Aufgaben:Aufgabe 1.2: Schaltlogik (D/B-Wandler): Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(2 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
==A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)==
 
==A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)==
 
[[File:P_ID61__Sto_A_1_2.png|right|frame|Logisches Schaltwerk]]
 
[[File:P_ID61__Sto_A_1_2.png|right|frame|Logisches Schaltwerk]]
Ein Zahlengenerator $Z$ liefert Dezimalwerte im Bereich von $1$ bis $15$.  
+
Ein Zahlengenerator  $Z$  liefert Dezimalwerte im Bereich von  $1$  bis  $15$.  
*Diese werden in Binärzahlen umgewandelt (rot umrandeter Block).  
+
*Diese werden in Binärzahlen umgewandelt  (rot umrandeter Block).  
*Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten $A$, $B$, $C$ und $D$ mit abnehmender Wertigkeit.  
+
*Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  mit abnehmender Wertigkeit.  
*Beispielsweise liefert $Z = 11$ die Binärwerte
+
*Beispielsweise liefert  $Z = 11$  die Binärwerte
 
:$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$
 
:$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$
 
Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:
 
Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:
:$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D$$
+
:$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D.$$
  
Aus den binären Größen $A$, $B$, $C$ und $D$ werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit $X$ bezeichnet wird:
+
Aus den binären Größen  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit  $X$  bezeichnet wird:
 
::<math> U = A \cap \overline{D} </math>
 
::<math> U = A \cap \overline{D} </math>
 
::<math> V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} </math>
 
::<math> V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} </math>
 
:$$W,\;  {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
 
:$$W,\;  {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
Für die folgenden Fragen ist zu berücksichtigen, dass $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$ bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist. Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen $A$, $B$, $C$ und $D$ zur Berechnung aller Zwischengrößen $U$, $V$ und $W$ herangezogen werden.
+
*Es ist zu berücksichtigen, dass&nbsp; $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$&nbsp; bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist.  
 +
*Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen&nbsp; $A$,&nbsp; $B$,&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $D$&nbsp; zur Berechnung aller Zwischengrößen&nbsp; $U$,&nbsp; $V$&nbsp; und&nbsp; $W$&nbsp; herangezogen werden.
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
Zeile 21: Zeile 25:
  
 
''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen|Mengentheoretische Grundlagen]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
+
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp; [[Mengentheoretische_Begriffe_und_Gesetzmäßigkeiten_(Lernvideo)|Mengentheoretische Begriffe und Gesetzmäßigkeiten]].
  
  
Zeile 31: Zeile 35:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $U$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße&nbsp; $U$&nbsp; zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- $U$ beinhaltet zwei Elemente.
+
- $U$&nbsp; beinhaltet zwei Elemente.
+ $U$ beinhaltet vier Elemente.
+
+ $U$&nbsp; beinhaltet vier Elemente.
- Das kleinste Element von $U$ ist $4$.
+
- Das kleinste Element von&nbsp; $U$&nbsp; ist&nbsp; $4$.
+ Das größte Element von $U$ ist $14$.
+
+ Das größte Element von&nbsp; $U$&nbsp; ist&nbsp; $14$.
  
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $V$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße&nbsp; $V$&nbsp; zutreffend?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $V$ beinhaltet zwei Elemente.
+
+ $V$&nbsp; beinhaltet zwei Elemente.
- $V$ beinhaltet vier Elemente.
+
- $V$&nbsp; beinhaltet vier Elemente.
+ Das kleinste Element von $V$ ist $4$.
+
+ Das kleinste Element von&nbsp; $V$&nbsp; ist&nbsp; $4$.
- Das größte Element von $V$ ist $14$.
+
- Das größte Element von&nbsp; $V$&nbsp; ist&nbsp; $14$.
 
 
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $W$ zutreffend?  
+
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße&nbsp; $W$&nbsp; zutreffend?  
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ $W$ beinhaltet zwei Elemente.
+
+ $W$&nbsp; beinhaltet zwei Elemente.
- $W$ beinhaltet vier Elemente.
+
- $W$&nbsp; beinhaltet vier Elemente.
- Das kleinste Element von $W$ ist $4$.
+
- Das kleinste Element von&nbsp; $W$&nbsp; ist&nbsp; $4$.
- Das größte Element von $W$ ist $14$.
+
- Das größte Element von&nbsp; $W$&nbsp; ist&nbsp; $14$.
  
