Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung: Unterschied zwischen den Versionen

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In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert <i>E</i> = 0.1 &middot; <i>s</i><sub>0</sub> dargestellt.
 
In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert <i>E</i> = 0.1 &middot; <i>s</i><sub>0</sub> dargestellt.
  
<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das [[ Kapitel1.2.]] Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
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<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Kapitel1.2.]] Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
 
$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
 
$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
 
\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
 
\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
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<quiz display=simple>
 
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{Multiple-Choice Frage
+
{Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Falsch
+
+erfc(<i>x</i>) = 2 &middot; Q(2<sup>1/2</sup> &middot; <i>x</i>),
+ Richtig
+
-erfc(<i>x</i>) = 2<sup>1/2</sup> &middot; Q(<i>x</i>/2<sup>1/2</sup>),
 +
-erfc(<i>x</i>) &asymp; Q(<i>x</i>).
  
  
{Input-Box Frage
+
{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit <i>p</i><sub>L</sub> = 0.88 und <i>E</i> = 0?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$E = 0:  p_B$ = { 2,27 3% } $\%$
  
  

Version vom 24. Oktober 2017, 18:40 Uhr


P ID1268 Dig Z 1 3.png

In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$ gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet: $$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$ $${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$ Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert E = 0 unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten pL und pH. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert E eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (pLpH) Die Streuung des Rauschanteils ist stets σd = 0.5 V, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit ±1 V fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:

  • pL = 0.88 und pH = 0.12,
  • pL = 0.31 und pH = 0.69.

In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert E = 0.1 · s0 dargestellt.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel1.2. Für die Ableitung der Q–Funktion gilt: $$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$ Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?

erfc(x) = 2 · Q(21/2 · x),
erfc(x) = 21/2 · Q(x/21/2),
erfc(x) ≈ Q(x).

2

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit pL = 0.88 und E = 0?

$E = 0: p_B$ =

$\%$


Musterlösung

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