Aufgaben:Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgenwo: Unterschied zwischen den Versionen

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Aus nebenstehender Grafik können Sie einige Informationen über die FUI (''Fiktive Universität Irgendwo'') ablesen. Das gesamte Quadrat steht für die Grundmenge $G$ der 960 Studierenden. Von diesen sind
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Aus nebenstehender Grafik können Sie einige Informationen über die  $\rm FUI$  (''Fiktive Universität Irgendwo'') ablesen. Das gesamte Quadrat steht für die Grundmenge  $G$  der  $960$  Studierenden. Von diesen sind
*25% weiblich (Menge $W$, violettes Rechteck),
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*$25\%$  weiblich  (Menge  $W$, violettes Rechteck),
*75% männlich (Menge $M$, gelbes Rechteck).
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*$75\%$  männlich  (Menge  $M$, gelbes Rechteck).
  
  
 
An der Universität gibt es die Fakultäten für
 
An der Universität gibt es die Fakultäten für
*Theologie (Menge $T$, schwarzes Dreieck),
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*Theologie  (Menge  $T$, schwarzes Dreieck),
*Informationstechnik (Menge $I$, blaues Dreieck),
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*Informationstechnik  (Menge  $I$, blaues Dreieck),
*Betriebswirtschaft (Menge $B$, grünes Viereck).
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*Betriebswirtschaft  (Menge  $B$, grünes Viereck).
  
  
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Die Flächen in der obigen Darstellung sind maßstäblich, so dass Sie anhand der angegebenen Zahlenwerte und einfachen geometrischen Überlegungen die (prozentualen) Belegungszahlen leicht angeben können.
 
Die Flächen in der obigen Darstellung sind maßstäblich, so dass Sie anhand der angegebenen Zahlenwerte und einfachen geometrischen Überlegungen die (prozentualen) Belegungszahlen leicht angeben können.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo  [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
  
  
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<quiz display=simple>
 
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{Berechnen Sie die Anzahl der in den Fakultäten Immatrikulierten. Geben Sie zur Kontrolle die Studierendenzahl in der theologischen Fakultät ein.
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{Berechnen Sie die Anzahl der in den Fakultäten Immatrikulierten.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle die Studierendenzahl in der theologischen Fakultät&nbsp; $(N_{\rm T})$&nbsp; ein.
 
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$N_{\rm T} \ = \ $  { 270 3% }
 
$N_{\rm T} \ = \ $  { 270 3% }
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{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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- $I$ ist eine Teilmenge von $M$.
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- $I$&nbsp; ist eine Teilmenge von&nbsp; $M$.
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+ $W$&nbsp; ist eine Teilmenge von&nbsp; $B$.
+ $W$ und $M$ ergeben zusammen ein vollständiges System.
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+ $W$&nbsp; und&nbsp; $M$&nbsp; ergeben zusammen ein vollständiges System.
- $B$, $I$ und $T$ ergeben zusammen ein vollständiges System.
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- $B$,&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; ergeben zusammen ein vollständiges System.
+ $W$ und $T$ sind disjunkte Mengen.
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+ $W$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; sind disjunkte Mengen.
+ Die Vereinigungsmenge von $B$, $I$ und $T$ ergibt die Grundmenge $G$.
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+ Die Vereinigungsmenge von&nbsp; $B$,&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; ergibt die Grundmenge&nbsp; $G$.
- Die Schnittmenge von $B$, $I$ und $T$ ergibt die leere Menge $\phi$.
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- Die Schnittmenge von&nbsp; $B$,&nbsp; $I$&nbsp; und &nbsp;$T$&nbsp; ergibt die leere Menge&nbsp; $\phi$.
  
  
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:$${\rm Pr}(T) = {1}/{2} \cdot {3}/{4} \cdot {3}/{4} = {9}/{32} \hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 270)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm T} \;\underline{= 270}.$$
 
:$${\rm Pr}(T) = {1}/{2} \cdot {3}/{4} \cdot {3}/{4} = {9}/{32} \hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 270)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm T} \;\underline{= 270}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3, 5 und 6</u>  &nbsp; ⇒  &nbsp; die Lösungsvorschläge 1, 4, 7 sind demzufolge falsch:  
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3, 5 und 6</u>  &nbsp; ⇒  &nbsp; die Lösungsvorschläge 1, 4, 7 sind demzufolge falsch:  
 
*Es gibt auch IT-Studentinnen, wenn auch nur sehr wenige.  
 
