Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}
 
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[[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|Exponentiell abfallende Impulsantwort]]
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Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist und für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
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Gemessen wurde die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; eines LZI–Systems,  
$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
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*die für alle Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null ist,
Der Funktionsparameter sei $T = 1 \ \rm ms$. In der Teilaufgabe (3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:  
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*sich zur Zeit&nbsp; $t > 0$&nbsp; sprungartig verändert, und  
$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$
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*für&nbsp; $t > 0$&nbsp; entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
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:$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
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Der Parameter sei&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''' ist nach der&nbsp; 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; gefragt, die wie folgt (implizit) definiert ist:  
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:$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$
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''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]  
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 
 
*Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:  
 
*Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:  
$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
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:$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
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$H(f = 0) \ =$ { 1 3% }
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+ Das betrachtete System ist kausal.
 
+ Das betrachtete System ist kausal.
 
- Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.  
 
- Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.  
- Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.  
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- Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.  
  
  
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===Musterlösung===
 
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'''1.''' Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:
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'''(1)'''&nbsp; Der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte von&nbsp; $h(t)$:
$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
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:$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
 
{\rm d}t.$$  
 
{\rm d}t.$$  
Die Integration führt zum Ergebnis:
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*Die Integration führt zum Ergebnis:
$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
+
:$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
 
t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
 
t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
Bei der Frequenz $f =$ 0 hat der Frequenzgang $\rm \underline{\: den \: Wert \: 1}$.  
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*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat der Frequenzgang den Wert&nbsp; $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.  
  
  
'''2.''' Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:  
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$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:  
Die Impulsantwort an der Stelle $t =$ 0 ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:  
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:$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
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*Die Impulsantwort an der Stelle&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist gleich dem Integral über&nbsp; $H(f)$.  
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*Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden.  
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*Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:  
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:$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
 
  d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:  
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*Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat&nbsp; $π/2$&nbsp; ergibt sich:  
$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
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:$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t =$ 0 gleich dem Mittelwert aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert ist.  
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*Das Ergebnis zeigt , dass die Impulsantwort bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; gleich dem Mittelwert aus links&ndash; und rechtsseitigem Grenzwert ist.  
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'''3.''' Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz:  
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'''(3)'''&nbsp; Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$:  
$$|H(f)|  =  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
+
:$$|H(f)|  =  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
Durch Koeffizientenvergleich erhält man:  
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*Durch Koeffizientenvergleich erhält man:  
$$f_{\rm G} =  \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$
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:$$f_{\rm G} =  \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$
  
  
'''4.''' Wegen $h(t) =$ 0 für $t$ < 0 ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung. Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:
 
$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
 
$H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe Aufgabe Z1.1):
 
$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
 
Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45°$.
 
  
Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist  <u> der erste Lösungsvorschlag}</u>.:
$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
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*Wegen&nbsp; $h(t) = 0$&nbsp; &nbsp;für&nbsp; $t < 0$&nbsp; ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen <u>Tiefpass erster Ordnung</u>.
Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal. Richtig ist somit $\rm \underline{\: nur \: der \: erste \: Lösungsvorschlag}$.  
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*Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:
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:$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
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*$H(f)$&nbsp; ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet&nbsp; (siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]]):
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:$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
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*Für die Frequenz&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; erhält man&nbsp; $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.
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*Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
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:$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
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*Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal.  
  
 
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Aktuelle Version vom 18. Oktober 2019, 12:49 Uhr

Abfallende Impulsantwort

Gemessen wurde die Impulsantwort  $h(t)$  eines LZI–Systems,

  • die für alle Zeiten  $t < 0$  identisch Null ist,
  • sich zur Zeit  $t > 0$  sprungartig verändert, und
  • für  $t > 0$  entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$

Der Parameter sei  $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe  (3) ist nach der  3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  gefragt, die wie folgt (implizit) definiert ist:

$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$





Hinweise:

$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$



Fragebogen

1

Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für  $f = 0$?

$H(f = 0) \ = \ $

2

Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit  $t = 0$?

$h(t = 0) \ = \ $

 $\rm 1/s$

3

Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$.

$f_{\rm G} \ =\ $

 $\rm Hz$

4

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Das betrachtete System ist kausal.
Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.
Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz  $f_{\rm G}$  an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.


Musterlösung

(1)  Der Frequenzgang  $H(f)$  ist die Fouriertransformierte von  $h(t)$:

$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t.$$
  • Die Integration führt zum Ergebnis:
$$H(f) = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
  • Bei der Frequenz  $f = 0$  hat der Frequenzgang den Wert  $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.


(2)  Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:

$$H(f) = \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
  • Die Impulsantwort an der Stelle  $t = 0$  ist gleich dem Integral über  $H(f)$.
  • Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden.
  • Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:
$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2} \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
  • Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat  $π/2$  ergibt sich:
$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
  • Das Ergebnis zeigt , dass die Impulsantwort bei  $t = 0$  gleich dem Mittelwert aus links– und rechtsseitigem Grenzwert ist.


(3)  Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$:

$$|H(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
  • Durch Koeffizientenvergleich erhält man:
$$f_{\rm G} = \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$


(4)  Richtig ist der erste Lösungsvorschlag}.:

  • Wegen  $h(t) = 0$   für  $t < 0$  ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung.
  • Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:
$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
  • $H(f)$  ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet  (siehe  Aufgabe 1.1Z):
$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
  • Für die Frequenz  $f = f_{\rm G}$  erhält man  $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.
  • Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz  $f = f_{\rm G}$  an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
  • Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal.