Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.  
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Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte&nbsp; $-1$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.  
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*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal&nbsp; $S = X + Y$.
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*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
 
*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
 
*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.
 
  
  
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*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
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*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals&nbsp; $Y$.
*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] zusammengefasst:
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${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
 
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$ I \ = \ $ { 5 3% }
 
$ I \ = \ $ { 5 3% }
  
  
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe '''(2)''' ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?  
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{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert&nbsp; $S_{\rm max}$?  
 
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$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }
 
$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }
  
  
{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
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{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz&nbsp; $D = X - Y$&nbsp; betrachtet wird?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
 
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+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
 
+ Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?
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- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.&nbsp; Wie ändern sie sich?
  
  
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
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'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von&nbsp; $ \pm 1$&nbsp; gleich sind und&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$&nbsp; gilt, erhält man:
  
 
:$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
 
:$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
  
  
'''(2)'''&nbsp; $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
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'''(2)'''&nbsp; $S$&nbsp; kann insgesamt&nbsp; $\underline {I =5}$&nbsp; Werte annehmen, nämlich&nbsp; $0$,&nbsp; $\pm 1$&nbsp; und&nbsp; $\pm 2$.
  
  
 
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'''(3)'''&nbsp; Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
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'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $Y$&nbsp; nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
  
Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen. Man erhält dann:
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*Teilt man&nbsp; $Y$&nbsp; jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis&nbsp; $Y = 0$&nbsp; zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.  
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*Man erhält dann:
  
 
:$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
 
:$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
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'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.  
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'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal&nbsp; $D$&nbsp; und das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.  
  
Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist &nbsp;  ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
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*Dies war zu erwarten, da&nbsp; ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$&nbsp; vorgegeben ist &nbsp;  ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 
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Aktuelle Version vom 8. November 2019, 17:14 Uhr

Summe $S$ zweier
Ternärsignale  $X$  und  $Y$

Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen  $X$  und  $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte  $-1$,  $0$  und  $+1$  annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.

  • Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal  $S = X + Y$.
  • Bei der Signalquelle  $X$  treten die Werte  $-1$,  $0$  und  $+1$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
  • Bei der Quelle  $Y$  ist der Signalwert  $0$  doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte  $-1$  bzw.  $+1$.




Hinweise:

  • Lösen Sie die Teilaufgaben  (3)  und  (4)  nach der klassischen Definition.
  • Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals  $Y$.
  • Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo  Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit  zusammengefasst.



Fragebogen

1

Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von  $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$  ist ?

${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $

2

Wieviele unterschiedliche Signalwerte  $(I)$  kann das Summensignal  $S$  annehmen? Welche sind dies?

$ I \ = \ $

3

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe  (2)  ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert  $S_{\rm max}$?

$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $

4

Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz  $D = X - Y$  betrachtet wird?  Begründen Sie Ihre Antwort.

Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.  Wie ändern sie sich?


Musterlösung

(1)  Da die Wahrscheinlichkeiten von  $ \pm 1$  gleich sind und  ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$  gilt, erhält man:

$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$


(2)  $S$  kann insgesamt  $\underline {I =5}$  Werte annehmen, nämlich  $0$,  $\pm 1$  und  $\pm 2$.


Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen

(3)  Da  $Y$  nicht gleichverteilt ist, kann man hier (eigentlich) die „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit” nicht anwenden.

  • Teilt man  $Y$  jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis  $Y = 0$  zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
  • Man erhält dann:
$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$
$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$


(4)  Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal  $D$  und das Summensignal  $S$  die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.

  • Dies war zu erwarten, da  ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$  vorgegeben ist   ⇒   Lösungsvorschlag 1.