*Es gibt auch IT-Studentinnen, wenn auch nur sehr wenige.  
*Die Vereinigung von $B$, $I$ und $T$ ergibt die Grundmenge, aber kein vollständiges System (nicht alle Kombinationen von $B$, $I$ und $T$ sind zueinander disjunkt).
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*Die Vereinigung von&nbsp; $B$,&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; ergibt die Grundmenge, aber kein vollständiges System (nicht alle Kombinationen von&nbsp; $B$,&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; sind zueinander disjunkt).
*Aus dem gleichen Grund ergibt auch die Schnittmenge von $B$, $I$ und $T$ nicht die leere Menge.
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*Aus dem gleichen Grund ergibt auch die Schnittmenge von&nbsp; $B$,&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; nicht die leere Menge.
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[[Datei:P_ID181__Sto_A_1_3_d_neu.png|right|frame|Geometrische Lösung eines Wahrscheinlichkeitsproblems]]
 
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'''(3)'''&nbsp; Eine IT-Studentin ist mengentheoretisch die Schnittmenge aus $I$ und $W$ <br>(in der Grafik links oben dargestellt als schraffierte Fläche):
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'''(3)'''&nbsp; Eine IT-Studentin ist mengentheoretisch die Schnittmenge aus&nbsp; $I$&nbsp; und&nbsp; $W$&nbsp; <br>(in der Grafik links oben dargestellt als schraffierte Fläche):
  
 
:$$\text{Pr[IT-Studentin] = Pr}(I \cap W) = {1}/{2}\cdot {1}/{4} \cdot {1}/{4} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline { \thickapprox 3.13 \%}.$$
 
:$$\text{Pr[IT-Studentin] = Pr}(I \cap W) = {1}/{2}\cdot {1}/{4} \cdot {1}/{4} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline { \thickapprox 3.13 \%}.$$
  
In Worten: Unter den 960 Studierenden gibt es 30 IT–Studentinnen.
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In Worten: Unter den&nbsp; $960$&nbsp; Studierenden gibt es&nbsp; $30$&nbsp; IT–Studentinnen.
  
  
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:$$ \text{Pr[ein Studienfach]  =  Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) +  {\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) +  {\rm Pr}( \it B \cap \overline{I} \cap \overline{T}).$$
 
:$$ \text{Pr[ein Studienfach]  =  Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) +  {\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) +  {\rm Pr}( \it B \cap \overline{I} \cap \overline{T}).$$
  
Jede einzelne Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fl&auml;che im Venndiagramm und kann durch Addition bzw. Subraktion von Dreiecken oder Rechtecken bestimmt werden (siehe Grafik):
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*Jede einzelne Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fl&auml;che im Venndiagramm und kann durch Addition bzw. Subraktion von Dreiecken oder Rechtecken bestimmt werden (siehe Grafik):
 
:$$p_1 = {\rm Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) = {\rm Dreieck\ (ABC)}= \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}= \frac{1}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0313},$$
 
:$$p_1 = {\rm Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) = {\rm Dreieck\ (ABC)}= \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}= \frac{1}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0313},$$
 
:$$p_2 ={\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) =  {\rm Viereck\hspace{0.1cm}(DEFG)}= \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}  \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}+ \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} = \frac{3}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0938},$$
 
:$$p_2 ={\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) =  {\rm Viereck\hspace{0.1cm}(DEFG)}= \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}  \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}+ \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} = \frac{3}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0938},$$
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:$$p_3 = {\rm Pr}( B \cap \overline{I} \cap \overline{T}) ={\rm Viereck\hspace{0.1cm}(HIJK)}= {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HLK)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(ILJ)} = \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{4}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{8}\hspace{0.02cm} -  \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} \cdot  \frac{1}{4} =  \frac{23}{64}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.3594}.$$
 
:$$p_3 = {\rm Pr}( B \cap \overline{I} \cap \overline{T}) ={\rm Viereck\hspace{0.1cm}(HIJK)}= {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HLK)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(ILJ)} = \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{4}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{8}\hspace{0.02cm} -  \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} \cdot  \frac{1}{4} =  \frac{23}{64}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.3594}.$$
  
$\text{Oder:}\hspace{0.3cm}p_3 = {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HIC)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(KJC)} ={1}/{2}\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} -  \hspace{0.1cm}{1}/{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} {3}/{4} \cdot  {3}/{8} =  {23}/{64}.$
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&nbsp;$\text{Oder:}\hspace{0.3cm}$
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:$$p_3 = {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HIC)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(KJC)} ={1}/{2}\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} -  \hspace{0.1cm}{1}/{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} {3}/{4} \cdot  {3}/{8} =  {23}/{64}.$$
  
Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten führt zum Endergebnis $ \text{Pr[ein Studienfach] } = 31/64 \;\underline {\approx 48.43 \%}$.
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*Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten führt zum Endergebnis&nbsp; $ \text{Pr[ein Studienfach] } = 31/64 \;\underline {\approx 48.43 \%}$.
  