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße $P$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße&nbsp; $P$&nbsp; zutreffend?
|type="[]"}
+
|type="()"}
- $P$ beinhaltet alle Zweierpotenzen.
+
- $P$&nbsp; beinhaltet alle Zweierpotenzen.
+ $P$ beinhaltet alle Primzahlen.
+
+ $P$&nbsp; beinhaltet alle Primzahlen.
- $P$ beschreibt die leere Menge <math>\phi</math> .
+
- $P$&nbsp; beschreibt die leere Menge <math>\phi</math> .
- $P$ ist identisch mit der Grundmenge $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$.
+
- $P$&nbsp; ist identisch mit der Grundmenge&nbsp; $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$.
  
 
</quiz>
 
</quiz>
Zeile 64: Zeile 68:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Das Ereignis $U$ beinhaltet diejenigen Zahlen größer/gleich acht $(A = 1)$, die gerade sind $(D = 0)$: $8, 10, 12, 14$ &nbsp; ⇒  &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Das Ereignis&nbsp; $U$&nbsp; beinhaltet  
 +
*diejenigen Zahlen größer/gleich acht&nbsp; $(A = 1)$,&nbsp;
 +
*die gerade sind&nbsp; $(D = 0)$:&nbsp; $8, 10, 12, 14$ &nbsp;  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Das Ereignis $V$ besteht aus den beiden Zahlen $4$ (binär 0100) und $6$ (binär 0110)  &nbsp; ⇒  &nbsp;  Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
+
⇒  &nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Das Ereignis&nbsp; $V$&nbsp; besteht aus den beiden Zahlen&nbsp; $4$&nbsp; (binär 0100) und&nbsp; $6$&nbsp; (binär 0110)  &nbsp;
 +
 +
⇒  &nbsp;  Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
  
  
 
[[Datei:P_ID2848__Sto_A_1_2c.png|right|frame|Hilfs–Venndiagramm]]
 
[[Datei:P_ID2848__Sto_A_1_2c.png|right|frame|Hilfs–Venndiagramm]]
'''(3)'''&nbsp; Für das Ereignis $W$ gilt mit dem Theorem von de Morgan:
+
'''(3)'''&nbsp; Für das Ereignis&nbsp; $W$&nbsp; gilt mit dem Theorem von de Morgan:
  
 
:$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C)
 
:$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C)
 
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$
 
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$
  
Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:
+
*Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:
  
 
:$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$
 
:$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$
  
Mit der Boolschen Beziehung $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$ erhält man schließlich (siehe Skizze):
+
*Mit der Boolschen Beziehung&nbsp; $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$&nbsp; erhält man schließlich (siehe Skizze):
  
 
:$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$
 
:$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$
  
Somit beinhaltet W die Zahlen $15$ und $9$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig.
+
*Somit beinhaltet&nbsp; $W$&nbsp; die Zahlen&nbsp; $15$&nbsp; und&nbsp; $9$&nbsp; &nbsp;  
 +
 
 +
 
 +
⇒  &nbsp;  nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u> ist richtig.
  
  
'''(4)'''&nbsp; Die Vereinigungsmenge von $U$, $V$ und $W$ beinhaltet folgende Zahlen: &nbsp; $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.
+
'''(4)'''&nbsp; Die Vereinigungsmenge von&nbsp; $U$,&nbsp; $V$&nbsp; und&nbsp; $W$&nbsp; beinhaltet folgende Zahlen: &nbsp; $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.
  
*Dementsprechend gilt für die Menge $P$ als das Komplement dieser Vereinigungsmenge: &nbsp; $P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.
+
*Dementsprechend gilt für die Menge&nbsp; $P$&nbsp; als das Komplement dieser Vereinigungsmenge: &nbsp; $P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.
  
 
*Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen  &nbsp; ⇒  &nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 
*Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen  &nbsp; ⇒  &nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 2</u>.

Aktuelle Version vom 8. November 2019, 18:47 Uhr

A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)

Logisches Schaltwerk

Ein Zahlengenerator  $Z$  liefert Dezimalwerte im Bereich von  $1$  bis  $15$.

