Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Gewinnen mit Roulette?: Unterschied zwischen den Versionen

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Beim Roulette wird bei jedem Spiel mittels einer Kugel und einer Roulettescheibe eine Gewinnzahl $Z$ ermittelt, wobei wir davon ausgehen wollen, dass alle möglichen Zahlen $Z \in \{0, 1, 2, \ \text{...} \ , 36 \}$ gleichwahrscheinlich sind.
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Beim Roulette wird bei jedem Spiel mittels einer Kugel und einer Roulettescheibe eine Gewinnzahl  $Z$  ermittelt, wobei wir davon ausgehen wollen, dass alle möglichen Zahlen  $Z \in \{0, 1, 2, \ \text{...} \ , 36 \}$  gleichwahrscheinlich sind.
  
Die Mitspieler können nun mit unterschiedlich wertvollen Chips auf eine einzelne Zahl oder auf eine Zahlengruppe setzen. Einige der Möglichkeiten und die dazugehörigen Gewinne sollen hier kurz anhand der von einem Spieler gesetzten Chips erläutert werden (siehe Grafik):
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Die Mitspieler können nun mit unterschiedlich wertvollen Chips auf eine einzelne Zahl oder auf eine Zahlengruppe setzen.  Einige der Möglichkeiten und die dazugehörigen Gewinne sollen hier kurz anhand der von einem Spieler gesetzten Chips erläutert werden (siehe Grafik):
  
*Setzt ein Spieler auf eine Zahl (im Beispiel auf „0“), so bekäme er außer seinem Einsatz als Gewinn das 35-fache zurück.
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*Setzt ein Spieler auf eine Zahl (im Beispiel auf „0“), so bekäme er außer seinem Einsatz als Gewinn das  $35$-fache zurück.
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*Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit drei Feldern (im Beispiel der 1-Euro-Chip für die Zahlen von „22“ bis „24“), so bekäme er außer seinem Einsatz noch den  $ 11$-fachen Einsatz als Gewinn ausbezahlt.
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*Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit  $ 18$  Feldern (beispielsweise die 10-Euro-Chips auf „Rot“, auf „Impair“ und auf „Passe“), so erhält er außer seinem Einsatz als Gewinn nochmals den gleichen Betrag zurück.
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*Gehört die gezogene Zahl nicht zu einer der von ihm besetzten Felder, so ist sein Einsatz verloren.
  
*Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit drei Feldern (im Beispiel der1  Euro-Chip für die Zahlen von „22“ bis „24“), so bekäme er außer seinem Einsatz noch den 11-fachen Einsatz als Gewinn ausbezahlt.
 
  
*Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit 18 Feldern (beispielsweise die 10 Euro-Chips auf „Rot“, auf „Impair“ und auf „Passe“), so erhält er außer seinem Einsatz als Gewinn nochmals den gleichen Betrag zurück.
 
*Gehört die gezogene Zahl nicht zu einer der von ihm besetzten Felder, so ist sein Einsatz natürlich verloren.
 
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
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*Geben Sie bei den folgenden Fragen eventuelle Verluste als negative Gewinne ein.
 
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
 
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
:[[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]]
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:[[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]]
  
  
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{Ein Spieler setzt gleichzeitig je einen 1 Euro-Chip auf die Felder „0“, „Rot“ und „Schwarz“. Wie groß ist sein mittlerer Gewinn pro Spiel?
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{Ein Spieler setzt gleichzeitig je einen 1-Euro-Chip auf die Felder „0“, „Rot“ und „Schwarz“.&nbsp; Wie groß ist sein mittlerer Gewinn pro Spiel?
 
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$G_1 \ =\ $  { -0.083--0.079 } $\ \rm Euro$
 
$G_1 \ =\ $  { -0.083--0.079 } $\ \rm Euro$
  
{Wieviel gewinnt er im Mittel pro Spiel, wenn er stets je 1 Euro auf „Rot“ und „Schwarz“ setzt?
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{Wieviel gewinnt er im Mittel pro Spiel, wenn er stets 1 Euro auf „0“ und 10 Euro auf „Rot“ setzt?
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{Der Spieler setzt wie im Bild gezeigt. &nbsp; Auf welche Zahl $Z_{\rm Wunsch}$ sollte er hoffen? Wie groß wäre dann sein Gewinn?
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{Gibt es eine Setzkombination, so dass der mittlere Gewinn positiv ist?
 
