltzmann–Konstante".
  
Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6$ $\text{THz}$ begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass dieser minimale Wert nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.
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Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf &nbsp;$6\text{ THz}$&nbsp; begrenzt.&nbsp; Weiterhin ist zu beobachten,&nbsp; dass der Minimalwert&nbsp; ${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}$&nbsp; nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.
  
Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl F erfasst, und es gilt:
+
Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer,&nbsp; da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen.&nbsp; Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl &nbsp;$F \ge 1$&nbsp; erfasst.&nbsp; Es gilt:
$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$
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:$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$
Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$:
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Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite&nbsp; $B$:
$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$
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:$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm} \hspace{0.01cm}.$$
Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „W”. Nach der zweiten, in Klammern angegebenen Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$V^{ 2 }$”. Das heißt: Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik allgemein üblich – auf den Bezugswiderstand $\text{R = 1 Ω}$ umgerechnet. Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) σn des Rauschsignals $n(t)$ zu berechnen.
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:$$N = N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2 \hspace{0.01cm}.$$
  
Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ bei gleicher Bandbreite. In der Teilaufgabe (d) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.
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*Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche,&nbsp; physikalische Leistung in&nbsp; „Watt”&nbsp; $\rm (W)$.
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*Nach der zweiten Gleichung hat das Ergebnis die Einheit&nbsp; „$\rm V^{ 2 }$”.  
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*Das heißt: &nbsp; Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik oft üblich – auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1\ Ω$&nbsp; umgerechnet.
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*Diese Gleichung muss auch herangezogen werden,&nbsp; um den Effektivwert&nbsp; (die Streuung)&nbsp; $σ_n$&nbsp; des Rauschsignals &nbsp;$n(t)$&nbsp; zu berechnen.
  
Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{TP}(t)$ lautet:
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$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$
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Alle Gleichungen gelten unabhängig davon,&nbsp; ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt.&nbsp; Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$n_2(t)$&nbsp; gleicher Bandbreite.&nbsp; In Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ist gefragt,&nbsp; welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.
Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $f_M$:
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$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$
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Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen &nbsp;$n_{\rm TP}(t)$&nbsp; lautet:
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:$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$
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Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen &nbsp;$n_{\rm BP}(t)$&nbsp; mit der Mittenfrequenz &nbsp;$f_{\rm M}$:
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:$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$
 
Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:
 
Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:
$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
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:$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Qualit%C3%A4tskriterien Kapitel 1.2].
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|Einige Anmerkungen zum AWGN&ndash;Kanalmodel]].
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*Durch die Angabe der Leistungen in &nbsp;$\rm W$att&nbsp; sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand &nbsp;$R$, während die Leistung mit der  Einheit &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; nur für &nbsp;$R = 1\ \Omega$&nbsp; direkt ausgewertet werden kann.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte mit $F = 10$ und $θ = 290$$\text{ K}$.
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{Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; mit der Rauschzahl  &nbsp;$F = 10$&nbsp; und &nbsp;$θ = 290^\circ$&nbsp; Kelvin.
 
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|type="{}"}
$N_0$ = { 4 3% }  $10^{ -20 }$ $\text{W/Hz}$  
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$N_0 \ = \ $ { 4 3% }  $\ \cdot 10^{ -20 }\ \text{W/Hz}$  
  
 
{Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)?
 
{Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)?
 
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|type="{}"}
$N_{max}$= { 2.4 3% } $10^{ -7 }$ $\text{W}$  
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$N_{\rm max} \ = \ $ { 0.24 3% } $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{W/Hz}$  
  
{Welche Rauschleistung N ergibt sich mit der Bandbreite $B = 30$ $\text{kHz}$? Wie groß ist der Rauscheffektivwert $σ_n$?  
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{Welche Rauschleistung &nbsp;$N$&nbsp; ergibt sich mit der Bandbreite &nbsp;$B = 30\text{ kHz}$?&nbsp; Wie groß ist der Rauscheffektivwert &nbsp;$σ_n$?  
 
