Aufgabe 1.3: Rechnen mit komplexen Zahlen

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Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene

Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich

$$z_1 = {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$
$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}},$$
$$z_3 = -{\rm j} .$$

Im Verlauf dieser Aufgabe werden noch folgende komplexe Größen betrachtet:

$$z_4 = z_2^2 + z_3^2,$$
$$z_5 = 1/z_2,$$
$$z_6 = \sqrt{z_3},$$
$$z_7 = {\rm e}^{z_2},$$
$$z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\star}}.$$


Hinweise:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?

\(2 \cdot z_1 + z_2 =0.\)
\(z_1^{\ast} \cdot z_2 +2=0.\)
\((z_1/z_2) \cdot z_3\) ist rein reell.

2

Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße \(z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4\)?

\( x_4 \ =\ \)

\( y_4 \ =\ \)

3

Berechnen Sie die komplexe Größe \(z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5\).

\( x_5 \ =\ \)

\( y_5 \ =\ \)

4

\(z_6\) hat als Quadratwurzel von \(z_3\) zwei Lösungen, beide mit dem Betrag \(|z_6| = 1\). Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von \(z_6\) an.

\( \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ \)

$\text{Grad}$
\( \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ \)

$\text{Grad}$

5

Berechnen Sie \(z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7\).

\( x_7 \ =\ \)

\( y_7 \ =\ \)

6

Geben Sie die komplexe Größe \(z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8\).

\( x_8 \ =\ \)

\( y_8 \ =\ \)


Musterlösung

1. Entsprechend den Angaben gilt mit dem Satz von Euler

\(2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.\)

Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da

\(z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{ \circ}}= -2.\)

Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von \(z_1\) und \(z_2\) liefert: 

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} = 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 180^{ \circ}}= -0.5.\)

Die Multiplikation mit \(z_3 = -{\rm j} \) führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2.


2. Das Quadrat von \(z_2\) hat den Betrag \(|z_2|^{2}\) und die Phase \(2 \cdot \phi_2\): 

\(z_2^2 = 2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.\)

Entsprechend gilt für das Quadrat von \(z_3\): 

\(z_3^2 = (-{\rm j})^2 = -1.\) Somit ist \(x_4 =\underline{ –1}\) und \(y_4 = \underline{–4}.\)


3. Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man: 

\(z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 135^{ \circ}} = 0.5 \cdot \left( \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{ \circ})\right)\) \(\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \underline{= -0.354}.\)


4. Die angegeben Beziehung für \(z_6\) kann wie folgt umgeformt werden:  \(z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.\)

Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für \(z_6\) gibt, die diese Gleichung erfüllen: 

\(z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{ \circ}}, \)

\(z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}} \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{ \circ}}.\)


5. Die komplexe Größe \(z_2\) lautet in Realteil/imaginärteildarstellung: 

\(z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.\)

Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion\[z_7 = {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\cdot \sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right).\]

Mit \({\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm} \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988\) erhält man somit: 

\(z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.\)


6. Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man für \(z_8\): 

\(z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right) = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \)

\(\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.\)