Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes

Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im n–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge n = 3:

$$\underline{x} \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\\ x_i \hspace{-0.15cm} \in \hspace{-0.15cm} \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

Allgemein gilt bei der Blockcodierung:

Das Informationswort u = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k}) wird eindeutig in das Codewort x = (x_{1}, x_{2}, ... , x_{n}) überführt.
Die Coderate beträgt R = k/n.
Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}$(x, x') zwischen zwei Codeworten x ∈ C und x' ∈ C gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich x und x' unterscheiden.
Die Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = min [$d_{\rm H}$(x, x')] ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
Es können e =$d_{\rm min}$ – 1 Fehler erkannt und t = ($d_{\rm min}$ – 1)/2 korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$ .

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Zielsetzung_der_Kanalcodierung. Zusätzlich werden einige einfache Fragen zu eispiele_binärer_Blockcodes vorweg genommen.

Fragebogen

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Es gilt die Zuordnung u = $ (u_{1}, u_{2}, u_{3})$) → x=$(x_{1}, x_{2},x_{3})$.
	Es gilt die Identität x = u.
	Die Coderate ist R = 1.
	Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min}$ = 2.