Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte –1, 0 und +1 annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig. Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
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Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.  
Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte –1, 0 und +1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, während bei der Quelle $Y$ der Signalwert 0 doppelt so wahrscheinlich ist wie die beiden anderen Werte –1 bzw. +1.
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*Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
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Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
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*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
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*Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
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:[[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]
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'''Hinweis''': Diese Aufgabe bezieht sich auf den gesamten Stoff von Kapitel 1.1. Der Inhalt dieses Abschnitts ist im nachfolgenden Lernvideo zusammengefasst:
 
 
===Fragebogen===
 
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{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
 
{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
 
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{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
 
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$ I \ = $ { 5 3% }
  
  
{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in $2)$ ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_\max$? Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
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{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?  
 
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$ Pr(S = S_{\rm max} ) \ = $ { 0.0833 3% }
  
  

Version vom 20. Februar 2017, 14:01 Uhr

Summe zweier Ternärsignale

Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.

  • Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.

Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.

  • Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
  • Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit


Fragebogen

1

Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?

$Pr(Y=0) \ = $

2

Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?

$ I \ = $

3

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?

$ Pr(S = S_{\rm max} ) \ = $

4

Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.

Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?


Musterlösung

1.Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:

$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$

$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$

$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $

2. $S$ kann insgesamt 5 Werte annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
3.
P ID192 Sto Z1 1 c.png
Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.

Teilt man $Y$ jedoch gemäß dem Bild in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:

$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,

$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,

$Pr(S = +1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,

$Pr(S = -2) = \frac{1}{12}, Pr(S = +2) = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow Pr(S = S_\max) = 1/12 = 0.0833$.

4. Aus obiger Darstellung ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da $Pr(Y = +1)$ gleich $Pr(Y = –1)$ vorgegeben ist ⇒ Lösungsvorschlag 1.