Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen

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Ziffernmengen

Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:

$$A = [\text{die Ziffern} \leqslant 3],$$ $$ B = [\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}],$$ $$ C = [\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert: $$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$ $$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$ $$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$ $$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$

Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mengentheoretische Grundlagen.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten


Fragebogen

1

Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?

$A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.
$A$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
$B$ und $C$ sind disjunkte Mengen.

2

Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?

Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge $G$.
Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge $G$.

3

Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?

Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch.
$F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$.
Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System.
Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System.


Musterlösung

Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:

$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) =[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}] \cup [\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}] = \{1, 2, 6, 9\},$$

$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$

$$F = (A \cup C= \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$

$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:

  • $A$ und $C$ haben kein gemeinsames Element.
  • $A$ und $B$ beinhalten jeweils die $3$.
  • $B$ und $C$ beinhalten jeweils die $6$.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten   ⇒   $ A \cap B \cap C = \phi$   ⇒   $ \overline{A \cap B \cap C} = \Overline \phi = G$.
  • Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die $4$.


(3)  Richtig sind dier Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Der erste Vorschlag ist richtig: Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
  • Auch der zweite Vorschlag ist richtig. Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt: $X \cap \bar B \subset \bar B \Rightarrow$ Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \bar B$
  • Auch der letzte Vorschlag ist richtig. $A = \{1, 2, 3\},$ $C = \{5, 6, 7, 8\}$ und $H = \{4, 9\}$ bilden ein „vollständiges System”.
  • Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil $B$ und $C$ nicht disjunkt sind.