Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Thermisches Rauschen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist das thermische Rauschen, da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte | + | Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist das ''thermische Rauschen'', da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte |
| − | $$N_{0,min} = | + | :$${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta |
| − | abgibt. $ | + | \hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} |
| + | \hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$ | ||
| + | abgibt. $k_{\rm B}$ bezeichnet man als die ''Boltzmann–Konstante''. | ||
| − | Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6$ | + | Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6$ THz begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass dieser minimale Wert nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann. |
| − | Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl F erfasst, und es gilt: | + | Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl $F$ erfasst, und es gilt: |
| − | $$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$ |
Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$: | Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$: | ||
| − | $$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$ | + | :$$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$ |
| − | Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in | + | *Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „Watt” $\rm (W)$. |
| + | *Nach der zweiten, in Klammern angegebenen Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$\rm V^{ 2 }$”. | ||
| + | *Das heißt: Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik allgemein üblich – auf den Bezugswiderstand $R = 1\ Ω$ umgerechnet. | ||
| + | *Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) σn des Rauschsignals $n(t)$ zu berechnen. | ||
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| − | Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{TP}(t)$ lautet: | + | Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ gleicher Bandbreite. In Teilaufgabe (4) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird. |
| − | $$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$ | + | |
| − | Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $ | + | Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{\rm TP}(t)$ lautet: |
| − | $${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$ | + | :$$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$ |
| + | Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{\rm BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $f_{\M}$: | ||
| + | :$${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$ | ||
Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt: | Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt: | ||
| − | $$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$ |
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodel]]. | ||
| + | *Durch die Angabe der Leistungen in $\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand $R$, während die Leistung mit der Einheit $\rm V^2$ nur für $R = 1\ \Omega$ direkt ausgewertet werden kann. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte mit $F = 10$ und $θ = 290$ | + | {Berechnen Sie die Rauschleistungsdichte $N_0$ mit der Rauschzahl $F = 10$ und $θ = 290$ Grad Kelvin . |
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| − | $N_0$ | + | $N_0 \ = \ $ { 4 3% } $\ \cdot 10^{ -20 }\ \text{W/Hz}$ |
{Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)? | {Wie groß ist die maximale Rauschleistung (ohne Bandbegrenzung)? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $N_{max}$ | + | $N_{\rm max} \ = \ $ { 0.24 3% } $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{W/Hz}$ |
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| − | {Welche Rauschleistung N ergibt sich mit der Bandbreite $B = 30$ | + | {Welche Rauschleistung $N$ ergibt sich mit der Bandbreite $B = 30$ kHz? Wie groß ist der Rauscheffektivwert $σ_n$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $N$ | + | $N \ = \ $ { 12 3% } $\ \cdot 10^{ -16 }\ \text{W/Hz}$ |
| − | $σ_n$ | + | $σ_n \ = \ ${ 0.245 3% } $\ \cdot 10^{ -6 }\ \text{V}$ |
| − | {Welches der Signale $n_1(t)$ | + | {Welches der Signale –$n_1(t)$ oder $n_2(t)$ – zeigt TP– und welches BP–Rauschen? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Tiefpass–Charakter. | + Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Tiefpass–Charakter. | ||
- Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Bandpass–Charakter. | - Das Rauschsignal $n_1(t)$ hat Bandpass–Charakter. | ||
| − | {Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 20$ | + | {Welchen Wert hat die Rauschleistungsdichte des Tiefpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 20$ kHz? Es gelte $B = 30$ kHz. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $ | + | ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm TP}(f = 20 \ \rm kHz) \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$ |
| − | {Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 120$ | + | {Welchen Wert besitzt die Rauschleistungsdichte des Bandpass–Rauschens bei der Frequenz $f = 120$ kHz? Es gelte $f_{\rm M} = 100$ kHz und $B = 30$ kHz. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $ | + | ${\it Φ}_{n, \hspace{0.05cm}\rm BP}(f = 120 \ \rm kHz) \ = \ $ { 0. } $\ \cdot 10^{ -12 }\ \text{W/Hz}$ |
Version vom 20. Juni 2017, 11:16 Uhr
Eine fundamentale und bei jedem Nachrichtensystem auftretende Störung ist das thermische Rauschen, da jeder Widerstand $R$ mit der absoluten Temperatur $θ$ (in „Grad Kelvin”) ein Rauschsignal $n(t)$ mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte
- $${N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.3cm}\left(k_{\rm B} = 1.38 \cdot 10^{-23} \hspace{0.05cm}{\rm Ws}/{\rm K}\right)$$
abgibt. $k_{\rm B}$ bezeichnet man als die Boltzmann–Konstante.
Allerdings ist diese aus physikalischen Gründen auf $6$ THz begrenzt. Weiterhin ist zu beobachten, dass dieser minimale Wert nur bei exakter Widerstandsanpassung erreicht werden kann.
