Aufgaben:Aufgabe 1.3: Fiktive Uni Irgendwo

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Fiktive Universität Irgendwo

Aus nebenstehender Grafik können Sie einige Informationen über die  $\rm FUI$  ("'Fiktive Universität Irgendwo")  ablesen.  Das gesamte Quadrat steht für die Grundmenge  $G$  der  $960$  Studierenden.  Von diesen sind

• $25\%$  weiblich  (Menge  $W$,  violettes Rechteck),
• $75\%$  männlich  (Menge  $M$,  gelbes Rechteck).

An der Universität gibt es die Fakultäten für

• Theologie  (Menge  $T$,  schwarzes Dreieck),
• Informationstechnik  (Menge  $I$,  blaues Dreieck),
• Betriebswirtschaft  (Menge  $B$,  grünes Viereck).

Jeder Studierende muss mindestens einer dieser Fakultäten zugeordnet sein,  kann jedoch auch gleichzeitig zwei oder drei Fakultäten angehören.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Mengentheoretische Grundlagen.
• Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo  Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten.
• Die Flächen in der obigen Darstellung sind maßstäblich, so dass Sie anhand der angegebenen Zahlenwerte und nach einfachen geometrischen Überlegungen die (prozentualen) Belegungszahlen leicht angeben können.

Fragebogen

1

Berechnen Sie die Anzahl der in den Fakultäten Immatrikulierten.  Geben Sie zur Kontrolle die Studierendenzahl in der theologischen Fakultät  $(N_{\rm T})$  ein.

$N_{\rm T} \ = \ $

2

Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?

	$I$  ist eine Teilmenge von  $M$.
	$W$  ist eine Teilmenge von  $B$.
	$W$  und  $M$  ergeben zusammen ein vollständiges System.
	$B$,  $I$  und  $T$  ergeben zusammen ein vollständiges System.
	$W$  und  $T$  sind disjunkte Mengen.
	Die Vereinigungsmenge von  $B$,  $I$  und  $T$  ergibt die Grundmenge  $G$.
	Die Schnittmenge von  $B$,  $I$  und  $T$  ergibt die leere Menge  $\phi$.

3

Wie groß ist der IT-Studentinnen-Anteil bezogen auf alle Studierenden?

$\text{Pr}\big[\text{IT-Studentin}\big] \ = \ $ $\ \%$

4

Wie groß ist der Anteil der Studierenden mit nur einem Studienfach?

$\text{Pr}\big[\text{ein Studienfach}\big] \ = \ $ $\ \%$

5

Wie groß ist der Anteil der Studierenden mit drei Studienfächern?

$\text{Pr}\big[\text{drei Studienfächer}\big] \ = \ $ $\ \%$

6

Wie groß ist der Anteil der Studierenden mit zwei Studienfächern?

$\text{Pr}\big[\text{zwei Studienfächer}\big] \ = \ $ $\ \%$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Aus einfachen geometrischen Überlegungen kommt man zu den Ergebnissen:

$${\rm Pr}(B) = 3/4 \cdot 1 = 3/4\hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 720),$$

$${\rm Pr}(I) = {1}/{2}\cdot 1\cdot 1 = 1/2\hspace{0.3cm}(\text{absolut:} \ 480),$$

$${\rm Pr}(T) = {1}/{2} \cdot {3}/{4} \cdot {3}/{4} = {9}/{32} \hspace{0.3cm}(\text{absolut:}\ 270)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}N_{\rm T} \;\underline{= 270}.$$

(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3, 5 und 6   ⇒   die Lösungsvorschläge 1, 4, 7 sind demzufolge falsch:

• Es gibt auch IT-Studentinnen, wenn auch nur sehr wenige.
• Die Vereinigung von  $B$,  $I$  und  $T$  ergibt die Grundmenge, aber kein vollständiges System (nicht alle Kombinationen von  $B$,  $I$  und  $T$  sind zueinander disjunkt).
• Aus dem gleichen Grund ergibt auch die Schnittmenge von  $B$,  $I$  und  $T$  nicht die leere Menge.

Geometrische Lösung eines Wahrscheinlichkeitsproblems

(3)  Eine IT-Studentin ist mengentheoretisch die Schnittmenge aus  $I$  und  $W$ 
(in der Grafik links oben dargestellt als schraffierte Fläche):

$$\text{Pr[IT-Studentin] = Pr}(I \cap W) = {1}/{2}\cdot {1}/{4} \cdot {1}/{4} = {1}/{32} \hspace{0.15cm}\underline { \thickapprox 3.13 \%}.$$

In Worten: Unter den  $960$  Studierenden gibt es  $30$  IT–Studentinnen.

(4)  Die Wahrscheinlichkeit ist als Summe dreier Einzelwahrscheinlichkeiten berechenbar:

$$ \text{Pr[ein Studienfach] = Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) + {\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) + {\rm Pr}( \it B \cap \overline{I} \cap \overline{T}).$$

• Jede einzelne Wahrscheinlichkeit entspricht einer Fläche im Venndiagramm und kann durch Addition bzw. Subraktion von Dreiecken oder Rechtecken bestimmt werden (siehe Grafik):

$$p_1 = {\rm Pr}( \overline{B} \cap \overline{I} \cap T) = {\rm Dreieck\ (ABC)}= \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}\frac{1}{4}= \frac{1}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0313},$$

$$p_2 ={\rm Pr}( \overline{B} \cap I \cap \overline{T}) = {\rm Viereck\hspace{0.1cm}(DEFG)}= \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}+ \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4}\hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} = \frac{3}{32}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.0938},$$

$$p_3 = {\rm Pr}( B \cap \overline{I} \cap \overline{T}) ={\rm Viereck\hspace{0.1cm}(HIJK)}= {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HLK)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(ILJ)} = \frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{4}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{5}{8}\hspace{0.02cm} - \hspace{0.02cm}\frac{1}{2}\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{23}{64}\hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.3594}.$$

 $\text{Oder:}\hspace{0.3cm}$

$$p_3 = {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(HIC)}- {\rm Dreieck\hspace{0.1cm}(KJC)} ={1}/{2}\hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} 1 \hspace{0.1cm} - \hspace{0.1cm}{1}/{2}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} {3}/{4} \cdot {3}/{8} = {23}/{64}.$$

• Die Summe dieser drei Wahrscheinlichkeiten führt zum Endergebnis  $ \text{Pr[ein Studienfach] } = 31/64 \;\underline {\approx 48.43 \%}$.

(5)  Diese Wahrscheinlichkeit wird durch das  $\text{Dreieck (AGK)}$  ausgedrückt.  Dieses hat die Fläche

$$\rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = {1}/{2}\cdot {1}/{4}\cdot {1}/{8} = {1}/{64}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.56 \%}.$$

(6)  Die drei Ereignisse

• „nur ein Studienfach”,
• „zwei Studienfächer” und
• „drei Studienfächer”

bilden ein vollständiges System.  Damit erhält man mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgaben:

$$\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = 1- \text{Pr[ein Studienfach] } - \rm Pr[drei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher]= 1- {31}/{64} - {1}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{= 50\%}.$$

Zum genau gleichen Ergebnis – aber mit deutlich mehr Aufwand – käme man auf dem direkten Weg entsprechend:

$${\rm Pr[zwei\hspace{0.1cm}Studienf\ddot{a}cher] = Pr}(B\cap I \cap\overline{T}) + {\rm Pr}(B\cap\overline{I}\cap{T}) + {\rm Pr}(\overline{B}\cap I \cap T).$$