Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Ziffernmengen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Mengentheoretische Grundlagen}}
  
[[Datei:P_ID81__Sto_Z_1_2.png|right|frame|Ziffernmengen $A$, $B$, $C$]]
+
[[Datei:P_ID81__Sto_Z_1_2.png|right|frame|Ziffernmengen  $A$,  $B$,  $C$]]
Die Grundmenge $G$ sei die Menge aller Ziffern zwischen $1$ und $9$. Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:
+
Die Grundmenge  $G$  sei die Menge aller Ziffern zwischen  $1$  und  $9$.  Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:
  
 
:$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
 
:$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
Zeile 15: Zeile 15:
 
:$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$
 
:$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$
  
Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen $D$, $E$, $F$ und $H$ gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. <br>Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.
+
Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen&nbsp; $D$,&nbsp; $E$,&nbsp; $F$&nbsp; und&nbsp; $H$&nbsp; gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen. <br>Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 22: Zeile 25:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
+
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
  
  
Zeile 30: Zeile 33:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
+
{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.
+
- $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; sind disjunkte Mengen.
+ $A$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
+
+ $A$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; sind disjunkte Mengen.
- $B$ und $C$ sind disjunkte Mengen.
+
- $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; sind disjunkte Mengen.
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
+
{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Die Vereinigungsmenge $A \cup B \cup C$ ergibt die Grundmenge $G$.
+
- Die Vereinigungsmenge&nbsp; $A \cup B \cup C$&nbsp; ergibt die Grundmenge&nbsp; $G$.
+ Die Komplementärmenge zu $A \cap B \cap C$ ergibt die Grundmenge $G$.
+
+ Die Komplementärmenge zu&nbsp; $A \cap B \cap C$&nbsp; ergibt die Grundmenge&nbsp; $G$.
  
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind richtig?
+
{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Die Komplementärmengen von $D$ und $E$ sind identisch.
+
+ Die Komplementärmengen von&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$&nbsp; sind identisch.
+ $F$ ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von $B$.
+
+ $F$&nbsp; ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von&nbsp; $B$.
- Die Mengen $B$, $C$ und $D$ bilden ein vollständiges System.
+
- Die Mengen&nbsp; $B$,&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $D$&nbsp; bilden ein vollständiges System.
+ Die Mengen $A$, $C$ und $H$ bilden ein vollständiges System.
+
+ Die Mengen&nbsp; $A$,&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $H$&nbsp; bilden ein vollständiges System.
  
  
Zeile 65: Zeile 68:
  
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 
'''(1)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
* $A$ und $C$ haben kein gemeinsames Element.
+
* $A$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; haben kein gemeinsames Element.
* $A$ und $B$ beinhalten jeweils die $3$.
+
* $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; beinhalten jeweils die&nbsp; $3$.
*$B$ und $C$ beinhalten jeweils die $6$.
+
*$B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; beinhalten jeweils die&nbsp; $6$.
 +
 
  
  
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
*Keine Ziffer ist gleichzeitig in $A$, $B$ und $C$ enthalten &nbsp; &rArr; &nbsp;  $ A \cap B \cap C = \phi$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
+
*Keine Ziffer ist gleichzeitig in&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; enthalten &nbsp; &rArr; &nbsp;  $ A \cap B \cap C = \phi$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
*Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die $4$.
+
*Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die&nbsp; $4$.
 +
 
  
  
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1,  2 und 4</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1,  2 und 4</u>:
*Der erste Vorschlag ist richtig: &nbsp; Die Mengen $D$ und $E$ enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
+
*Der erste Vorschlag ist richtig: &nbsp; Die Mengen&nbsp; $D$&nbsp; und&nbsp; $E$&nbsp; enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
*Auch der zweite Vorschlag ist richtig: &nbsp; Allgemein, das heißt für beliebige $X$ und $B$ gilt: $X \cap \bar B \subset \bar B \ \Rightarrow$ &nbsp; Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \bar B$.
+
*Auch der zweite Vorschlag ist richtig: &nbsp; Allgemein, das heißt für beliebige&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; gilt:&nbsp; $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$ &nbsp; Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$.
*Auch der letzte Vorschlag ist richtig: &nbsp; $A = \{1, 2, 3\},$  $C = \{5, 6, 7, 8\}$ und $H = \{4, 9\}$ bilden ein &bdquo;vollständiges System&rdquo;.
+
*Auch der letzte Vorschlag ist richtig: &nbsp; $A = \{1, 2, 3\},$&nbsp; $C = \{5, 6, 7, 8\}$&nbsp; und&nbsp; $H = \{4, 9\}$ bilden ein &bdquo;vollständiges System&rdquo;.
*Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil $B$ und $C$ nicht disjunkt sind.
+
*Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$&nbsp; nicht disjunkt sind.
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 9. November 2019, 14:40 Uhr

