Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(4 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 4: Zeile 4:
  
 
[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]]
 
[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]]
Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels  der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:  
+
Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels  der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:  
 
:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
 
:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
 
\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 
\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
Zeile 12: Zeile 12:
 
\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
 
\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
  
*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.  
+
*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.  
  
*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil  ⇒  $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
 
  
*Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.  
+
*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil   ⇒   $α_1 · f · l$  mit  $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$  geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.  
  
  
Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen $200 \ \text{kHz}$ und $400 \ \text{MHz}$ im Wesentlichen durch den Einfluss
+
*Auch die frequenzproportionale Phase  $β_1 · f · l$  mit  $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$  wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.  
*der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
 
*der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
 
  
  
bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:  
+
Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen  $200 \ \text{kHz}$  und  $400 \ \text{MHz}$  vorwiegend durch den Einfluss
 +
*der Dämpfungskonstanten  $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
 +
*der Phasenkonstanten  $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
 +
 
 +
 
 +
bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.  Für positive Frequenzen gilt:  
 
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
 
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:  
+
Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:  
 
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
 
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.  
+
wobei der Parameter  $f_0$  die beiden Konstanten  $α_2$  und  $β_2$  sowie die Kabellänge  $l$  gleichermaßen berücksichtigt.  
 +
 
  
  
Zeile 35: Zeile 38:
  
  
''Hinweise:''  
+
''Hinweis:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
+
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
 
   
 
   
  
Zeile 45: Zeile 48:
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$?  
+
{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante&nbsp; $K$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$K  \ = \ $ { 0.992 5%  }
 
$K  \ = \ $ { 0.992 5%  }
  
  
{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird?  
+
{Welche Länge&nbsp; $l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als&nbsp; $3\%$&nbsp; gedämpft wird?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5%  } &nbsp;$\text{ km}$
 
$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5%  } &nbsp;$\text{ km}$
  
  
{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.  
+
{Wie groß ist die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$.&nbsp; Berücksichtigen Sie die Beziehung&nbsp; $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
 
$f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
  
  
{Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$, wenn man am Kabeleingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ anlegt?  
+
{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_x = f_0$&nbsp; mit Leistung&nbsp; $P_x = \,\text{1 W}$ an.&nbsp; Wie groß ist die Ausgangsleistung&nbsp; $P_y$?  
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
 
$P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
  
  
{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x = 10 \ \rm MHz$?
+
{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz&nbsp; $f_x = 10 \ \rm MHz$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$P_y \ = \ $ { 0.184 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
 
$P_y \ = \ $ { 0.184 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
Zeile 80: Zeile 83:
  
  
'''(2)'''&nbsp; Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
+
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; ${\rm a_0 } = α_0 · l$&nbsp; müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
 
:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
 
:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
 
\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 
\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 
} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
 
} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.  
+
*Damit erhält man für die maximale Länge&nbsp; $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.  
  
  
'''(3)'''&nbsp; Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
+
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $β_2 = α_2$&nbsp; und der angegebenen Beziehung&nbsp; $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$&nbsp; kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
 
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 
:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
Zeile 94: Zeile 99:
 
\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 
\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
 
\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:  
+
*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:  
:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
+
:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
 +
 
  
  
Zeile 106: Zeile 112:
 
{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 
{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
 
\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:  
+
*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man hierfür&nbsp; $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:  
 
:$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
 
:$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\,\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\,\text{MHz}$ signifikant kleiner:  
+
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Mit der höheren Frequenz&nbsp; $f_x = 10\:\text{MHz}$&nbsp; ist die Ausgangsleistung gegenüber&nbsp; $f_x = 0.54\:\text{MHz}$&nbsp; signifikant kleiner:  
 
:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 
:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 
\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$
 
\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$

Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 16:28 Uhr


Verschiedene Koaxialkabel

Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:

$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
  • Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.


  • Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil   ⇒   $α_1 · f · l$  mit  $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$  geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.


  • Auch die frequenzproportionale Phase  $β_1 · f · l$  mit  $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$  wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.


Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen  $200 \ \text{kHz}$  und  $400 \ \text{MHz}$  vorwiegend durch den Einfluss

  • der Dämpfungskonstanten  $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
  • der Phasenkonstanten  $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$


bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.  Für positive Frequenzen gilt:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$

Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$

wobei der Parameter  $f_0$  die beiden Konstanten  $α_2$  und  $β_2$  sowie die Kabellänge  $l$  gleichermaßen berücksichtigt.




Hinweis:



Fragebogen

1

Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante  $K$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$?

$K \ = \ $

2

Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $3\%$  gedämpft wird?

$l_{\rm max} \ = \ $

 $\text{ km}$

3

Wie groß ist die charakteristische Frequenz  $f_0$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$.  Berücksichtigen Sie die Beziehung  $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.

$f_0\ = \ $

 $\text{ MHz}$

4

Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz  $f_x = f_0$  mit Leistung  $P_x = \,\text{1 W}$ an.  Wie groß ist die Ausgangsleistung  $P_y$?

$P_y \ = \ $

 $\text{ mW}$

5

Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz  $f_x = 10 \ \rm MHz$?

$P_y \ = \ $

 $\text{ mW}$


Musterlösung

(1)  Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:

$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$


(2)  Mit  ${\rm a_0 } = α_0 · l$  müsste folgende Gleichung erfüllt sein:

$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
  • Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.


(3)  Wegen  $β_2 = α_2$  und der angegebenen Beziehung  $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$  kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:

$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
  • Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$


(4)  Für den Frequenzgang gilt:

$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} } \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} |H(f)|^2 = K^2 \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
  • Für  $f = f_0$  erhält man hierfür  $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$


(5)  Mit der höheren Frequenz  $f_x = 10\:\text{MHz}$  ist die Ausgangsleistung gegenüber  $f_x = 0.54\:\text{MHz}$  signifikant kleiner:

$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$