Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen BSEC und AWGN]]
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[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|Kanalmodelle  „BSEC”  und  „AWGN”]]
 
Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
 
Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]] (BSC),
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*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]  $\rm (BSC)$,
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC),
+
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]  $\rm (BEC)$,
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]] (BSEC).
+
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]]  $\rm (BSEC)$.
  
  
Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:
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Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell.  Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:
*Mit $λ = 0$ ergibt sich das BSC–Modell.
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*Mit  $λ = 0$  ergibt sich das BSC–Modell.
*Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.
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*Mit  $\varepsilon = 0$  ergibt sich das BEC–Modell.
  
  
Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm $n$ gilt: $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.
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Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell.  Um Verwechslungen zu vermeiden,  bezeichnen wir das  (analoge)  Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit  $y_{\rm A}$,  wobei mit dem Rauschterm  $n$  gilt:
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:$$y_{\rm A} = \tilde{x}+ n.$$
  
Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt:
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Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin.  Es gilt:
*$\tilde{x} = +1$, falls $x = 0$,  
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*$\tilde{x} = +1$,   falls  $x = 0$,  
*$\tilde{x} = -1$, falls $x = 1$.  
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*$\tilde{x} = -1$,   falls  $x = 1$.  
  
  
Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße $y  \in \{0, 1, \rm E\}$, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen $G_0$ und $G_1$ benötigt.
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Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße  $y  \in \{0,\ 1,\ \rm E\}$,  die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt.  Hierzu werden die Entscheiderschwellen  $G_0$  und  $G_1$  benötigt.
  
$y = \rm E$ (''Erasure'') sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder $y = 0$ noch $y = 1$ gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer ''Auslöschung''.
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Das Ereignis   $y = \rm E$  („"Erasure"”)  sagt aus,  dass die Entscheidung so unsicher ist,  dass als Ergebnis weder  $y = 0$   noch   $y = 1$   gerechtfertigt erscheint.  In deutschen Fachbüchern spricht man von einer  "Auslöschung".
  
  
''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].  
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*Die Streuung des AWGN–Rauschens $n$ wird für die gesamte Aufgabe zu $\sigma  = 0.4$ angenommen.  
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Hinweise:
*Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $n$ größer ist als $A$ oder kleiner als $–A$, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ wie folgt:
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen"]].
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*Die Streuung des AWGN–Rauschens  $n$  wird für die gesamte Aufgabe zu  $\sigma  = 0.4$  angenommen.
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*Die Wahrscheinlichkeit,  dass die Zufallsgröße  $n$  größer ist als  $A$  oder kleiner als  $–A$,  ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral  ${\rm Q}(x)$  wie folgt:
 
:$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
*Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich.  
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*Bitte beachten Sie weiter: &nbsp; Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0$&nbsp; eigentlich nicht möglich.
*Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^{-4}$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch,&nbsp; dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen.&nbsp; Damit kann&nbsp; $\varepsilon \le 0.5 · 10^{-4}=0.005\%$&nbsp; durch&nbsp; $\varepsilon \approx 0$&nbsp; angenähert werden.
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Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
 
Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
 
:$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
 
:$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \  \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
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:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \  \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \hspace{0.3cm} 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
  
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{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?
 
{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?
 
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+ Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
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+ Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.
- Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
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- Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei&nbsp; $±G$.
- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.
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- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G_{1} = 0$&nbsp; und eine zweite bei&nbsp; $G_{2} = 0.5$.
  
{Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ mit $\sigma = 0.4$?
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{Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; mit&nbsp; $\sigma = 0.4$?
 
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$\varepsilon \ = \ $ { 0.62 3% }  $\ \%$
 
$\varepsilon \ = \ $ { 0.62 3% }  $\ \%$
  
{Durch welche Entscheiderschwelle(''n'') entsteht das BSEC–Modell?
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{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSEC–Modell?
 
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- Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
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- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.
+ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
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+ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei&nbsp; $±G$.
- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.
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- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G_{1} = 0$&nbsp; und eine zweite bei&nbsp; $G_{2} = 0.5$.
  
{Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei ±0.2?
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{Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei&nbsp; $±0.2$?
 
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$\varepsilon \ = \ $ { 0.14 3% }  $ \ \%$
 
$\varepsilon \ = \ $ { 0.14 3% }  $ \ \%$
 
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$\lambda \ = \ $ { 2.14 3% }  $ \ \%$
  
{Durch welche Entscheiderschwelle(''n'') entsteht das BEC–Modell? Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.
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{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell?&nbsp; Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.
 