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$N$={ -12 3% }  $10^{ -16 }$ $\text{W}$
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$N \ = \ $ { 12 3% }  $\ \cdot 10^{ -16 }\ \text{W/Hz}$  
$σ_n$={ 0.245 3% } $10^{ -6 }$ $\text{V}$
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$σ_n \ = \ ${ 0.245 3% } $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{V}$
 
   
 
   
{Welches der Signale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ zeigt TP– und welches BP–Rauschen?
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{Welches der Signale &ndash; &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; oder &nbsp;$n_2(t)$&nbsp; &ndash; zeigt Tiefpass– und welches Bandpass–Rauschen?
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+ Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Tiefpass–Charakter.
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+ Das Rauschsignal &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; hat Tiefpass–Charakter.
- Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Bandpass–Charakter.
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- Das Rauschsignal &nbsp;$n_1(t)$&nbsp; hat Bandpass–Charakter.
  
{Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 20$ $\text{kHz}$? Es gelte $B = 30$ $\text{kHz}$.
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{Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz &nbsp;$f = 20\text{ kHz}$?&nbsp; Es gelte &nbsp;$B = 30\text{ kHz}$.
 
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$Φ_{n, TP}(f = 20 kHz)$={ -12 3% } $10^{ -12 }$ $\text{W\Hz}$
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${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$
  
{Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 120$ $\text{kHz}$? Es gelte $f_M = 100 kHz$ und $B = 30 kHz$.
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{Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei &nbsp;$f = 120\text{ kHz}$?&nbsp; Es gelte &nbsp;$f_{\rm M} = 100\text{ kHz}$&nbsp; und &nbsp;$B = 30\text{ kHz}$.
 
|type="{}"}
 
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$Φ_{n, BP}(f = 120 kHz)$= { 0 3% } $\text{W\Hz}$
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${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''Mit der Boltzmann–Konstante $k_B$ gilt:
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'''(1)'''&nbsp; Mit der Boltzmann–Konstante&nbsp; $k_{\rm B}$&nbsp; gilt:
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:$$N_0 = F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta = 10 \cdot
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1.38\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}\frac{\rm
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Ws}{\rm K}\cdot 290\,{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\hspace{0.05cm}\cdot
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10^{-20} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Die angegebene Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0$&nbsp; ist physikalisch auf&nbsp; $6$&nbsp; THz begrenzt.&nbsp; Damit beträgt die maximale Rauschleistung:
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:$$N_{\rm max} =  4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20}
 +
\hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 6 \cdot10^{12}
 +
\hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.24\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm
 +
W}}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
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'''(3)'''&nbsp; Nun ergibt sich für die Rauschleistung:
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:$$N = N_0 \cdot B =  4\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-20}
 +
\hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 3 \cdot10^{4}
 +
\hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm
 +
W}}\hspace{0.05cm}.$$
  
$$N_0= F \cdot K_B \cdot \theta = 10 \cdot  1.38 \cdot 10^{ -23 } \frac{Ws}{K} \cdot 290K \approx  4 \cdot 10^{ -20 } W/Hz.$$
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* Umgerechnet auf den Bezugswiderstand&nbsp; $R = 1 \ Ω$:
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:$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm
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W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot
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10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
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[[Datei:P ID954 Mod Z 1 3e neu.png|rechts|frame|Leistungsdichtespektren bei <br>bandbegrenztem Rauschen]]
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*Der Rauscheffektivwert&nbsp; $σ_n$&nbsp; ist die Quadratwurzel hieraus:
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:$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''2.'''Die angegebene Rauschleistungsdichte $N_0$ ist physikalisch auf $6 \text{THz}$ begrenzt. Damit beträgt die maximale Rauschleistung:
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
$$N_{max} = 4 \cdot  10^{ -20 }\frac{ W}{Hz} \cdot 6 \cdot 10^{ 12 } Hz = 0.24 \cdot 10^{-6} W.$$
+
*Im Zufallssignal&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen.  
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*Dagegen handelt es sich beim Signal&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; um Tiefpass–Rauschen.  
  
