Aufgaben:Aufgabe 1.2: ISDN und PCM: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Umwandlung des analogen Sprachsignals  $q(t)$  in das Binärsignal  $q_{\rm C}(t)$  geschieht bei ISDN  (''Integrated Services Digital Network'')  entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation (PCM) durch
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Die Umwandlung des analogen Sprachsignals  $q(t)$  in das Binärsignal  $q_{\rm C}(t)$  geschieht bei ISDN  ("Integrated Services Digital Network")  entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation  $\rm (PCM)$  durch
 
*Abtastung im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,
 
*Abtastung im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,
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*Quantisierung auf  $M = 256$  diskrete Werte,
 
*Quantisierung auf  $M = 256$  diskrete Werte,
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*binäre PCM–Codierung mit  $N$  Bit pro Quantisierungswert.
 
*binäre PCM–Codierung mit  $N$  Bit pro Quantisierungswert.
  
  
Die Netto–Datenrate eines so genannten  $\rm B$–Kanals  (''Bearer Channel'') ist  $64 \ \rm kbit/s$  und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals  $q_{\rm C}(t)$. Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals  $s(t)$  – größer.
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Die Netto–Datenrate eines so genannten  $\rm B$–Kanals  ("Bearer Channel")  beträgt  $64 \ \rm kbit/s$  und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals  $q_{\rm C}(t)$.  Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals  $s(t)$  – größer.
  
  
Ein Maß für die Qualität des gesamten (ISDN–)Übertragungssystems ist das Sinken–SNR
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Ein Maß für die Qualität des gesamten ISDN–Übertragungssystems ist das Sinken–SNR
 
:$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$
 
:$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$
  
als das Verhältnis der Leistungen des auf den Bereich  $300 \ {\rm Hz}\  \text{...}\  3400 \ {\rm Hz}$  bandbegrenzten Analogsignals  $q(t)$  und des Fehlersignals  $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.
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als das Verhältnis der Leistungen  
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*des auf den Bereich  $300 \ {\rm Hz}\  \text{...}\  3400 \ {\rm Hz}$  bandbegrenzten Analogsignals  $q(t)$   
  
Für das Sinkensignal  $v (t)$  wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.
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*und des Fehlersignals  $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.  
  
  
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Für das Sinkensignal  $v (t)$  wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.
  
  
  
  
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*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_ISDN|"Allgemeine Beschreibung von ISDN"]] dieses Buches.
  
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*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]]&nbsp; des Buches „Modulationsverfahren”.
*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Allgemeine_Beschreibung_von_UMTS|Allgemeine Beschreibung von ISDN]] dieses Buches.
 
*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|Pulscodemodulation]]&nbsp; des Buches „Modulationsverfahren”.
 
  
  
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{Ist das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; bei ISDN durch folgende Effekte begrenzt?
 
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- Abtastung (falls Abtasttheorem erfüllt),
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- Abtastung&nbsp; (falls das Abtasttheorem erfüllt ist),
 
+ AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).
 
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'''(1)'''&nbsp; Die Quantisierungsstufenzahl $M$ wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$. <br>Aus $M = 2^{8} = 256$ folgt $\underline{N = 8}$.
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'''(1)'''&nbsp; Die Quantisierungsstufenzahl&nbsp; $M$&nbsp; wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl gilt dann: &nbsp; $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.  
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*Aus&nbsp; $M = 2^{8} = 256$&nbsp; folgt&nbsp; $\underline{N = 8}$.
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'''(2)'''&nbsp;  Für die Bitrate gilt&nbsp; $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$.
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*Aus&nbsp; $R_{\rm B} = 64 \ \rm  kbit/s$&nbsp; und&nbsp; $N = 8$&nbsp; erhält man somit&nbsp; $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.
  
'''(2)'''&nbsp;  Für die Bitrate gilt $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$. Aus $R_{\rm B} = 64 \ \rm  kbit/s$ und $N = 8$ erhält man somit $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.
 
  
  
'''(3)'''&nbsp;  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal $q(t)$ enthaltene Frequenz gleich $3.4 \ \rm kHz$. Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$ gelten. Mit  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$ ist die Bedingung erfüllt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline {\rm JA}$.
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'''(3)'''&nbsp;  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal&nbsp; $q(t)$&nbsp; enthaltene Frequenz gleich&nbsp; $3.4 \ \rm kHz$.  
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*Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb&nbsp; $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$&nbsp; gelten.
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*Mit&nbsp; $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$&nbsp; ist die Bedingung auf jeden Fall erfüllt &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline {\rm JA}$.
  
  
'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>beiden letzten Aussagen</u>:
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'''(4)'''&nbsp;  Richtig ist die&nbsp; <u>letzte Aussage</u>:
*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist (kleine Rauschleistungsdichte $N_{0}$), kann das Sinken–SNR $\rho_{v}$ einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
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*Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist&nbsp; $($kleine Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_{0})$,&nbsp; kann das Sinken–SNR&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
 
:$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  
*Bei größerer Rauschstörung wird $\rho_{v}$ durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter (signifikant) verringert.  
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*Bei größerer Rauschstörung wird&nbsp; $\rho_{v}$&nbsp; durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter signifikant verringert.  
*Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust, wenn das Abtasttheorem eingehalten wird.  
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*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden, wenn das Quellensignal $q(t)$ bandbegrenzt ist und die Signalrekonstruktion (ein idealer Tiefpass) richtig dimensioniert ist.  
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*Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust,&nbsp; so lange das Abtasttheorem eingehalten wird.  
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*Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden,&nbsp; wenn das Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; bandbegrenzt ist <br>und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist &nbsp; &rArr;  &nbsp; idealer Tiefpass.  
  
