Aufgaben:Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler): Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$. Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block). Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit. Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte
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Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$.  
$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$
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*Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block).  
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*Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit.  
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*Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte
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:$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$
 
Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:
 
Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:
$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D$$
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:$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D$$
  
Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit X bezeichnet wird:
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Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird:
:<math> U = A \cap \overline{D} </math>
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::<math> U = A \cap \overline{D} </math>
:<math> V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} </math>
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$$W,\;  {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
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:$$W,\;  {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
 
Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.
 
Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
 
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
:[[Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]]
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Version vom 31. Juli 2018, 09:37 Uhr

A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Logisches Schaltwerk

Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$.

  • Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block).
  • Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit.
  • Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte
$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$

Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:

$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D$$

Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird:

\[ U = A \cap \overline{D} \]
\[ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} \]
$$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$

Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.



Hinweise:



Fragebogen zu "A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)"

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $U$ zutreffend?

$U$ beinhaltet 2 Elemente.
$U$ beinhaltet 4 Elemente.
Das kleinste Element von $U$ ist 4.
Das größte Element von $U$ ist 14.

2

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $V$ zutreffend?

$V$ beinhaltet 2 Elemente.
$V$ beinhaltet 4 Elemente.
Das kleinste Element von $V$ ist 4.
Das größte Element von $V$ ist 14.

3

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $W$ zutreffend?

$W$ beinhaltet 2 Elemente.
$W$ beinhaltet 4 Elemente.
Das kleinste Element von $W$ ist 4.
Das größte Element von $W$ ist 14.

4

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $P$ zutreffend?

$P$ beinhaltet alle Zweierpotenzen.
$P$ beinhaltet alle Primzahlen.
$P$ beschreibt die leere Menge \(\phi\) .
$P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, ... , 15}$.


Musterlösung

(1)  Das Ereignis $U$ beinhaltet alle diejenigen Zahlen größer/gleich 8 $(A = 1)$, die gerade sind $(D = 0)$: $8, 10, 12, 14$   ⇒   Richtig sind die Lösungsalternativen 2 und 4.


(2)  Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen $4$ (binär 0100) und $6$ (binär 0110)   ⇒   Richtig sind hier die Lösungsalternativen 1 und 3.


Hilfs–Venndiagramm

(3)  Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan:

$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$

Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:

$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$

Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze):

$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D)$.

Somit beinhaltet W die Zahlen $15$ und $9$   ⇒   nur Lösungsvorschlag 1.

(4)  Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet folgende Zahlen: $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$. Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge:   $P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.

Dies sind genau die mit 4 Bit darstellbaren Primzahlen   ⇒   Lösungsvorschlag 2.