Ziffernmengen  $A$,  $B$,  $C$

Die Grundmenge  $G$  sei die Menge aller Ziffern zwischen  $1$  und  $9$.  Gegeben sind dazu die folgenden Teilmengen:

$$A = \big[\text{die Ziffern} \leqslant 3\big],$$
$$ B = \big[\text{die durch 3 teilbaren Ziffern}\big],$$
$$ C = \big[\text{die Ziffern 5, 6, 7, 8}\big],$$

Daneben seien noch weitere Mengen definiert:

$$D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B),$$
$$E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B), $$
$$F = (A \cup C) \cap \overline B, $$
$$G = (\overline A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C).$$

Überlegen Sie sich zunächst, welche Ziffern zu den Mengen  $D$,  $E$,  $F$  und  $H$  gehören und beantworten Sie dann die folgenden Fragen.
Begründen Sie Ihre Antworten mengentheoretisch.





Hinweise:


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

$A$  und  $B$  sind disjunkte Mengen.
$A$  und  $C$  sind disjunkte Mengen.
$B$  und  $C$  sind disjunkte Mengen.

2

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Vereinigungsmenge  $A \cup B \cup C$  ergibt die Grundmenge  $G$.
Die Komplementärmenge zu  $A \cap B \cap C$  ergibt die Grundmenge  $G$.

3

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

Die Komplementärmengen von  $D$  und  $E$  sind identisch.
$F$  ist eine Teilmenge der Komplementärmenge von  $B$.
Die Mengen  $B$,  $C$  und  $D$  bilden ein vollständiges System.
Die Mengen  $A$,  $C$  und  $H$  bilden ein vollständiges System.


Musterlösung

Für die weiteren in der Aufgabe definierten Mengen gilt:

$$ D = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) =\big[\{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}\big] \cup \big[\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \cap \{3, 6, 9\}\big] = \{1, 2, 6, 9\},$$
$$ E = (A \cup B) \cap (\overline A \cup \overline B) = (A \cap \overline A) \cup (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) \cup (\overline A \cap \overline B) = (A \cap \overline B) \cup (\overline A \cap B) = D = \{1, 2, 6, 9\},$$
$$F = (A \cup C= \cap \overline B = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 5, 7, 8\},$$
$$H = (\bar A \cap \overline C) \cup (A \cap B \cap C) = (\overline A \cap \overline C) \cup \phi = \{4, 9\}.$$

(1)  Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2:

  • $A$  und  $C$  haben kein gemeinsames Element.
  • $A$  und  $B$  beinhalten jeweils die  $3$.
  • $B$  und  $C$  beinhalten jeweils die  $6$.


(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Keine Ziffer ist gleichzeitig in  $A$,  $B$  und  $C$  enthalten   ⇒   $ A \cap B \cap C = \phi$   ⇒   $ \overline{A \cap B \cap C} = \overline{\phi} = G$.
  • Der erste Vorschlag ist dagegen falsch. Es fehlt die  $4$.


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:

  • Der erste Vorschlag ist richtig:   Die Mengen  $D$  und  $E$  enthalten genau die gleichen Elemente und somit auch deren Komplementärmengen.
  • Auch der zweite Vorschlag ist richtig:   Allgemein, das heißt für beliebige  $X$  und  $B$  gilt:  $X \cap \overline B \subset \overline B \ \Rightarrow$   Mit $X = A \cup C$ folgt somit $F \subset \overline B$.
  • Auch der letzte Vorschlag ist richtig:   $A = \{1, 2, 3\},$  $C = \{5, 6, 7, 8\}$  und  $H = \{4, 9\}$ bilden ein „vollständiges System”.
  • Der dritte Vorschlag ist dagegen falsch, weil  $B$  und  $C$  nicht disjunkt sind.