Bei der Realisierung einer Schaltungseinheit – zum Beispiel eines Verstärkers – ist die wirksame Rauschleistungsdichte meist deutlich größer, da sich mehrere Rauschquellen addieren und zudem Fehlanpassungen eine Rolle spielen. Dieser Effekt wird durch die Rauschzahl $F$ erfasst, und es gilt:
- $$N_0 = F \cdot {N_{\rm 0, \hspace{0.05cm}min}}= F \cdot k_{\rm B} \cdot \theta \hspace{0.05cm}.$$
Für die wirksame Rauschleistung gilt mit der Bandbreite $B$:
- $$N = N_0 \cdot B \hspace{0.1cm}\left(= N_0 \cdot B\cdot R = \sigma_n^2\right) \hspace{0.01cm}.$$
- Nach der ersten Gleichung ergibt sich die tatsächliche, physikalische Leistung in „Watt” $\rm (W)$.
- Nach der zweiten, in Klammern angegebenen Gleichung hat das Ergebnis die Einheit „$\rm V^{ 2 }$”.
- Das heißt: Hier ist die Leistung – wie in der Nachrichtentechnik allgemein üblich – auf den Bezugswiderstand $R = 1\ Ω$ umgerechnet.
- Diese Gleichung muss auch herangezogen werden, um den Effektivwert (die Streuung) σn des Rauschsignals $n(t)$ zu berechnen.
Alle Gleichungen gelten unabhängig davon, ob es sich um Tiefpass– oder Bandpass–Rauschen handelt. Die Grafik zeigt zwei Rauschsignale $n_1(t)$ und $n_2(t)$ gleicher Bandbreite. In Teilaufgabe (4) ist gefragt, welches dieser Signale am Ausgang eines Tiefpasses bzw. eines Bandpasses auftreten wird.
Die zweiseitige Rauschleistungsdichte von bandbegrenztem Tiefpass–Rauschen $n_{\rm TP}(t)$ lautet:
- $$ {\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm TP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < B,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}$$
Dagegen gilt bei bandpassartigem Rauschen $n_{\rm BP}(t)$ mit der Mittenfrequenz $f_{\M}$:
- $${\it \Phi}_{n, {\hspace{0.05cm}\rm BP}}(f) = \left\{ \begin{array}{c} N_0/2 \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} f - f_{\rm M}\hspace{0.05cm} \right| < B/2,} \\ {\rm sonst.} \\ \end{array}.$$
Für alle nachfolgenden numerischen Berechnungen wird vorausgesetzt:
- $$ F = 10, \hspace{0.2cm}\theta = 290\,{\rm K},\hspace{0.2cm}R = 50\,{\rm \Omega},\hspace{0.2cm}B = 30\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm}f_{\rm M} = 0 \hspace{0.1cm}{\rm bzw.}\hspace{0.1cm}100\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Qualitätskriterien.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einige Anmerkungen zum AWGN–Kanalmodel.
- Durch die Angabe der Leistungen in $\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand $R$, während die Leistung mit der Einheit $\rm V^2$ nur für $R = 1\ \Omega$ direkt ausgewertet werden kann.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
$$N_0= F \cdot K_B \cdot \theta = 10 \cdot 1.38 \cdot 10^{ -23 } \frac{Ws}{K} \cdot 290K \approx 4 \cdot 10^{ -20 } W/Hz.$$
2.Die angegebene Rauschleistungsdichte $N_0$ ist physikalisch auf $6 \text{THz}$ begrenzt. Damit beträgt die maximale Rauschleistung:
$$N_{max} = 4 \cdot 10^{ -20 }\frac{ W}{Hz} \cdot 6 \cdot 10^{ 12 } Hz = 0.24 \cdot 10^{-6} W.$$
3. Nun ergibt sich für die Rauschleistung:
$$N=N_0 \cdot B = 4 \cdot 10^{ -20 } \frac{W}{Hz} \cdot 3 \cdot 10^{ 4 } Hz = 12 \cdot 10^{ -16 }W,$$
bzw. umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 Ω$: $$N = N_0 \cdot B \cdot R = 12\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-16}\;{\rm W}\hspace{0.05cm} \cdot 50 \; {\rm \Omega}= 6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}\hspace{0.05cm}.$$ Der Rauscheffektivwert $σ_n$ ist die Quadratwurzel hieraus: $$\sigma_n= \sqrt{6\hspace{0.05cm}\cdot 10^{-14}\;{\rm V^2}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.245 \hspace{0.05cm}\cdot 10^{-6}\;{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
4. Im Zufallssignal $n_2(t)$ erkennt man gewisse Regelmäßigkeiten ähnlich einer harmonischen Schwingung – es ist Bandpass–Rauschen. Dagegen handelt es sich beim Signal $n_1(t)$ um Tiefpass–Rauschen.
5.Die Rauschleistungsdichte des Zufallssignals $n_1(t)$ ist im Frequenzbereich $|f| < 30 kHz$ konstant gleich $$\phi_{n,TP}(f)= \frac{N_0}{2}= 2 \cdot 10^{-12} W/Hz$$ Dieser Wert gilt somit auch für die Frequenz $f = 20$ $\text{kHz}$.
6.Wie aus der Grafik hervorgeht, ist $Φ_{n,BP}(f)$ nur zwischen $85 kHz$ und $115 kHz$ ungleich 0, wenn die Bandbreite $B = 30 kHz$ beträgt. Bei der Frequenz $f = 120 kHz$ ist die Rauschleistungsdichte somit Null.
