Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
 
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==Z1.1 Tiefpass 1. und 2. Ordnung==
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[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– & Phasenfunktion|right|frame]]
[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– und Phasenfunktion|right]]
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Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]  – hat folgenden Frequenzgang:
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe A1.1]] – hat folgenden Frequenzgang:
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:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
 
 
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
 
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
* oben der Dämpfungsverlauf $a_1(f)$,  
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* oben der Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$,  
* unten der ''Phasenverlauf'' $b_1(f)$ .
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* unten der Phasenverlauf  $b_1(f)$.
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Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
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:$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
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In dieser Aufgabe sollen
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*ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung
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*der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.
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Allgemein gilt:
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:$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
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Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
 
$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
 
In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:
 
$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
 
  
  
 
''Hinweise:''  
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
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*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:
 
:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 
:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
 
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
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*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:
 
:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
 
:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
  
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{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
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{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_1(f)$&nbsp; eines Tiefpasses erster Ordnung in&nbsp; $\rm dB$. <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 
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$a_1(f = f_0)$ &nbsp;= { 3.01 5% } &nbsp;$\text{dB}$
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{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
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{Berechnen Sie den Phasenverlauf&nbsp; $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 
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$b_1(f = 2f_0)\ = \ $ { 1.108 5% } &nbsp;$\text{rad}$
  
  
{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? Welche dB–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$?
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{Welchen Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_n(f)$&nbsp; hat ein Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung? <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte erhält man mit&nbsp; $n = 2$&nbsp; für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 
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$a_2(f = -2f_0)\ = \ $ { 13.98 5% } &nbsp;$\text{dB}$
  
  
{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$?
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $b_2(f)$&nbsp; eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 
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$b_2(f = f_0)$ &nbsp;= { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$
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$b_2(f = f_0)\ = \ $ { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$
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$b_2(f = -2f_0)\ = \ $ { -2.23--2.20 } &nbsp;$\text{rad}$
  
  
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
 
'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
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:$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper:  
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*Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):  
$$\begin{align*}a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} & = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \\ \Rightarrow a_1(f = f_0) & = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) =
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:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.\end{align*}$$
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Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit&nbsp;  $1/0.11513 = 8.68589$&nbsp; und führt zu den Ergebnissen  
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit 1/0.11513 = 8.68589 und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ und $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.  
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*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = f_0$,
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*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.  
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Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} \approx f_0$.
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'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
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:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
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*Damit ergibt sich für den Phasengang:
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:$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
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*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man&nbsp; $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für&nbsp; $f = 2f_0$&nbsp; den Wert&nbsp; $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
 
$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
 
Damit ergibt sich für den Phasengang:
 
$$b_1(f) = - \arctan \frac{ {\rm Im} }{ {\rm Re} } = \arctan \frac{f}{f_0}.$$
 
Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
 
  
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'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses&nbsp; $n$–ter Ordnung gilt:
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:$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
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Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der&nbsp; $n$–fachen Multiplikation die&nbsp; $n$–fache Summe:
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:$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
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Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
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:$$a_2(f) =  \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
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Die dB–Werte lauten nun:
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*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±f_0$,
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*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±2f_0$.
  
'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
 
$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
 
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
 
$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]$$
 
und speziell für den Tiefpass zweiter Ordnung:
 
$$a_2(f) =  \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
 
Die dB–Werte lauten nun $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$ und $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.
 
  
Damit ist offensichtlich, dass für $n$ > 1 der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz angibt. Für $n = 2$ gilt ${f_{\rm 0} } = \sqrt{2} \cdot {f_0}$.
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Damit ist offensichtlich, dass für&nbsp; $n > 1$&nbsp; der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für&nbsp; $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp;
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:$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$  
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
 
'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
$$b_n(f) =  n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =  2 \cdot b_1(f).$$
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:$$b_n(f) =  n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =  2 \cdot b_1(f).$$
Bei einem Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$ und $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$. Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.  
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Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen&nbsp; $±π$&nbsp; möglich. Insbesondere ist  
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*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
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* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.  
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Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier: &nbsp;  $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.  
 
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Aktuelle Version vom 9. Juli 2021, 15:53 Uhr

Dämpfungs– & Phasenfunktion

Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  Aufgabe 1.1  – hat folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$

Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter

  • oben der Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$,
  • unten der Phasenverlauf  $b_1(f)$.


Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:

$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$


In dieser Aufgabe sollen

  • ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung
  • der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.


Allgemein gilt:

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$




Hinweise:

  • Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
  • Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$  eines Tiefpasses erster Ordnung in  $\rm dB$.
Welche  $\rm dB$–Werte ergeben sich bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$a_1(f = f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$
$a_1(f = 2f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$

2

Berechnen Sie den Phasenverlauf  $b_1(f)$.
Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$b_1(f = f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$
$b_1(f = 2f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$

3

Welchen Dämpfungsverlauf  $a_n(f)$  hat ein Tiefpass  $n$–ter Ordnung?
Welche  $\rm dB$–Werte erhält man mit  $n = 2$  für  $f = f_0$  bzw.  $f = \: –2f_0$?

$a_2(f = f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$
$a_2(f = -2f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $b_2(f)$  eines Tiefpasses zweiter Ordnung.
Welche Werte (in Radian) erhält man für  $f = f_0$  und  $f = \: –2f_0$?

$b_2(f = f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$
$b_2(f = -2f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$


Musterlösung

(1)  Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:

$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
  • Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$

Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit  $1/0.11513 = 8.68589$  und führt zu den Ergebnissen

  • $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$  für  $ f = f_0$,
  • $ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$  für  $ f = 2f_0$.


Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} \approx f_0$.


(2)  Der Frequenzgang  $H_1(f)$  kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
  • Damit ergibt sich für den Phasengang:
$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
  • Für  $f = f_0$  erhält man  $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für  $f = 2f_0$  den Wert  $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.


(3)  Für den Amplitudengang eines Tiefpasses  $n$–ter Ordnung gilt:

$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$

Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der  $n$–fachen Multiplikation die  $n$–fache Summe:

$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$

Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:

$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$

Die dB–Werte lauten nun:

  • $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$  für  $f = ±f_0$,
  • $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$  für  $f = ±2f_0$.


Damit ist offensichtlich, dass für  $n > 1$  der Parameter  $f_0$  nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
Für  $n = 2$   ⇒   „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:  

$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$


(4)  Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:

$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$

Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen  $±π$  möglich. Insbesondere ist

  • $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
  • $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.


Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier:   $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.