  
'''3.'''  Nun ergibt sich für die Rauschleistung:
 
$$N=N_0 \cdot B = 4 \cdot 10^{ -20 } \frac{W}{Hz} \cdot 3 \cdot 10^{ 4 } Hz = 12 \cdot 10^{ -16  }W,$$
 
  
bzw. umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 Ω$:
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'''(5)'''&nbsp; Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; ist im Frequenzbereich&nbsp; $|f| < 30$&nbsp; kHz konstant:
$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
+
:$${\it \Phi}_{n,\hspace{0.05cm}{   \rm TP} }(f) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{N_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {=2\hspace{0.05cm}\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}
Der Rauscheffektivwert $σ_n$ ist die Quadratwurzel hieraus:
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10^{-12} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+
*Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz&nbsp; $f = 20$&nbsp; kHz.
  
[[Datei:P ID954 Mod Z 1 3e neu.png|mini|rechts]]
 
'''4.''' Im Zufallssignal $n_2(t)$ erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen. Dagegen handelt es sich beim Signal $n_1(t)$ um Tiefpass–Rauschen.
 
  
'''5.'''Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals $n_1(t)$ ist im Frequenzbereich $|f| < 30 kHz$ konstant gleich
 
$$\phi_{n,TP}(f)= \frac{N_0}{2}= 2 \cdot 10^{-12} W/Hz$$
 
Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz $f = 20$ $\text{kHz}$.
 
  
'''6.'''Wie aus der Grafik hervorgeht, ist $Φ_{n,BP}(f)$ nur zwischen $85 kHz$ und $115 kHz$ ungleich 0, wenn die Bandbreite $B = 30 kHz$ beträgt. Bei der Frequenz $f = 120 kHz$ ist die Rauschleistungsdichte somit Null.
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'''(6)'''&nbsp; Wie aus der Grafik hervorgeht, ist&nbsp; ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f)$&nbsp; nur im Bereich zwischen&nbsp; $85$&nbsp; kHz und&nbsp; $115$&nbsp; kHz ungleich Null,&nbsp; wenn die Bandbreite&nbsp; $B = 30$&nbsp; kHz beträgt.  
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*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 120$&nbsp; kHz ist die Rauschleistungsdichte somit Null:
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:$${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline{=0}.$$
  
 
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Aktuelle Version vom 16. November 2021, 14:33 Uhr

Beispielhafte Signale für
TP– und BP–Rauschen

Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist  Thermisches Rauschen,  da jeder Widerstand  $R$  mit der absoluten Temperatur  $θ$  (in „Grad Kelvin”)  ein Rauschsignal  $n(t)$  mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte

$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$

abgibt.  $k_{\rm B}$  bezeichnet man als die  "Boltzmann–Konstante".

Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf  $6\text{ THz}$  begrenzt.  Weiterhin ist zu beobachten,  dass der Minimalwert  ${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}$  nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.

Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer,  da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen.  Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl  $F \ge 1$  erfasst.  Es gilt:

$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$

Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite  $B$:

$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm} \hspace{0.01cm}.$$
$$N = N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2 \hspace{0.01cm}.$$
  • Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche,  physikalische Leistung in  „Watt”  $\rm (W)$.
  • Nach der zweiten Gleichung hat das Ergebnis die Einheit  „$\rm V^{ 2 }$”.
  • Das heißt:   Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik oft üblich – auf den Bezugswiderstand  $R = 1\ Ω$  umgerechnet.
  • Diese Gleichung muss auch herangezogen werden,  um den Effektivwert  (die Streuung)  $σ_n$  des Rauschsignals  $n(t)$  zu berechnen.


