Aufgabe 1.1: Dual-Slope–Verlustmodell

Zum Multiplexing beim GSM–Mobilfunksystem

Zur Simulation des Pfadverlustes in städtischer Umgebung verwendet man oft das asymptotische Dual–Slope–Modell, das im Diagramm als rote Kurve dargestellt ist. Dieses einfache Modell ist durch zwei lineare Abschnitte gekennzeichnet, die durch den sog. Breakpoint (BP) getrennt sind:

Für d ≤ d_BP gilt mit dem Exponenten γ₀:

$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} ({d}/{d_0})\hspace{0.05cm}.$

Für d > d_BP ist der Pfadverlustexponent γ₁ anzusetzen, wobei γ₁ > γ₀ gilt:

$V_{\rm P}(d) = V_{\rm BP} + \gamma_1 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} ({d}/{d_{\rm BP}})\hspace{0.05cm}.$

In diesen Gleichungen bedeuten:

$V_0$ ist der Pfadverlust (in dB) bei $d_0$ (Normierungsdistanz).
$V_{\rm BP}$ ist der Pfadverlust (in dB) bei $d=d_{\rm BP}$ ("Breakpoint").

Die Grafik gilt für die Modellparameter

$d_0 = 1\,{\rm m}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}d_{\rm BP} = 100\,{\rm m}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} V_0 = 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_0 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_1 = 4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} V_{\rm BP} = 50\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$

In den Fragen wird dieser abschnittsweise definierte Verlauf mit Profil (A) bezeichnet. Als zweite Kurve ist das Profil (B) eingezeichnet, das durch folgende Gleichung gegeben ist:

$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ( {d}/{d_0} \right ) + (\gamma_1 - \gamma_0) \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left (1 + {d}/{d_{\rm BP}} \right )\hspace{0.05cm}.$

Mit diesem Dual–Slope–Modell ist der gesamte Distanzverlauf geschlossen beschreibbar, und die Empfangsleistung hängt von der Distanz d entsprechend der folgenden Gleichung ab:

$P_{\rm E}(d) = \frac{P_{\rm S} \cdot G_{\rm S} \cdot G_{\rm E} /V_{\rm zus}}{K_{\rm P}(d)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}K_{\rm P}(d) = 10^{V_{\rm P}(d)/10} \hspace{0.05cm}.$

Hierbei sind alle Parameter absolut einzusetzen, also nicht logarithmisch in dB. Die Sendeleistung wird zu P_S = 5 W angenommen. Die weiteren Größen haben folgende Bedeutungen und Werte:

10 · lg G_S = 17 dB (Gewinn der Sendeantenne),
10 · lg G_E = –3 dB (Gewinn der Empfangsantenne – also eigentlich ein Verlust),
10 · lg V_zus = 4 dB (Verlust durch Zuführungen).

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 1.1. Würde man das Profil (B) entsprechend

$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm} \left ( {d}/{d_0} \right ) + (\gamma_1 - \gamma_0) \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ({d}/{d_{\rm BP}} \right )$

definieren, so wären Profil (A) und Profil (B) für d ≥ d_BP identisch. In diesem Fall würde jedoch im unteren Bereich (d < d_BP) das Profil (B) oberhalb von Profil (A) liegen, und somit deutlich zu gute Verhältnisse suggerieren. Beispielsweise ergäbe sich für d = d₀ = 1 m bei den zugrundeliegenden Zahlenwerten ein um 40 dB zu gutes Ergebnis:

$V_{\rm P}(d) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} V_{\rm 0} + \gamma_0 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ( {d}/{d_0} \right ) + (\gamma_1 - \gamma_0) \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ({d}/{d_{\rm BP}} \right ) =\\ \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} 10\,{\rm dB} + 2 \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \left ({1}/{100} \right ) = -30\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $

Fragebogen

Musterlösung

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