Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Redundanzfreie Binärquelle: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge
 
Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge
$$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$
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:$$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$
vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable $\nu$ mit 0 beginnt. Entstammt jedes einzelne Symbol $q_\nu$ dem Symbolvorrat {<b>L</b>,<b> H</b>}, so spricht man von einer Binärquelle.
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vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable &nbsp;$\nu$&nbsp; mit Null beginnt.&nbsp; Entstammt jedes einzelne Symbol &nbsp;$q_\nu$&nbsp; dem Symbolvorrat &nbsp;$\{\rm L, \ H\}$,&nbsp; so spricht man von einer Binärquelle.
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Unter Verwendung des Symbolabstandes &nbsp;$T$&nbsp; kann man die Quellensymbolfolge &nbsp;$\langle q_\nu \rangle$&nbsp; in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal
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:$$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$
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kennzeichnen,&nbsp; was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht.&nbsp; Hierbei bezeichnet man &nbsp;$a_\nu$&nbsp; als die Amplitudenkoeffizienten.
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*Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:
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:$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
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*Entsprechend gilt bei einem bipolaren System:
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:$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
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In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; einer Binärquelle dargestellt.&nbsp; Von dieser ist bekannt,&nbsp; dass sie redundanzfrei ist.&nbsp; Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems|"Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems"]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#Beschreibungsgr.C3.B6.C3.9Fen_der_digitalen_Quelle|"Kenngrößen der digitalen Quelle"]].
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*In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit &nbsp;$\rm L$&nbsp; und &nbsp;$\rm 0$&nbsp; bezeichnet.
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*Um die etwas verwirrende Zuordnung &nbsp;$a_\nu = 1$&nbsp; für &nbsp;$q_\nu =\rm 0$&nbsp; und &nbsp;$a_\nu = 0$&nbsp; für &nbsp;$q_\nu =\rm L$&nbsp; zu vermeiden,&nbsp; werden in unserem Lerntutorial die Symbole &nbsp;$\rm L$&nbsp; (&bdquo;Low&rdquo;) und &nbsp;$\rm H$&nbsp; (&bdquo;High&rdquo;) verwendet.
  
Unter Verwendung des Symbolabstandes $T$ kann man die Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle$ in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal
 
$$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$
 
kennzeichnen, was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht. Hierbei bezeichnet man $a_\nu$ als die Amplitudenkoeffizienten. Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:
 
$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 
Entsprechend gilt bei einem bipolaren System:
 
$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
 
In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal $q(t)$ einer Binärquelle dargestellt. Von dieser ist bekannt, dass sie redundanzfrei ist. Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.
 
  
<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.1. In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit <b>L</b> und <b>0</b> bezeichnet. Um die etwas verwirrende Zuordnung <i>a<sub>&nu;</sub></i> = 1 für <i>q<sub>&nu;</sub></i> = <b>0</b> und <i>a<sub>&nu;</sub></i> = 0 für <i>q<sub>&nu;</sub></i> = <b>L</b> zu vermeiden, werden in unserem Lerntutorial die Symbole <b>L</b> (&bdquo;Low&rdquo;) und <b>H</b> (&bdquo;High&rdquo;) verwendet.
 
 
===Fragebogen===
 
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Wie groß ist der Symbolabstand?
 
 
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$R$ = { 500 3% } $kbit/s$
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{Handelt es sich hierbei um die unipolare oder bipolare Repräsentation?
 
{Handelt es sich hierbei um die unipolare oder bipolare Repräsentation?
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- Die Symbolfolge ist unipolar.
 
- Die Symbolfolge ist unipolar.
 
+ Die Symbolfolge ist bipolar.
 
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===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp;Entsprechend der Grafik beträgt der Abstand zweier Symbole <u><i>T</i> = 2 &mu;s</u>.
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'''(1)'''&nbsp; Entsprechend der Grafik beträgt der Abstand zweier Symbole&nbsp; $\underline{T = 2\ \rm &micro; s}$.
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'''(2)'''&nbsp; Bei dieser redundanzfreien Binärquelle &ndash; und nur bei einer solchen &ndash; ist die Bitrate&nbsp; $R = 1/T\hspace{0.15cm}\underline{=500 \ \rm kbit/s}$.
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'''(2)'''&nbsp;Bei einer redundanzfreien Binärquelle &ndash; und nur bei dieser &ndash; ist die Bitrate <i>R</i> = 1/<i>T</i>.  
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'''(3)'''&nbsp; Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind&nbsp; $\pm 1$.&nbsp; Deshalb ist die gegebene Symbolfolge <u>bipolar</u>.
  
Demzufolge ergibt sich hier <u><i>R</i> = 500 kbit/s</u>.
 
  
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'''(4)'''&nbsp; Der Amplitudenkoeffizient&nbsp; $a_2$&nbsp; kann bei&nbsp; $2T = 4 \ \rm &micro; s$&nbsp; abgelesen werden.&nbsp; Bei bipolarer Zuordnung folgt aus&nbsp; $a_2 = -1$&nbsp; für das Symbol&nbsp; $q_2 \hspace{0.15cm}\underline {=\rm L}$.
  