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- Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
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- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.
+ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
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+ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei&nbsp; $±G$.
- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.
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- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G_{1} = 0$&nbsp; und eine zweite bei&nbsp; $G_{2} = 0.5$.
  
{Berechnen Sie den BEC–Parameter $\lambda$ für Entscheiderschwellen bei $G = ±0.6$.
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{Berechnen Sie den BEC–Parameter&nbsp; $\lambda$&nbsp; für Entscheiderschwellen bei&nbsp; $G = ±0.6$.
 
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$\lambda \ = \ $ { 15.87 3% }  $ \ \%$
 
$\lambda \ = \ $ { 15.87 3% }  $ \ \%$
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===Musterlösung===
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:  
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 1</u>:  
*Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle. Wegen der Eigenschaft ''Symmetric'' liegt diese bei $G = 0$.
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*Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle.&nbsp; Wegen der Eigenschaft&nbsp; "symmetric"&nbsp; liegt diese bei&nbsp; $G = 0$.
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'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlickeit,&nbsp; dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; größer ist als&nbsp; $+1$&nbsp; oder kleiner ist als&nbsp; $–1$,&nbsp;  ergibt sich gemäß der Angabe zu&nbsp; $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.
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*Mit&nbsp; $\sigma= 0.4$&nbsp; folgt daraus: &nbsp; $\varepsilon = {\rm Q}(2.5)  \ \underline { = 0.62\, \%}.$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung ''$\sigma$'' größer ist als $+1$ oder kleiner ist als $–1$,  ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$. Mit $\sigma= 0.4$ folgt daraus:
 
:$$\varepsilon = {\rm Q}(2.5)  \ \underline { = 0.62\, \%}.$$
 
  
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier die&nbsp; <u>Antwort 2</u>:
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*Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete,&nbsp; je eines für die Symbole&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; und ein weiteres für&nbsp; "Erasure" $(\rm E$:&nbsp; keine Entscheidung möglich$)$.
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*Dazu benötigt man zwei Schwellen,&nbsp; die symmetrisch um&nbsp; $0$&nbsp; liegen müssen.
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*Wenn dem nicht so wäre,&nbsp; ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier die <u>Antwort 2</u>:
 
*Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete, je eines für die Symbole $0$ und $1$ und ein weiteres für ''Erasure'' ($\rm E$: keine Entscheidung möglich).
 
*Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um $0$ liegen müssen.
 
*Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole $0$ und $1$.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Es gelte $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$. Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm
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'''(4)'''&nbsp; Es gelte&nbsp; $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.&nbsp; Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm
*$n > +1.2$,  falls $\tilde{x} = -1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 1$,
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*$n > +1.2$, &nbsp;   falls $\tilde{x} = -1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 1$,
*$n < -1.2$,  falls $\tilde{x} = +1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 0$.
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*$n < -1.2$, &nbsp;   falls $\tilde{x} = +1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 0$.
  
  
In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit $ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}$.
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In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit:
Ein ''Erasure'' (keine Entscheidung) ergibt sich für $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$. Ausgehend von $\tilde{x} = -1$ gilt somit:  
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:$$ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}.$$
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*Ein&nbsp; "Erasure"&nbsp; (keine Entscheidung)&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$.  
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*Ausgehend von&nbsp; $\tilde{x} = -1$&nbsp; gilt somit:  
 
:$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp;  Hier ist ebenfalls die <u>Antwort 2</u> richtig:  
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'''(5)'''&nbsp;  Hier ist ebenfalls die&nbsp; <u>Antwort 2</u>&nbsp; richtig:  
*Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um $0$ symmetrische Schwellen. Der Unterschied zum BSEC–Modell ist, dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon  = 0$ (genauer gesagt: $\varepsilon  < 0.5 · 10^{–4}$) ergibt, entweder, weil
+
*Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um&nbsp; $0$&nbsp; symmetrische Schwellen.  
*der Sicherheitsbereich $(±G)$ größer gewählt ist als beim BSEC–Modell, oder
+
*Der Unterschied zum BSEC–Modell ist,&nbsp; dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon  = 0$&nbsp; $($genauer gesagt:&nbsp; $\varepsilon  < 0.5 · 10^{–4})$&nbsp; ergibt,&nbsp; entweder,&nbsp; weil
*das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung $σ$ aufweist.
+
:*der Sicherheitsbereich&nbsp; $(±G)$&nbsp; größer gewählt ist als beim BSEC–Modell,&nbsp; oder
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:*das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; aufweist.
  