Alle Gleichungen gelten unabhängig davon,  ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt.  Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  gleicher Bandbreite.  In Teilaufgabe  (4)  ist gefragt,  welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.

Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen  $n_{\rm TP}(t)$  lautet:

$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$

Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen  $n_{\rm BP}(t)$  mit der Mittenfrequenz  $f_{\rm M}$:

$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$

Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:

$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Qualitätskriterien.
  • Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodel.
  • Durch die Angabe der Leistungen in  $\rm W$att  sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand  $R$, während die Leistung mit der Einheit  $\rm V^2$  nur für  $R = 1\ \Omega$  direkt ausgewertet werden kann.



Fragebogen

1

Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte  $N_0$  mit der Rauschzahl  $F = 10$  und  $θ = 290^\circ$  Kelvin.

$N_0 \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -20 }\ \text{W/Hz}$

2

Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)?

$N_{\rm max} \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{W/Hz}$

3

Welche Rauschleistung  $N$  ergibt sich mit der Bandbreite  $B = 30\text{ kHz}$?  Wie groß ist der Rauscheffektivwert  $σ_n$?

$N \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -16 }\ \text{W/Hz}$
$σ_n \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{V}$

4

Welches der Signale –  $n_1(t)$  oder  $n_2(t)$  – zeigt Tiefpass– und welches Bandpass–Rauschen?

Das Rauschsignal  $n_1(t)$  hat Tiefpass–Charakter.
Das Rauschsignal  $n_1(t)$  hat Bandpass–Charakter.

5

Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz  $f = 20\text{ kHz}$?  Es gelte  $B = 30\text{ kHz}$.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$

6

Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei  $f = 120\text{ kHz}$?  Es gelte  $f_{\rm M} = 100\text{ kHz}$  und  $B = 30\text{ kHz}$.

${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $

$\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$


Musterlösung

(1)  Mit der Boltzmann–Konstante  $k_{\rm B}$  gilt:

$$N_0 = F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta = 10 \cdot 1.38\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}\frac{\rm Ws}{\rm K}\cdot 290\,{\rm K} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die angegebene Rauschleistungsdichte  $N_0$  ist physikalisch auf  $6$  THz begrenzt.  Damit beträgt die maximale Rauschleistung:

$$N_{\rm max} = 4\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 6 \cdot10^{12} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.24\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

(3)  Nun ergibt sich für die Rauschleistung:

$$N = N_0 \cdot B = 4\hspace{0.08cm}\cdot 10^{-20} \hspace{0.08cm}\frac{\rm W}{\rm Hz}\cdot 3 \cdot10^{4} \hspace{0.08cm}{\rm Hz}\hspace{0.15cm}\underline {= 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Umgerechnet auf den Bezugswiderstand  $R = 1 \ Ω$:
$$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$
Leistungsdichtespektren bei
bandbegrenztem Rauschen
  • Der Rauscheffektivwert  $σ_n$  ist die Quadratwurzel hieraus:
$$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

  • Im Zufallssignal  $n_2(t)$  erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen.
  • Dagegen handelt es sich beim Signal  $n_1(t)$  um Tiefpass–Rauschen.


(5)  Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals  $n_1(t)$  ist im Frequenzbereich  $|f| < 30$  kHz konstant:

$${\it \Phi}_{n,\hspace{0.05cm}{ \rm TP} }(f) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} \frac{N_0}{2} \hspace{0.15cm}\underline {=2\hspace{0.05cm}\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} 10^{-12} \hspace{0.05cm}{\rm W}/{\rm Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
  • Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz  $f = 20$  kHz.


(6)  Wie aus der Grafik hervorgeht, ist  ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f)$  nur im Bereich zwischen  $85$  kHz und  $115$  kHz ungleich Null,  wenn die Bandbreite  $B = 30$  kHz beträgt.

  • Bei der Frequenz  $f = 120$  kHz ist die Rauschleistungsdichte somit Null:
$${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz)\hspace{0.15cm}\underline{=0}.$$