Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
 
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[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Vorgegebene Dämpfungs– und Phasenfunktion|right|frame]]
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[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– & Phasenfunktion|right|frame]]
Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang:
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Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]  – hat folgenden Frequenzgang:
 
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
 
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
 
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
 
Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
 
* oben der ''Dämpfungsverlauf''  $a_1(f)$,  
 
* oben der ''Dämpfungsverlauf''  $a_1(f)$,  
* unten der ''Phasenverlauf''  $b_1(f)$ .
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* unten der ''Phasenverlauf''  $b_1(f)$.
  
  
Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
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Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
 
:$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
 
:$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
In dieser Aufgabe sollen ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:
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In dieser Aufgabe sollen  
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*ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung  
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*der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.  
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Allgemein gilt:
 
:$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
 
:$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
 
   
 
   
*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
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*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:
 
:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 
:$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
 
(10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
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*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:
 
:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
 
:$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
  
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{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. <br>Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
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{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_1(f)$&nbsp; eines Tiefpasses erster Ordnung in&nbsp; $\rm dB$. <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 
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$a_1(f = f_0)\ = \ $  { 3.01 5% } &nbsp;$\text{dB}$
 
$a_1(f = f_0)\ = \ $  { 3.01 5% } &nbsp;$\text{dB}$
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{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
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{Berechnen Sie den Phasenverlauf&nbsp; $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 
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$b_1(f = f_0)\ = \ $  { 0.786 5% } &nbsp;$\text{rad}$
 
$b_1(f = f_0)\ = \ $  { 0.786 5% } &nbsp;$\text{rad}$
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{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? <br>Welche dB–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$?
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{Welchen Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_n(f)$&nbsp; hat ein Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung? <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte erhält man mit&nbsp; $n = 2$&nbsp; für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 
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$a_2(f = f_0)\ = \ $  { 6.02 5% } &nbsp;$\text{dB}$
 
$a_2(f = f_0)\ = \ $  { 6.02 5% } &nbsp;$\text{dB}$
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$?
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{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $b_2(f)$&nbsp; eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 
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$b_2(f = f_0)\ = \ $  { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$
 
$b_2(f = f_0)\ = \ $  { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$
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'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
 
'''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
 
:$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
 
:$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):  
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*Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):  
:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
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:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen  
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Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit&nbsp;  $1/0.11513 = 8.68589$&nbsp; und führt zu den Ergebnissen  
*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$,  
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*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = f_0$,  
*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$.  
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*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.  
  
  
Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.  
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Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_0$.  
  
  
'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:  
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'''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang&nbsp; $H_1(f)$&nbsp; kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:  
 
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
 
:$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
Damit ergibt sich für den Phasengang:
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*Damit ergibt sich für den Phasengang:
 
:$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
 
:$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
*Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$,  
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*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man&nbsp; $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für&nbsp; $f = 2f_0$&nbsp; den Wert&nbsp; $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.  
*für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.  
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:  
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'''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses&nbsp; $n$–ter Ordnung gilt:  
 
:$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
 
:$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:  
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Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der&nbsp; $n$–fachen Multiplikation die&nbsp; $n$–fache Summe:  
 
:$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
 
:$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
 
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:  
 
Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:  
 
:$$a_2(f) =  \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
 
:$$a_2(f) =  \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
 
Die dB–Werte lauten nun:  
 
Die dB–Werte lauten nun:  
*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,  
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*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±f_0$,  
*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.  
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*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±2f_0$.  
 
 
  
Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
 
  
Für $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp; ${f_{\rm G} } =  {f_0}/\sqrt{2}$.
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Damit ist offensichtlich, dass für&nbsp; $n > 1$&nbsp; der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für&nbsp; $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp;
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:$${f_{\rm G} } =  {f_0}/\sqrt{2}.$$  
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
 
'''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
 
:$$b_n(f) =  n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =  2 \cdot b_1(f).$$
 
:$$b_n(f) =  n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =  2 \cdot b_1(f).$$
Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist  
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Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen&nbsp; $±π$&nbsp; möglich. Insbesondere ist  
 
*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
 
*$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
 
* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.  
 
* $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.  

Version vom 17. Oktober 2019, 16:34 Uhr

Dämpfungs– & Phasenfunktion

Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend  Aufgabe 1.1  – hat folgenden Frequenzgang:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$

Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter

  • oben der Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$,
  • unten der Phasenverlauf  $b_1(f)$.


Entsprechend gilt für einen Tiefpass  $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:

$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$


In dieser Aufgabe sollen

  • ausgehend von den Funktionen  $a_1(f)$  und  $b_1(f)$  für den Tiefpass erster Ordnung
  • der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden.


Allgemein gilt:

$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$




Hinweise:

  • Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes  $|H| = 1/x$  besteht folgender Zusammenhang:
$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
  • Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen  $z_1$  und  $z_2$  folgende Gleichungen gelten:
$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$


Fragebogen

1

Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf  $a_1(f)$  eines Tiefpasses erster Ordnung in  $\rm dB$.
Welche  $\rm dB$–Werte ergeben sich bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$a_1(f = f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$
$a_1(f = 2f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$

2

Berechnen Sie den Phasenverlauf  $b_1(f)$.
Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei  $f = f_0$  und  $f = 2f_0$?

$b_1(f = f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$
$b_1(f = 2f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$

3

Welchen Dämpfungsverlauf  $a_n(f)$  hat ein Tiefpass  $n$–ter Ordnung?
Welche  $\rm dB$–Werte erhält man mit  $n = 2$  für  $f = f_0$  bzw.  $f = \: –2f_0$?

$a_2(f = f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$
$a_2(f = -2f_0)\ = \ $

 $\text{dB}$

4

Berechnen Sie die Phasenfunktion  $b_2(f)$  eines Tiefpasses zweiter Ordnung.
Welche Werte (in Radian) erhält man für  $f = f_0$  und  $f = \: –2f_0$?

$b_2(f = f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$
$b_2(f = -2f_0)\ = \ $

 $\text{rad}$


Musterlösung

(1)  Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:

$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
  • Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right] \Rightarrow a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$

Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit  $1/0.11513 = 8.68589$  und führt zu den Ergebnissen

  • $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$  für  $ f = f_0$,
  • $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$  für  $ f = 2f_0$.


Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = f_0$.


(2)  Der Frequenzgang  $H_1(f)$  kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:

$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
  • Damit ergibt sich für den Phasengang:
$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
  • Für  $f = f_0$  erhält man  $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für  $f = 2f_0$  den Wert  $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.


(3)  Für den Amplitudengang eines Tiefpasses  $n$–ter Ordnung gilt:

$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$

Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der  $n$–fachen Multiplikation die  $n$–fache Summe:

$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)= {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$

Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:

$$a_2(f) = \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$

Die dB–Werte lauten nun:

  • $ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$  für  $f = ±f_0$,
  • $\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$  für  $f = ±2f_0$.


Damit ist offensichtlich, dass für  $n > 1$  der Parameter  $f_0$  nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.
Für  $n = 2$   ⇒   „Tiefpass zweiter Ordnung” gilt vielmehr der Zusammenhang:  

$${f_{\rm G} } = {f_0}/\sqrt{2}.$$


(4)  Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:

$$b_n(f) = n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) = 2 \cdot b_1(f).$$

Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen  $±π$  möglich. Insbesondere ist

  • $b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
  • $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.


Da die Phase eine ungerade Funktion ist, gilt hier:   $b_2(f = \: –2f_0) = \rm \underline{–2.216 \: rad}$.