Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|]]
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[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier <br>Ternärsignale&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$]]
Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
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Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte&nbsp; $-1$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.  
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte –1, 0 und +1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, während bei der Quelle $Y$ der Signalwert 0 doppelt so wahrscheinlich ist wie die beiden anderen Werte –1 bzw. +1.
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*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal&nbsp; $S = X + Y$.
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*Bei der Signalquelle&nbsp; $X$&nbsp; treten die Werte&nbsp; $-1$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
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*Bei der Quelle&nbsp; $Y$&nbsp; ist der Signalwert&nbsp; $0$&nbsp; doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte&nbsp; $-1$&nbsp; bzw.&nbsp; $+1$.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
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*Lösen Sie die Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; nach der klassischen Definition.
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*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals&nbsp; $Y$.
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*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo&nbsp; [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]&nbsp; zusammengefasst.
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'''Hinweis''': Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Stoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:
 
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
+
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von&nbsp; $Y$?&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $Y = 0$&nbsp; ist?
 
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$Pr(Y=0) = $ { 0.5 3% }
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${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
 
 
  
{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $I$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
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{Wieviele unterschiedliche Signalwerte&nbsp; $(I)$&nbsp; kann das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; annehmen?&nbsp; Welche sind dies?
 
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$ I = $ { 5 3% }
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$ I \ = \ $ { 5 3% }
 
 
  
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in $2)$ ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_\max$? Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
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{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ermittelten Werte auf?&nbsp; Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert&nbsp; $S_{\rm max}$?  
 
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$ Pr(S = S_\max ) = $ { 0.0833 3% }
+
$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }
  
  
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
+
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten,&nbsp; wenn nun anstelle der Summe die Differenz&nbsp; $D = X - Y$&nbsp; betrachtet wird?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
 
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+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
 
+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?
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- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.&nbsp; Wenn JA:&nbsp; Wie ändern sie sich?
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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:'''1.'''Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:
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'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von&nbsp; $ \pm 1$&nbsp; gleich sind und&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$&nbsp; gilt, erhält man:
 
 
$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$
 
 
 
$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$
 
  
$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $
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:$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
:'''2.''' $S$ kann insgesamt <u>5 Werte</u> annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
 
:'''3.'''[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|frame|]]Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
 
Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
 
  
$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,
+
'''(2)'''&nbsp; $S$&nbsp; kann insgesamt&nbsp; $\underline {I =5}$&nbsp; Werte annehmen, nämlich&nbsp; $0$,&nbsp; $\pm 1$&nbsp; und&nbsp; $\pm 2$.
  
$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
+
[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
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'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $Y$&nbsp; nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
  
$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
+
*Teilt man&nbsp; $Y$&nbsp; jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis&nbsp; $Y = 0$&nbsp; zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
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*Man erhält dann:
  
$Pr(S = -2) = \frac{1}{12}, Pr(S = +2) = \frac{1}{12}$
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:$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
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:$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$
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:$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$
  
$\Rightarrow Pr(S = S_\max) = 1/12 = 0.0833$.
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'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal&nbsp; $D$&nbsp; und das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.  
  
:'''4.''' Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist  ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1.</u>
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*Dies war zu erwarten, da&nbsp; ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$&nbsp; vorgegeben ist &nbsp; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 18. November 2021, 18:01 Uhr

Summe $S$ zweier
Ternärsignale  $X$  und  $Y$

Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen  $X$  und  $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte  $-1$,  $0$  und  $+1$  annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.

  • Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal  $S = X + Y$.
  • Bei der Signalquelle  $X$  treten die Werte  $-1$,  $0$  und  $+1$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
  • Bei der Quelle  $Y$  ist der Signalwert  $0$  doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte  $-1$  bzw.  $+1$.




Hinweise:



Fragebogen

1

Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von  $Y$?  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $Y = 0$  ist?

${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $

2

Wieviele unterschiedliche Signalwerte  $(I)$  kann das Summensignal  $S$  annehmen?  Welche sind dies?

$ I \ = \ $

3

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe  (2)  ermittelten Werte auf?  Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert  $S_{\rm max}$?

$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $

4

Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten,  wenn nun anstelle der Summe die Differenz  $D = X - Y$  betrachtet wird?  Begründen Sie Ihre Antwort.

Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.  Wenn JA:  Wie ändern sie sich?


Musterlösung

(1)  Da die Wahrscheinlichkeiten von  $ \pm 1$  gleich sind und  ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$  gilt, erhält man:

$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$

(2)  $S$  kann insgesamt  $\underline {I =5}$  Werte annehmen, nämlich  $0$,  $\pm 1$  und  $\pm 2$.

Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen

(3)  Da  $Y$  nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.

  • Teilt man  $Y$  jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis  $Y = 0$  zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
  • Man erhält dann:
$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$
$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$

(4)  Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal  $D$  und das Summensignal  $S$  die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.

  • Dies war zu erwarten, da  ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$  vorgegeben ist   ⇒   Lösungsvorschlag 1.