'''(4)'''&nbsp;Der Amplitudenkoeffizient <i>a</i><sub>2</sub> kann bei 2<i>T</i> = 4 &mu;s abgelesen werden. Entsprechend der bipolaren Zuordnung folgt aus <i>a</i><sub>2</sub> = &ndash;1 für das Symbol: <u><i>q</i><sub>2</sub> = <b>L</b></u>.
 
  
'''(5)'''&nbsp;Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert: Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch die Bedingung <i>p</i><sub>H</sub> = <i>p</i><sub>L</sub> <u>= 0.5</u> (gleichwahrscheinliche Symbole) gelten.
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'''(5)'''&nbsp; Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert:  
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*Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch&nbsp;  $p_{\rm H} = p_{\rm L}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole)&nbsp; gelten.
  
 
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Aktuelle Version vom 29. April 2022, 12:52 Uhr


Diracförmiges Quellensignal

Eine jede digitale Quelle kann durch ihre Quellensymbolfolge

$$\langle q_\nu \rangle = \langle \hspace{0.05cm}q_0 \hspace{0.05cm}, q_1 \hspace{0.05cm}, q_2 \hspace{0.05cm}, ... \hspace{0.05cm} \rangle$$

vollständig beschrieben werden, wobei hier entgegen dem Theorieteil die Laufvariable  $\nu$  mit Null beginnt.  Entstammt jedes einzelne Symbol  $q_\nu$  dem Symbolvorrat  $\{\rm L, \ H\}$,  so spricht man von einer Binärquelle.

Unter Verwendung des Symbolabstandes  $T$  kann man die Quellensymbolfolge  $\langle q_\nu \rangle$  in äquivalenter Weise auch durch das diracförmige Quellensignal

$$q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)$$

kennzeichnen,  was eher einer systemtheoretischen Betrachtungsweise entspricht.  Hierbei bezeichnet man  $a_\nu$  als die Amplitudenkoeffizienten.

  • Im Falle einer binären unipolaren Digitalsignalübertragung gilt:
$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  • Entsprechend gilt bei einem bipolaren System:
$$a_\nu = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} q_\nu = \mathbf{H} \hspace{0.05cm}, \\ q_\nu = \mathbf{L} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

In der Grafik ist das diracförmige Quellensignal  $q(t)$  einer Binärquelle dargestellt.  Von dieser ist bekannt,  dass sie redundanzfrei ist.  Diese Aussage ist für die Lösung der Aufgabe durchaus relevant.




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems".
  • Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  "Kenngrößen der digitalen Quelle".
  • In der Literatur werden die beiden möglichen Binärsymbole meist mit  $\rm L$  und  $\rm 0$  bezeichnet.
  • Um die etwas verwirrende Zuordnung  $a_\nu = 1$  für  $q_\nu =\rm 0$  und  $a_\nu = 0$  für  $q_\nu =\rm L$  zu vermeiden,  werden in unserem Lerntutorial die Symbole  $\rm L$  („Low”) und  $\rm H$  („High”) verwendet.


Fragebogen

1

Wie groß ist der Symbolabstand  $T$?

$T \ = \ $

$\ \rm µ s$

2

Wie groß ist die von der Quelle abgegebene Bitrate  $R$?

$R \ = \ $

$\ \rm kbit/s$

3

Handelt es sich hierbei um die unipolare oder bipolare Repräsentation?

Die Symbolfolge ist unipolar.
Die Symbolfolge ist bipolar.

4

Wie lautet das Quellensymbol  $q_2$?

$q_2 = \rm L$,
$q_2 = \rm H$.

5

Wie groß ist die Symbolwahrscheinlichkeit  $p_{\rm H} = {\rm Pr}(q_\nu = \rm H$)?

$p_{\rm H} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Entsprechend der Grafik beträgt der Abstand zweier Symbole  $\underline{T = 2\ \rm µ s}$.


(2)  Bei dieser redundanzfreien Binärquelle – und nur bei einer solchen – ist die Bitrate  $R = 1/T\hspace{0.15cm}\underline{=500 \ \rm kbit/s}$.


(3)  Die möglichen Amplitudenkoeffizienten sind  $\pm 1$.  Deshalb ist die gegebene Symbolfolge bipolar.


(4)  Der Amplitudenkoeffizient  $a_2$  kann bei  $2T = 4 \ \rm µ s$  abgelesen werden.  Bei bipolarer Zuordnung folgt aus  $a_2 = -1$  für das Symbol  $q_2 \hspace{0.15cm}\underline {=\rm L}$.


(5)  Auch wenn die Grafik für den hier dargestellten kurzen Zeitabschnitt etwas anderes suggeriert:

  • Bei einer redundanzfreien Binärquelle muss neben der statistischen Unabhängigkeit der Symbole auch  $p_{\rm H} = p_{\rm L}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$  (gleichwahrscheinliche Symbole)  gelten.