Aufgabe 1.2Z: Nochmals Lognormal–Fading
Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der Aufgabe A1.2 aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust V0 und den Mittelwert mS des Lognormal–Fadings zusammen (der Index S steht für Shadowing):
- $$V_{\rm 1} = V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
Der gesamte Pfadverlust ist dann durch die Gleichung
- $$V_{\rm P} = V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t)$$
gegeben, wobei V2(t) eine Lognormal–Verteilung mit Mittelwert 0 beschreibt:
- $$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) = \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet. Multipliziert man das Sendesignal s(t) zunächst mit einem konstanten Faktor k1 und weiter mit einer stochastischen Größe z2(t) mit der Wahrscheinlichkeitsdichte fz2(z2), so ergibt sich am Ausgang das Signal r(t), dessen Leistung PE(t) aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist. Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße z2 lautet für z2 ≥ 0:
- $$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) = \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2} \hspace{0.3cm}{\rm mit} \hspace{0.3cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Für z2 ≤ 0 ist diese WDF identisch 0.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 1.1. Verwenden Sie folgende Kenngrößen:
- $$V_{\rm 1} = 60\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \sigma_{\rm S} = 6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße z einen größeren Wert besitzt als ihre Streuung σ, ist bekanntlich
- $${\rm Pr}(z > \sigma) = {\rm Pr}(z < -\sigma) = {\rm Q}(1) \approx 0.158\hspace{0.05cm}.$$
Weiterhin gilt:
- $${\rm Pr}(z > 2\sigma) = {\rm Pr}(z < -2\sigma) = {\rm Q}(2) \approx 0.023\hspace{0.05cm}.$$
Nochmals zur Verdeutlichung: z2 ist die lineare Fading–Größe, während die Beschreibungsgröße V2 auf dem Zehner–Logarithmus basiert. Es gelten folgende Umrechnungen:
- $$z_2 = 10^{-V_{\rm 2}/20\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} V_{\rm 2} = -20\,{\rm dB} \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}z_2\hspace{0.05cm}.$$
