Aufgaben:Aufgabe 1.2: ISDN und PCM: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Die Quantisierungsstufenzahl  $M$  wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl  $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.  
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'''(1)'''  Die Quantisierungsstufenzahl  $M$  wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl gilt dann:   $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.  
 
*Aus  $M = 2^{8} = 256$  folgt  $\underline{N = 8}$.
 
*Aus  $M = 2^{8} = 256$  folgt  $\underline{N = 8}$.
  
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'''(3)'''   Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal  $q(t)$  enthaltene Frequenz gleich  $3.4 \ \rm kHz$.  
 
'''(3)'''   Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal  $q(t)$  enthaltene Frequenz gleich  $3.4 \ \rm kHz$.  
*Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb  $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$  gelten.  
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*Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb  $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$  gelten.
*Mit   $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$  ist die Bedingung erfüllt   ⇒   $\underline {\rm JA}$.
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*Mit   $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$  ist die Bedingung auf jeden Fall erfüllt   ⇒   $\underline {\rm JA}$.
  
  
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*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist $($kleine Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_{0})$, kann das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
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*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist&nbsp; $($kleine Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_{0})$,&nbsp; kann das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
 
:$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Bei größerer Rauschstörung wird&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.  
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*Bei größerer Rauschstörung wird&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter signifikant verringert.  
*Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird.  
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*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist:&nbsp;   idealer Tiefpass.  
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*Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust,&nbsp; so lange das Abtasttheorem eingehalten wird.  
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*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden,&nbsp; wenn das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bandbegrenzt ist <br>und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist &nbsp; &rArr;  &nbsp; idealer Tiefpass.  
  
 
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Aktuelle Version vom 15. Oktober 2022, 14:51 Uhr

Komponenten des PCM-Senders

Die Umwandlung des analogen Sprachsignals  $q(t)$  in das Binärsignal  $q_{\rm C}(t)$  geschieht bei ISDN  ("Integrated Services Digital Network")  entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation  $\rm (PCM)$  durch

  • Abtastung im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,
  • Quantisierung auf  $M = 256$  diskrete Werte,
  • binäre PCM–Codierung mit  $N$  Bit pro Quantisierungswert.


Die Netto–Datenrate eines so genannten  $\rm B$–Kanals  ("Bearer Channel")  beträgt  $64 \ \rm kbit/s$  und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals  $q_{\rm C}(t)$.  Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals  $s(t)$  – größer.


Ein Maß für die Qualität des gesamten ISDN–Übertragungssystems ist das Sinken–SNR

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$

als das Verhältnis der Leistungen

  • des auf den Bereich  $300 \ {\rm Hz}\ \text{...}\ 3400 \ {\rm Hz}$  bandbegrenzten Analogsignals  $q(t)$ 
  • und des Fehlersignals  $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.


Für das Sinkensignal  $v (t)$  wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.



Hinweis:

  • Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  "Pulscodemodulation"  des Buches „Modulationsverfahren”.


Fragebogen

1

Mit wievielen Bit  $(N)$  wird jeder quantisierte Abtastwert repräsentiert?

$N \ = \ $

2

Wie groß ist die Abtastrate  $f_{\rm A} $?

$f_{\rm A} \ = \ $

$ \ \rm kHz $

3

Ist damit das Abtasttheorem erfüllt?

Ja,
nein.

4

Ist das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  bei ISDN durch folgende Effekte begrenzt?

Abtastung  (falls das Abtasttheorem erfüllt ist),
AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).


Musterlösung

(1)  Die Quantisierungsstufenzahl  $M$  wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl gilt dann:   $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.

  • Aus  $M = 2^{8} = 256$  folgt  $\underline{N = 8}$.


(2)  Für die Bitrate gilt  $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$.

  • Aus  $R_{\rm B} = 64 \ \rm kbit/s$  und  $N = 8$  erhält man somit  $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.


(3)  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal  $q(t)$  enthaltene Frequenz gleich  $3.4 \ \rm kHz$.

  • Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb  $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$  gelten.
  • Mit  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$  ist die Bedingung auf jeden Fall erfüllt   ⇒   $\underline {\rm JA}$.


(4)  Richtig ist die  letzte Aussage:

  • Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist  $($kleine Rauschleistungsdichte  $N_{0})$,  kann das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  • Bei größerer Rauschstörung wird  $\rho_{v}$  durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter signifikant verringert.
  • Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust,  so lange das Abtasttheorem eingehalten wird.
  • Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden,  wenn das Quellensignal  $q(t)$  bandbegrenzt ist
    und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist   ⇒   idealer Tiefpass.