  
 
'''(6)'''&nbsp;  Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:
 
'''(6)'''&nbsp;  Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:
 
:$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen. Für die ''Erasure''–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:
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*Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen.  
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*Für die&nbsp; "Erasure"–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:
 
:$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
  

Aktuelle Version vom 12. Juni 2022, 14:50 Uhr

Kanalmodelle  „BSEC”  und  „AWGN”

Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:


Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell.  Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:

  • Mit  $λ = 0$  ergibt sich das BSC–Modell.
  • Mit  $\varepsilon = 0$  ergibt sich das BEC–Modell.


Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell.  Um Verwechslungen zu vermeiden,  bezeichnen wir das  (analoge)  Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit  $y_{\rm A}$,  wobei mit dem Rauschterm  $n$  gilt:

$$y_{\rm A} = \tilde{x}+ n.$$

Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin.  Es gilt:

  • $\tilde{x} = +1$,   falls  $x = 0$,
  • $\tilde{x} = -1$,   falls  $x = 1$.


Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße  $y \in \{0,\ 1,\ \rm E\}$,  die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt.  Hierzu werden die Entscheiderschwellen  $G_0$  und  $G_1$  benötigt.

Das Ereignis   $y = \rm E$  („"Erasure"”)  sagt aus,  dass die Entscheidung so unsicher ist,  dass als Ergebnis weder  $y = 0$   noch   $y = 1$   gerechtfertigt erscheint.  In deutschen Fachbüchern spricht man von einer  "Auslöschung".



Hinweise:

  • Die Streuung des AWGN–Rauschens  $n$  wird für die gesamte Aufgabe zu  $\sigma = 0.4$  angenommen.
  • Die Wahrscheinlichkeit,  dass die Zufallsgröße  $n$  größer ist als  $A$  oder kleiner als  $–A$,  ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral  ${\rm Q}(x)$  wie folgt:
$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
  • Bitte beachten Sie weiter:   Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = 0$  eigentlich nicht möglich.
  • Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch,  dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen.  Damit kann  $\varepsilon \le 0.5 · 10^{-4}=0.005\%$  durch  $\varepsilon \approx 0$  angenähert werden.


Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:

$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \hspace{0.3cm} 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?

Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

2

Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  mit  $\sigma = 0.4$?

$\varepsilon \ = \ $

$\ \%$

3

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSEC–Modell?

Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

4

Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei  $±0.2$?

$\varepsilon \ = \ $

$ \ \%$
$\lambda \ = \ $

$ \ \%$

5

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell?  Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.

Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

6

Berechnen Sie den BEC–Parameter  $\lambda$  für Entscheiderschwellen bei  $G = ±0.6$.

$\lambda \ = \ $

$ \ \%$


Musterlösung

(1)  Richtig ist die  Antwort 1:

  • Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle.  Wegen der Eigenschaft  "symmetric"  liegt diese bei  $G = 0$.


(2)  Die Wahrscheinlickeit,  dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung  $\sigma$  größer ist als  $+1$  oder kleiner ist als  $–1$,  ergibt sich gemäß der Angabe zu  $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.

  • Mit  $\sigma= 0.4$  folgt daraus:   $\varepsilon = {\rm Q}(2.5) \ \underline { = 0.62\, \%}.$


(3)  Richtig ist hier die  Antwort 2:

  • Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete,  je eines für die Symbole  $0$  und  $1$  und ein weiteres für  "Erasure" $(\rm E$:  keine Entscheidung möglich$)$.
  • Dazu benötigt man zwei Schwellen,  die symmetrisch um  $0$  liegen müssen.
  • Wenn dem nicht so wäre,  ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole  $0$  und  $1$.


(4)  Es gelte  $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.  Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm

  • $n > +1.2$,   falls $\tilde{x} = -1$   ⇒   $x = 1$,
  • $n < -1.2$,   falls $\tilde{x} = +1$   ⇒   $x = 0$.


In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit:

$$ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}.$$
  • Ein  "Erasure"  (keine Entscheidung)  ergibt sich für  $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$.
  • Ausgehend von  $\tilde{x} = -1$  gilt somit:
$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Hier ist ebenfalls die  Antwort 2  richtig:

  • Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um  $0$  symmetrische Schwellen.
  • Der Unterschied zum BSEC–Modell ist,  dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = 0$  $($genauer gesagt:  $\varepsilon < 0.5 · 10^{–4})$  ergibt,  entweder,  weil
  • der Sicherheitsbereich  $(±G)$  größer gewählt ist als beim BSEC–Modell,  oder
  • das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung  $σ$  aufweist.


(6)  Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:

$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen.
  • Für die  "Erasure"–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:
$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$