{Gibt es eine Setzkombination, so dass der mittlere Gewinn positiv ist?
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- Ja &nbsp; &rArr; &nbsp; Studium beenden, in die nächste Spielbank gehen.
 
- Ja &nbsp; &rArr; &nbsp; Studium beenden, in die nächste Spielbank gehen.
 
+ Nein &nbsp; &rArr; &nbsp; Weitermachen mit $\rm LNTwww$.
 
+ Nein &nbsp; &rArr; &nbsp; Weitermachen mit $\rm LNTwww$.
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Der Spieler verliert jeweils 1 Euro, wenn eine der Zahlen $1$ bis $36$ gezogen wird. Er gewinnt 33 Euro, wenn tats&auml;chlich die $0$ getroffen wird. Daraus folgt:
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'''(1)'''&nbsp; Der Spieler verliert jeweils einen Euro, wenn eine der Zahlen&nbsp; $1$&nbsp; bis&nbsp; $36$&nbsp; gezogen wird.  
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*Er gewinnt&nbsp; $33$&nbsp; Euro, wenn tats&auml;chlich die&nbsp; $0$&nbsp; getroffen wird. Daraus folgt:
 
:$$G_1 =\rm  {36}/{37}\cdot (-1\hspace{0.1cm} Euro) + {1}/{37}\cdot (33\hspace{0.1cm} Euro) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.081\hspace{0.1cm} Euro\hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$
 
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'''(2)'''&nbsp; Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird. Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz:  
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'''(2)'''&nbsp; Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird.&nbsp; Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz:  
 
:$$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$
 
:$$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$
  
'''(3)'''&nbsp; Kommt &bdquo;Rot&rdquo;, so gewinnt er 9 Euro. Kommt die Null, gewinnt er effektiv 25 Euro. Wird &bdquo;Schwarz&rdquo; gezogen, so verliert er seinen gesamten Einsatz von 11 Euro:
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'''(3)'''&nbsp; Kommt &bdquo;Rot&rdquo;, so gewinnt er neun Euro.  
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*Kommt die Null, gewinnt er effektiv&nbsp; $25$&nbsp; Euro.  
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*Wird &bdquo;Schwarz&rdquo; gezogen, so verliert er seinen gesamten Einsatz von&nbsp; $11$&nbsp; Euro:
 
:$$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$
 
:$$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$
  
'''(4)'''&nbsp; Den h&ouml;chsten Gewinn erzielt er bei $Z_{\rm Wunsch} \;  \underline{ = 23} $. Dann gewinnen vier seiner fünf Chips:
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'''(4)'''&nbsp; Den h&ouml;chsten Gewinn erzielt er bei&nbsp; $Z_{\rm Wunsch} \;  \underline{ = 23} $.&nbsp; Dann gewinnen vier seiner fünf Chips:
 
:$$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) +   
 
:$$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) +   
 
\rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$
 
\rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$
:Kommt dagegen die Null, so gewinnt er lediglich $\rm 35 - 31 = 4 \ Euro$.
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*Kommt dagegen die Null, so gewinnt er lediglich&nbsp; $\rm 35 - 31 = 4 \ Euro$.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Nein, leider nicht. Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank</u>.
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'''(5)'''&nbsp; <u>Nein, leider nicht.&nbsp; Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank</u>.
 
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Aktuelle Version vom 9. November 2019, 15:26 Uhr

Betrachtete Setzsituation

Beim Roulette wird bei jedem Spiel mittels einer Kugel und einer Roulettescheibe eine Gewinnzahl  $Z$  ermittelt, wobei wir davon ausgehen wollen, dass alle möglichen Zahlen  $Z \in \{0, 1, 2, \ \text{...} \ , 36 \}$  gleichwahrscheinlich sind.

