Aufgabe 1.3Z: Nochmals Rayleigh–Fading?

Dargestellt ist der multiplikative Faktor z(t) = x(t) + j · y(t) zweier Mobilfunkkanäle (beide ohne Mehrwegeausbreitung) in 2D–Darstellung. Als gesichert wird vorgegeben:

Der Kanal R (die Bezeichnung ergibt sich aus der Farbe „Rot” der Punktwolke) ist rayleighverteilt mit σ_R = 0.5.

Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) von Betrag a(t) = |z(t)| bzw. Betragsquadrat p(t) = |z(t)|² gelten somit die folgenden Gleichungen (mit σ = σ_R):

$$f_a(a) = \left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm exp} [ -a^2/(2\sigma^2)] \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array} \hspace{0.05cm},$$

$$f_p(p) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2\sigma^2) \cdot {\rm exp} [ -p/(2\sigma^2)] \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array} .$$

Vom Kanal B („Blau”) ist nur die Punktwolke gegeben. Es ist abzuschätzen, ob hier ebenfalls Rayleigh–Fading vorliegt, und wenn JA, wie groß bei diesem Kanal die Kenngröße <nobr>σ = σ_B</nobr> ist.

In der Teilaufgabe c) wird schließlich auch auf die WDF f_ϕ(ϕ) der Phasenfunktion ϕ(t) Bezug genommen. Diese ist wie folgt definiert:

$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 1.2 dieses Buches. Eine ähnliche Aufgabenstellung wird im Kapitel 3.7 des Buches „Stochastische Signaltheorie” behandelt.