  
'''(5)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das $\text{Dreieck (AGK)}$ ausgedr&uuml;ckt. Dieses hat die Fl&auml;che
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'''(5)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das&nbsp; $\text{Dreieck (AGK)}$&nbsp; ausgedr&uuml;ckt.&nbsp; Dieses hat die Fl&auml;che
 
:$$\rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = {1}/{2}\cdot {1}/{4}\cdot {1}/{8} = {1}/{64}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.56 \%}.$$
 
:$$\rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = {1}/{2}\cdot {1}/{4}\cdot {1}/{8} = {1}/{64}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.56 \%}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Die drei Ereignisse &bdquo;nur ein Studienfach&rdquo;, &bdquo;zwei Studienf&auml;cher&rdquo; und  
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&bdquo;drei Studienf&auml;cher&rdquo; bilden ein vollst&auml;ndiges System. <br>Damit erh&auml;lt man mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgaben:
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'''(6)'''&nbsp; Die drei Ereignisse
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* &bdquo;nur ein Studienfach&rdquo;,  
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*&bdquo;zwei Studienf&auml;cher&rdquo; und  
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*&bdquo;drei Studienf&auml;cher&rdquo;  
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bilden ein vollst&auml;ndiges System.&nbsp; Damit erh&auml;lt man mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgaben:
 
:$$\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = 1- \text{Pr[ein Studienfach] } - \rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher]= 1- {31}/{64} - {1}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{= 50\%}.$$
 
:$$\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = 1- \text{Pr[ein Studienfach] } - \rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher]= 1- {31}/{64} - {1}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{= 50\%}.$$
 
Zum genau gleichen Ergebnis &ndash; aber mit deutlich mehr Aufwand &ndash; k&auml;me man auf dem direkten Weg entsprechend:
 
Zum genau gleichen Ergebnis &ndash; aber mit deutlich mehr Aufwand &ndash; k&auml;me man auf dem direkten Weg entsprechend:

Aktuelle Version vom 9. November 2019, 15:02 Uhr

Fiktive Universität Irgendwo

Aus nebenstehender Grafik können Sie einige Informationen über die  $\rm FUI$  (Fiktive Universität Irgendwo) ablesen. Das gesamte Quadrat steht für die Grundmenge  $G$  der  $960$  Studierenden. Von diesen sind

  • $25\%$  weiblich  (Menge  $W$, violettes Rechteck),
  • $75\%$  männlich  (Menge  $M$, gelbes Rechteck).


An der Universität gibt es die Fakultäten für

  • Theologie  (Menge  $T$, schwarzes Dreieck),
  • Informationstechnik  (Menge  $I$, blaues Dreieck),
  • Betriebswirtschaft  (Menge  $B$, grünes Viereck).


Jeder Studierende muss mindestens einer dieser Fakultäten zugeordnet sein, kann jedoch auch gleichzeitig zwei oder drei Fakultäten angehören.

Die Flächen in der obigen Darstellung sind maßstäblich, so dass Sie anhand der angegebenen Zahlenwerte und einfachen geometrischen Überlegungen die (prozentualen) Belegungszahlen leicht angeben können.





Hinweise:


Fragebogen

1

Berechnen Sie die Anzahl der in den Fakultäten Immatrikulierten.  Geben Sie zur Kontrolle die Studierendenzahl in der theologischen Fakultät  $(N_{\rm T})$  ein.

$N_{\rm T} \ = \ $

2

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

$I$  ist eine Teilmenge von  $M$.
$W$  ist eine Teilmenge von  $B$.
$W$  und  $M$  ergeben zusammen ein vollständiges System.
$B$,  $I$  und  $T$  ergeben zusammen ein vollständiges System.
$W$  und  $T$  sind disjunkte Mengen.
Die Vereinigungsmenge von  $B$,  $I$  und  $T$  ergibt die Grundmenge  $G$.
Die Schnittmenge von  $B$,  $I$  und  $T$  ergibt die leere Menge  $\phi$.

3

Wie groß ist der IT-Studentinnen-Anteil bezogen auf alle Studierenden?