Die Mitspieler können nun mit unterschiedlich wertvollen Chips auf eine einzelne Zahl oder auf eine Zahlengruppe setzen.  Einige der Möglichkeiten und die dazugehörigen Gewinne sollen hier kurz anhand der von einem Spieler gesetzten Chips erläutert werden (siehe Grafik):

  • Setzt ein Spieler auf eine Zahl (im Beispiel auf „0“), so bekäme er außer seinem Einsatz als Gewinn das  $35$-fache zurück.
  • Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit drei Feldern (im Beispiel der 1-Euro-Chip für die Zahlen von „22“ bis „24“), so bekäme er außer seinem Einsatz noch den  $ 11$-fachen Einsatz als Gewinn ausbezahlt.
  • Setzt ein Spieler auf eine Zahlengruppe mit  $ 18$  Feldern (beispielsweise die 10-Euro-Chips auf „Rot“, auf „Impair“ und auf „Passe“), so erhält er außer seinem Einsatz als Gewinn nochmals den gleichen Betrag zurück.
  • Gehört die gezogene Zahl nicht zu einer der von ihm besetzten Felder, so ist sein Einsatz verloren.




Hinweise:

  • Geben Sie bei den folgenden Fragen eventuelle Verluste als negative Gewinne ein.
  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]


Fragebogen

1

Ein Spieler setzt gleichzeitig je einen 1-Euro-Chip auf die Felder „0“, „Rot“ und „Schwarz“.  Wie groß ist sein mittlerer Gewinn pro Spiel?

$G_1 \ =\ $

$\ \rm Euro$

2

Wieviel gewinnt er im Mittel pro Spiel, wenn er stets je  $1$  Euro auf „Rot“ und „Schwarz“ setzt?

$G_2 \ =\ $

$\ \rm Euro$

3

Wieviel gewinnt er im Mittel pro Spiel, wenn er stets  $1$  Euro auf „0“ und  $10$  Euro auf „Rot“ setzt?

$G_3 \ =\ $

$\ \rm Euro$

4

Der Spieler setzt wie im Bild gezeigt.   Auf welche Zahl  $Z_{\rm Wunsch}$  sollte er hoffen?  Wie groß wäre dann sein Gewinn?

$Z_{\rm Wunsch} \ = \ $

$G_4 \ =\ $

$\ \rm Euro$

5

Gibt es eine Setzkombination, so dass der mittlere Gewinn positiv ist?

Ja   ⇒   Studium beenden, in die nächste Spielbank gehen.
Nein   ⇒   Weitermachen mit $\rm LNTwww$.


Musterlösung

(1)  Der Spieler verliert jeweils einen Euro, wenn eine der Zahlen  $1$  bis  $36$  gezogen wird.

  • Er gewinnt  $33$  Euro, wenn tatsächlich die  $0$  getroffen wird. Daraus folgt:
$$G_1 =\rm {36}/{37}\cdot (-1\hspace{0.1cm} Euro) + {1}/{37}\cdot (33\hspace{0.1cm} Euro) \hspace{0.15cm}\underline {= - 0.081\hspace{0.1cm} Euro\hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$


(2)  Der Spieler gewinnt und verliert nichts, wenn nicht die Null gezogen wird.  Erscheint die Null, so verliert er seinen Einsatz:

$$G_2 = \rm {1}/{37}\cdot (-2\hspace{0.1cm} Euro)\hspace{0.15cm}\underline { = -0.054 \hspace{0.1cm}Euro \hspace{0.1cm}(Verlust)}.$$


(3)  Kommt „Rot”, so gewinnt er neun Euro.

  • Kommt die Null, gewinnt er effektiv  $25$  Euro.
  • Wird „Schwarz” gezogen, so verliert er seinen gesamten Einsatz von  $11$  Euro:
$$G_3 = \rm {18}/{37}\cdot (10 -1) + {1}/{37}\cdot (35-10) + {18}/{37}\cdot (-10-1)\hspace{0.15cm}\underline { = - 0.297\hspace{0.1cm}Euro}.$$


(4)  Den höchsten Gewinn erzielt er bei  $Z_{\rm Wunsch} \; \underline{ = 23} $.  Dann gewinnen vier seiner fünf Chips:

$$G_4 = \rm 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Rot ) + 10\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm} Passe) + 10\hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm} Impair) + \rm 11\hspace{0.1cm}(da\hspace{0.1cm}zwischen \hspace{0.1cm}22\hspace{0.1cm} und \hspace{0.1cm}24) - 1 \hspace{0.1cm}(da \hspace{0.1cm}nicht \hspace{0.1cm}0) \hspace{0.15cm}\underline {= 40 \hspace{0.1cm}Euro}.$$
  • Kommt dagegen die Null, so gewinnt er lediglich  $\rm 35 - 31 = 4 \ Euro$.


(5)  Nein, leider nicht.  Im statistischen Mittel gewinnt immer die Bank.