  • Diese werden in Binärzahlen umgewandelt  (rot umrandeter Block).
  • Der Ausgang besteht aus den vier Binärwerten  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  mit abnehmender Wertigkeit.
  • Beispielsweise liefert  $Z = 11$  die Binärwerte
$$ A = 1, \ B = 0, \ C = 1, \ D = 1. $$

Mengentheoretisch lässt sich dies wie folgt darstellen:

$$ Z = 11\qquad\widehat{=}\qquad A \cap\overline{ B} \cap C \cap D.$$

Aus den binären Größen  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  werden drei weitere Boolsche Ausdrücke gebildet, deren Vereinigungsmenge mit  $X$  bezeichnet wird:

\[ U = A \cap \overline{D} \]
\[ V = \overline{A} \cap B \cap \overline{D} \]
$$W,\; {\rm wobei} \; \, \overline{W} = \overline{A} \cup \overline{D} \cup (\overline{B} \cap C) \cup (B \cap \overline{C}). $$
  • Es ist zu berücksichtigen, dass  $Z = 0 \ ⇒ \ A = B = C = D = 0$  bereits durch den Zahlengenerator ausgeschlossen ist.
  • Beachten Sie ferner, dass nicht alle Eingangsgrößen  $A$,  $B$,  $C$  und  $D$  zur Berechnung aller Zwischengrößen  $U$,  $V$  und  $W$  herangezogen werden.




Hinweise:



Fragebogen zu "A1.2 Schaltlogik (D/B-Wandler)"

1

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $U$  zutreffend?

$U$  beinhaltet zwei Elemente.
$U$  beinhaltet vier Elemente.
Das kleinste Element von  $U$  ist  $4$.
Das größte Element von  $U$  ist  $14$.

2

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $V$  zutreffend?

$V$  beinhaltet zwei Elemente.
$V$  beinhaltet vier Elemente.
Das kleinste Element von  $V$  ist  $4$.
Das größte Element von  $V$  ist  $14$.

3

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $W$  zutreffend?

$W$  beinhaltet zwei Elemente.
$W$  beinhaltet vier Elemente.
Das kleinste Element von  $W$  ist  $4$.
Das größte Element von  $W$  ist  $14$.

4

Welche Aussagen sind bezüglich der Zufallsgröße  $P$  zutreffend?

$P$  beinhaltet alle Zweierpotenzen.
$P$  beinhaltet alle Primzahlen.
$P$  beschreibt die leere Menge \(\phi\) .
$P$  ist identisch mit der Grundmenge  $G = {1,2, \ \text{...} \ , 15}$.


Musterlösung

(1)  Das Ereignis  $U$  beinhaltet

  • diejenigen Zahlen größer/gleich acht  $(A = 1)$, 
  • die gerade sind  $(D = 0)$:  $8, 10, 12, 14$  


⇒   Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 4.


(2)  Das Ereignis  $V$  besteht aus den beiden Zahlen  $4$  (binär 0100) und  $6$  (binär 0110)  

⇒   Richtig sind hier die Lösungsvorschläge 1 und 3.


Hilfs–Venndiagramm

(3)  Für das Ereignis  $W$  gilt mit dem Theorem von de Morgan:

$$\overline W = \overline A \cup \overline D \cup (\overline B \cap C) \cup (B \cap \overline C) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W = \overline{\overline W} = A \cap D \cap (\overline{\overline B \cap C}) \cap (\overline{B \cap \overline C}).$$
  • Mit den Sätzen von de Morgan folgt daraus weiter:
$$ W = A \cap D \cap (B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C).$$
  • Mit der Boolschen Beziehung  $(B \cup \overline C) \cap (\overline B \cup C) = (B \cap C) \cup (\overline B \cap \overline C)$  erhält man schließlich (siehe Skizze):
$$W = (A \cap B \cap C \cap D) \cup (A \cap \overline B \cap \overline C \cap D).$$
  • Somit beinhaltet  $W$  die Zahlen  $15$  und  $9$   


⇒   nur der Lösungsvorschlag 1 ist richtig.


(4)  Die Vereinigungsmenge von  $U$,  $V$  und  $W$  beinhaltet folgende Zahlen:   $4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15$.

  • Dementsprechend gilt für die Menge  $P$  als das Komplement dieser Vereinigungsmenge:   $P \in {\{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$.
  • Dies sind genau die mit vier Bit darstellbaren Primzahlen   ⇒   Lösungsvorschlag 2.