 
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Aktuelle Version vom 15. Oktober 2022, 14:51 Uhr

Komponenten des PCM-Senders

Die Umwandlung des analogen Sprachsignals  $q(t)$  in das Binärsignal  $q_{\rm C}(t)$  geschieht bei ISDN  ("Integrated Services Digital Network")  entsprechend den Richtlinien der Pulscodemodulation  $\rm (PCM)$  durch

  • Abtastung im Abstand  $T_{\rm A} = 1/f_{\rm A}$,
  • Quantisierung auf  $M = 256$  diskrete Werte,
  • binäre PCM–Codierung mit  $N$  Bit pro Quantisierungswert.


Die Netto–Datenrate eines so genannten  $\rm B$–Kanals  ("Bearer Channel")  beträgt  $64 \ \rm kbit/s$  und entspricht der Bitrate des redundanzfreien Binärsignals  $q_{\rm C}(t)$.  Wegen der anschließenden redundanten Kanalcodierung und der eingefügten Signalisierungsbits ist allerdings die Brutto–Datenrate – also die Übertragungsrate des Sendesignals  $s(t)$  – größer.


Ein Maß für die Qualität des gesamten ISDN–Übertragungssystems ist das Sinken–SNR

$$\rho_{v} = \frac{P_q}{P_{\varepsilon}} = \frac{\overline{q(t)^2}}{\overline{[\upsilon(t) - q(t)]^2}}$$

als das Verhältnis der Leistungen

  • des auf den Bereich  $300 \ {\rm Hz}\ \text{...}\ 3400 \ {\rm Hz}$  bandbegrenzten Analogsignals  $q(t)$ 
  • und des Fehlersignals  $\varepsilon (t) = v (t) - q(t)$.


Für das Sinkensignal  $v (t)$  wird hierbei eine ideale Signalrekonstruktion mit einem idealen rechteckförmigen Tiefpass vorausgesetzt.



Hinweis:

  • Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  "Pulscodemodulation"  des Buches „Modulationsverfahren”.


Fragebogen

1

Mit wievielen Bit  $(N)$  wird jeder quantisierte Abtastwert repräsentiert?

$N \ = \ $

2

Wie groß ist die Abtastrate  $f_{\rm A} $?

$f_{\rm A} \ = \ $

$ \ \rm kHz $

3

Ist damit das Abtasttheorem erfüllt?

Ja,
nein.

4

Ist das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  bei ISDN durch folgende Effekte begrenzt?

Abtastung  (falls das Abtasttheorem erfüllt ist),
AWGN–Rauschen (Übertragungsfehler).


Musterlösung

(1)  Die Quantisierungsstufenzahl  $M$  wird meist als Zweierpotenz gewählt und für die Bitanzahl gilt dann:   $N = {\log_2}\hspace{0.05cm}(M)$.

  • Aus  $M = 2^{8} = 256$  folgt  $\underline{N = 8}$.


(2)  Für die Bitrate gilt  $R_{\rm B} = N \cdot f_{\rm A}$.

  • Aus  $R_{\rm B} = 64 \ \rm kbit/s$  und  $N = 8$  erhält man somit  $f_{\rm A} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm kHz}$.


(3)  Durch die Bandbegrenzung ist die höchste im Signal  $q(t)$  enthaltene Frequenz gleich  $3.4 \ \rm kHz$.

  • Nach dem Abtasttheorem müsste deshalb  $f_{\rm A} ≥ 6.8 \ \rm kHz$  gelten.
  • Mit  $f_{\rm A} = 8 \ \rm kHz$  ist die Bedingung auf jeden Fall erfüllt   ⇒   $\underline {\rm JA}$.


(4)  Richtig ist die  letzte Aussage:

  • Auch wenn der Einfluss des AWGN–Rauschens gering ist  $($kleine Rauschleistungsdichte  $N_{0})$,  kann das Sinken–SNR  $\rho_{v}$  einen durch das Quantisierungsrauschen gegebenen Grenzwert nicht unterschreiten:
$$\rho_{v} \approx \rho_{\rm Q} = 2^{2M} = 2^{16} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} \approx 48\, {\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  • Bei größerer Rauschstörung wird  $\rho_{v}$  durch die dann vorhandenen Übertragungsfehler weiter signifikant verringert.
  • Dagegen führt die Abtastung zu keinem Qualitätsverlust,  so lange das Abtasttheorem eingehalten wird.
  • Die Abtastung kann dann vollständig rückgängig gemacht werden,  wenn das Quellensignal  $q(t)$  bandbegrenzt ist
    und die Signalrekonstruktion richtig dimensioniert ist   ⇒   idealer Tiefpass.