Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung: Unterschied zwischen den Versionen

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In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
 
In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$
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:$$p_{\rm B} =  {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$
 
gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
 
gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
$$\rm Q (\it x)  =  \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
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:$$\rm Q (\it x)  =  \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
 
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
 
x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
 
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$${\rm erfc} (\it x)  =  \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
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:$${\rm erfc} (\it x)  =  \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
 
\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
 
\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
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Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert <i>E</i> = 0 unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten <i>p</i><sub>L</sub> und <i>p</i><sub>H</sub>.  
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Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.  
Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert <i>E</i> eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind (<i>p</i><sub>L</sub> &ne; <i>p</i><sub>H</sub>)
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Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind ( $p_{\rm L} &ne; p_{\rm H}$ )
Die Streuung des Rauschanteils ist stets <i>&sigma;<sub>d</sub></i> = 0.5 V, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit &plusmn;1 V fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
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Die Streuung des Rauschanteils ist stets $&sigma;_{\rm d} = 0.5 \ \rm V$, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $&plusmn;1 V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
*<i>p</i><sub>L</sub> = 0.88 und <i>p</i><sub>H</sub> = 0.12,
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*$p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$,
*<i>p</i><sub>L</sub> = 0.31 und <i>p</i><sub>H</sub> = 0.69.
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*$p_{\rm L} = 0.31$ und $p_{\rm H} = 0.69.$
In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert <i>E</i> = 0.1 &middot; <i>s</i><sub>0</sub> dargestellt.
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In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ dargestellt.
  
<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Kapitel1.2.]] Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
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''Hinweise:''
$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
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*Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung.]] Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
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:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
 
\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
 
\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:
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*Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:
  
 
[[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
 
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{Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?
 
{Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?
 
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+erfc(<i>x</i>) = 2 &middot; Q(2<sup>1/2</sup> &middot; <i>x</i>),
+
+erfc$(x)$ = $2 \cdot$ Q($2^{1/2} \cdot x$),
-erfc(<i>x</i>) = 2<sup>1/2</sup> &middot; Q(<i>x</i>/2<sup>1/2</sup>),
+
-erfc$(x)$ = $2^{1/2} \cdot$ Q($x/2^{1/2}$),
-erfc(<i>x</i>) &asymp; Q(<i>x</i>).
+
-erfc$(x) \approx$ Q($x$).
  
  

Version vom 1. November 2017, 16:52 Uhr


Zur Optimierung des Schwellenwertes

In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen („Additive White Gaussian Noise”) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$

gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:

$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm},$$
$${\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$

Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$. Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind ( $p_{\rm L} ≠ p_{\rm H}$ ) Die Streuung des Rauschanteils ist stets $σ_{\rm d} = 0.5 \ \rm V$, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $±1 V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:

  • $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$,
  • $p_{\rm L} = 0.31$ und $p_{\rm H} = 0.69.$

In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ dargestellt.

Hinweise:

$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}} \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Werte der Funktion Q(x) können Sie mit folgendem Interaktionsmodul bestimmen:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Fragebogen

1

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?

erfc$(x)$ = $2 \cdot$ Q($2^{1/2} \cdot x$),
erfc$(x)$ = $2^{1/2} \cdot$ Q($x/2^{1/2}$),
erfc$(x) \approx$ Q($x$).

2

Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit pL = 0.88 und E = 0?

$E = 0: p_B$ =

$\%$


Musterlösung

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)