Aufgaben:Aufgabe 1.3: Rechteckfunktionen für Sender und Empfänger

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Vergleich dreier verschiedener Systemkonzepte

Wir betrachten hier drei Varianten eines binären bipolaren AWGN–Übertragungssystems, die sich hinsichtlich des Sendegrundimpulses $g_{\rm s}(t)$ sowie der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ des Empfangsfilters unterscheiden:

• Beim System A sind beide Zeitfunktionen $g_{\rm s}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ rechteckförmig, lediglich die Impulshöhen ($s_{\rm 0}$ bzw. $1/T$) sind unterschiedlich.
• Das System B unterscheidet sich vom System A durch einen dreieckförmigen Sendegrundimpuls mit $g_{\rm s}(t=0) = s_{\rm 0}$.
• Das System C hat den gleichen Sendegrundimpuls wie das System A, während die Impulsantwort mit $h_{\rm E}(t=0) = 1/T$ dreieckförmig verläuft.

Die absolute Breite der hier betrachteten Rechteck– und Dreieckfunktionen beträgt jeweils $T = 10 \ \rm \mu s$. Die Bitrate ist $R = 100 \ \rm kbit/s$. Die weiteren Systemparameter sind wie folgt gegeben:

$$s_0 = 6 \,\,\sqrt{W}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} N_{\rm 0} = 2 \cdot 10^{-5} \,\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung des vorliegenden Buches. Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das folgende Interaktionsmodul verwenden:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen

Berücksichtigen Sie bei der Berechnung der Detektionsstörleistung das Theorem von Wiener–Chintchine:

$$ \sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H_{\rm E}( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {h_{\rm E}( t )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Detektionsgrundimpuls $g_{\rm d}(t) = g_{\rm s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$ für System A. Welcher Wert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 0$?

$System\ A: g_{\rm d}(t = 0) \ = \ $ $\ \rm W^{1/2}$

2

Berechnen Sie die Detektionsstörleistung für das System A.

$System\ A: σ_{\rm d}\ ^2 \ = \ $ $\ \rm W$

3

Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für das System A?

$System\ A: p_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-9}$

4

Ermitteln Sie die entsprechenden Größen für das System B.

$System\ B: g_{\rm d}(t = 0) \ = \ $ $\ \rm W^{1/2}$

$System\ B: σ_{\rm d}\ ^2 \ = \ $ $\ \rm W$

$System\ B: p_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-2}$

5

Wie lauten die Kenngrößen für das System C?

$System\ C: g_{\rm d}(t = 0) \ = \ $ $\ \rm W^{1/2}$

$System\ C: σ_{\rm d}\ ^2 \ = \ $ $\ \rm W$

$System\ C: p_{\rm B} \ = \ $ $\ \cdot 10^{-7}$

Musterlösung

Musterlösung

1.  Beim System A führt die Faltung der beiden gleich breiten Rechteckfunktionen $g_{\rm s}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ zu einem dreieckförmigen Detektionsgrundimpuls mit dem Maximum bei $t = 0$:

$$g_d (t = 0) = \int_{ - T/2}^{ + T/2} { g_s(t) \cdot h_{\rm E}( t )} \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t =s_0 \cdot \frac{1 }{T} \cdot T = s_0 \hspace{0.1cm}\underline { = 6 \,\,\sqrt{{\rm W}}}\hspace{0.05cm}.$$

Es gibt keine Impulsinterferenzen, da für | $t $| ≥ $T$ der Detektionsimpuls $g_{\rm d}(t)$ identisch 0 ist.

2.  Die Varianz des Detektionsstörsignals – hier als Detektionsstörleistung bezeichnet – kann sowohl im Zeit– als auch im Frequenzbereich berechnet werden. Bei der vorliegenden Rechteckform führt die Berechnung im Zeitbereich schneller zum Ergebnis:

$$\sigma _d ^2 \ = \ \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {h_{\rm E}( t )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} =\frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - T/2 }^{ + T/2 } {\left| {h_{\rm E}( t )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}t} =\\ \ = \ \frac{N_0 }{2} \cdot\frac{1 }{T^2} \cdot T = \frac{N_0 }{2T} = \frac{2 \cdot 10^{-5} \,\,{\rm W/Hz}}{2 \cdot 10^{-5} \,\,{\rm s}} \hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm W}}\hspace{0.05cm}.$$

Die Frequenzbereichsberechnung würde mit $H_{\rm E}(f) = si(πfT)$ wie folgt aussehen:

$$\sigma _d ^2 = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left| {H_{\rm E}( f )} \right|^2 \hspace{0.1cm}{\rm{d}}f} = \frac{N_0 }{2} \cdot \int_{- \infty }^{ \infty } {\rm si}^2(\pi f T)\hspace{0.1cm}{\rm{d}}f = \frac{N_0 }{2T} \hspace{0.05cm}.$$

3.  Aufgrund der zeitlich begrenzten Impulsform (das bedeutet: keine Impulsinterferenzen!) ergibt sich bei der hier vorausgesetzten bipolaren Betrachtungsweise:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {\rm Q} \left( \frac{ 6 \,\sqrt{\rm W}}{1 \,\sqrt{\rm W}}\right) = {\rm Q}(6) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.987 \cdot 10^{-9}} \hspace{0.05cm}.$$

Das System A stellt die Matched–Filter–Realisierung des optimalen Binärempfängers dar, so dass hier auch die folgenden Gleichungen anwendbar wären:

4.  5.  6.  7.