$\text{Pr}\big[\text{IT-Studentin}\big] \ = \ $

$\ \%$

4

Wie groß ist der Anteil der Studentinnen mit nur einem Studienfach?

$\text{Pr}\big[\text{ein Studienfach}\big] \ = \ $

$\ \%$

5

Wie groß ist der Anteil der Studierenden mit drei Studienfächern?

$\text{Pr}\big[\text{drei Studienfächer}\big] \ = \ $

$\ \%$

6

Wie groß ist der Anteil der Studierenden mit zwei Studienfächern?

$\text{Pr}\big[\text{zwei Studienfächer}\big] \ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Aus einfachen geometrischen Überlegungen kommt man zu den Ergebnissen:

$${\rm Pr}(B) = 3/4 \cdot 1 = 3/4\hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 720),$$
$${\rm Pr}(I) = {1}/{2}\cdot 1\cdot 1 = 1/2\hspace{0.3cm}(\text{absolut:} \ 480),$$
$${\rm Pr}(T) = {1}/{2} \cdot {3}/{4} \cdot {3}/{4} = {9}/{32} \hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 270)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm T} \;\underline{= 270}.$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3, 5 und 6   ⇒   die Lösungsvorschläge 1, 4, 7 sind demzufolge falsch:

  • Es gibt auch IT-Studentinnen, wenn auch nur sehr wenige.
  • Die Vereinigung von  $B$,  $I$  und  $T$  ergibt die Grundmenge, aber kein vollständiges System (nicht alle Kombinationen von  $B$,  $I$  und  $T$  sind zueinander disjunkt).
  • Aus dem gleichen Grund ergibt auch die Schnittmenge von  $B$,  $I$  und  $T$  nicht die leere Menge.



Geometrische Lösung eines Wahrscheinlichkeitsproblems

(3)  Eine IT-Studentin ist mengentheoretisch die Schnittmenge aus  $I$  und  $W$ 
(in der Grafik links oben dargestellt als schraffierte Fläche):

$$\text{Pr[IT-Studentin] = Pr}(I \cap W) = {1}/{2}\cdot {1}/{4} \cdot {1}/{4} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline { \thickapprox 3.13 \%}.$$

In Worten: Unter den  $960$  Studierenden gibt es  $30$  IT–Studentinnen.




(4)  Die Wahrscheinlichkeit ist als Summe dreier Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar:

$$ \text{Pr[ein Studienfach] = Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) + {\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) + {\rm Pr}( \it B \cap \overline{I} \cap \overline{T}).$$
  • Jede einzelne Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fläche im Venndiagramm und kann durch Addition bzw. Subraktion von Dreiecken oder Rechtecken bestimmt werden (siehe Grafik):
$$p_1 = {\rm Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) = {\rm Dreieck\ (ABC)}= \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}= \frac{1}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0313},$$
$$p_2 ={\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) = {\rm Viereck\hspace{0.1cm}(DEFG)}= \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}+ \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} = \frac{3}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0938},$$
$$p_3 = {\rm Pr}( B \cap \overline{I} \cap \overline{T}) ={\rm Viereck\hspace{0.1cm}(HIJK)}= {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HLK)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(ILJ)} = \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{4}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{8}\hspace{0.02cm} - \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{23}{64}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.3594}.$$

 $\text{Oder:}\hspace{0.3cm}$

$$p_3 = {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HIC)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(KJC)} ={1}/{2}\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}{1}/{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} {3}/{4} \cdot {3}/{8} = {23}/{64}.$$
  • Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten führt zum Endergebnis  $ \text{Pr[ein Studienfach] } = 31/64 \;\underline {\approx 48.43 \%}$.



(5)  Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das  $\text{Dreieck (AGK)}$  ausgedrückt.  Dieses hat die Fläche

$$\rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = {1}/{2}\cdot {1}/{4}\cdot {1}/{8} = {1}/{64}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.56 \%}.$$


(6)  Die drei Ereignisse

  • „nur ein Studienfach”,
  • „zwei Studienfächer” und
  • „drei Studienfächer”


bilden ein vollständiges System.  Damit erhält man mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgaben:

$$\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = 1- \text{Pr[ein Studienfach] } - \rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher]= 1- {31}/{64} - {1}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{= 50\%}.$$

Zum genau gleichen Ergebnis – aber mit deutlich mehr Aufwand – käme man auf dem direkten Weg entsprechend:

$${\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = Pr}(B\cap I \cap\overline{T}) + {\rm Pr}(B\cap\overline{I}\cap{T}) + {\rm Pr}(\overline{B}\cap I \cap T).$$