Aufgaben:Aufgabe 1.17Z: BPSK–Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen

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Gemäß dem [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]] lassen sich Binärsignale über den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]] dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn
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Gemäß dem  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]]  lassen sich Binärsignale über den  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]]  dann und nur dann fehlerfrei übertragen,  wenn
  
*man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet,
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*man einen Kanalcode der Rate  $R = k/n$  verwendet,
*die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird  $⇒  n → ∞,$
 
*die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$,
 
*wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt.
 
  
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*die Blocklänge  $n$  dieses Codes sehr groß gewählt wird   ⇒    $n → ∞$,
  
Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale (daher der Index 2) und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet, ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.
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*die Rate  $R$  kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität  $C_{2}$,
  
Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt. Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte $R > 1$ annehmen. Für eine Gaußverteilung ergibt sich für eine gegebene Rate $R$ das kleinstmögliche $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$ gemäß der Gleichung
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*wobei die BPSK–Kanalkapazität  $C_{2}$  vom AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  abhängt.
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Hinweise:
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#Der zulässige Bereich für die Coderate  $R$  ist in der Grafik grün hinterlegt.
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#Die Grenzkurve  $C_{2}$,  ist gültig für binäre Eingangssignale  $($daher der Index  $2)$  und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet  (steht für  "Binary Phase Shift Keying").
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#Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar,  sondern das Ergebnis eines Integrals,  das nur numerisch ausgewertet werden kann.
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#Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität  $C$  eingetragen,  wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.  
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#Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte  $R > 1$  annehmen.  
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#Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate  $R$  das kleinstmögliche  $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$  gemäß der Gleichung
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::$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
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Im Umkehrschluss ist die Rate  $R$  für den gegebenen AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  nach oben begrenzt:
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*Die gerade noch zulässige Coderate  $R_{\rm max}$  bei gegebenem Kanal  $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$  bezeichnen wir als die Kanalkapazität  $C$.
 
   
 
   
:$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
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*Für  $E_{\rm B}/N_{0} = 1  ⇒  10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$  erhält man beispielsweise  $C = 0.5$.
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*Das heißt:   Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert  $R = 0.5$  nicht überschreiten.
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*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß  $C_{2}.$
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In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität   $C_{2}$  durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
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*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable  (siehe Grafik)
  
Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt. Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$. Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1   ⇒  10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$. Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten. Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$
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::$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$  
In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität  $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
 
  
*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)
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:Das heißt:   $x$  ist ohne Einheit;  auf die Pseudo–Einheit  „$\rm dB$”  wird verzichtet.
  
:$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
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*Berücksichtigen Sie,  dass für ein kleines  $E_{\rm B}/N_{0}$   die Näherung  $C_{2} \approx C$  gültig ist  (siehe Grafik),  woraus der Parameter  $x_{0}$  bestimmt werden kann.
  
Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.
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*Setzen Sie für  $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$  an und bestimmen Sie den Parameter  $a$  aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart,  dass  $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$  gilt.
  
*Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines $E_{\rm B}/N_{0}$  die Näherung $C_{2} \approx C$ gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter $x_{0}$ bestimmt werden kann.
 
  
*Setzen Sie für $C_{2}' = 1 - \exp{(–a · x)}$ an und bestimmen Sie den Parameter $a$ aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass $C_{2} ' \approx C$ gilt.
 
  
  
''Hinweise:''
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* Die Aufgabe behandelt das Thema von Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]] und ergänzt die [[Aufgaben:1.17_Coderate_vs._EB/N0|Aufgabe 1.17]].  
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Hinweise:  
* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]].  Sie ergänzt die  [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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* Auf die Pseudo–Einheit  "bit/Kanalzugriff"  der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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<quiz display=simple>
{Berechnen Sie aus dem Grenzwert für $C → 0$ den Kurvenparameter $x_{0}$?
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{Berechnen Sie aus dem Grenzwert für&nbsp; $C → 0$&nbsp; den Kurvenparameter&nbsp; $x_{0}$?
 
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$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$
 
$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$
  
{Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}'(x) = 1 -\exp {(–a · x)}$. Wie groß ist $a$?
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{Approximieren Sie&nbsp; $C_{2}(x)$&nbsp; durch&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$.&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $a$?
 
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$a \ = \ $ { 0.4 3% }
 
$a \ = \ $ { 0.4 3% }
  
{Welche Kanalkapazität $C_{2}'$ ergibt sich nach dieser Näherung für $E_{\rm B} = N_{0}$?
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{Welche Kanalkapazität&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ergibt sich nach dieser Näherung für&nbsp; $E_{\rm B} = N_{0}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?
 
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$E_{\rm B} = N_{0} \text{:} \hspace{0.2cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.47 3% }
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$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.47 3% }
  
 
{Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:
 
{Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:
 
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$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.76 3% }
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$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.76 3% }
$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.89 3% }
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$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.89 3% }
$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.95 3% }
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$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.95 3% }
 
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{{ML-Kopf}}
 
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'''(1)'''&nbsp; Im unteren $E_{\rm B} = N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
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'''(1)'''&nbsp; Im unteren&nbsp; $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
*$C_{2}$ (gültig für binären Eingang, z.B. BPSK) und
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*$C_{2}$&nbsp; $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$&nbsp; und
*$C$ (gültig für analogen reellwertigen Eingang)
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*$C$&nbsp; $($gültig für analogen reellwertigen Eingang$)$
  
  
zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B} = N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$ Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
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zusammen.&nbsp; Für eine gegebene Rate&nbsp; $R$&nbsp; muss&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; größer sein als&nbsp; $(2^{2R} – 1)/2R.$  
  
:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693$$
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Der Grenzübergang für&nbsp; $R → 0$&nbsp; liefert die absolute Shannon–Grenze,&nbsp; ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
 
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
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:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
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:$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$
  
Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:
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Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes&nbsp; $x$:
 
   
 
   
:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm exp}(- 0.4 \cdot x) \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$
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:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:
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'''(3)'''&nbsp; Aus &nbsp; $E_{\rm B} = N_{0}$ &nbsp; folgt &nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ &nbsp; sowie&nbsp; $x = 1.6$:
 
   
 
   
:$$C_2' = 1 - {\rm exp}(- 0.4 \cdot 1.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
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:$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
  
  
 
'''(4)'''&nbsp; Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
 
'''(4)'''&nbsp; Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 2\,{\rm dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm exp}(- 0.4 \cdot 3.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 4\,{\rm dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm exp}(- 0.4 \cdot 5.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
+
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 6\,{\rm dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm exp}(- 0.4 \cdot 7.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$
+
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$
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Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.
  
Die so angenäherten Werte $C_{2}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein. Aus der Grafik können die genaueren Werte $C_{2}$ abgelesen werden:
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Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte&nbsp; $C_{2}$&nbsp; abgeschätzt werden:
 
   
 
   
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 2\,{\rm dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 4\,{\rm dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$
+
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 6\,{\rm dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$
  
Ab etwa $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit $C_{2}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).
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Ab etwa&nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$&nbsp; gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit: &nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$&nbsp; (bit/Kanalzugriff).
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.7 Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung^]]
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.7 Informationstheoretische Grenzen^]]

Aktuelle Version vom 28. September 2022, 16:27 Uhr

Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität

Gemäß dem  Kanalcodierungstheorem  lassen sich Binärsignale über den  AWGN–Kanal  dann und nur dann fehlerfrei übertragen,  wenn

  • man einen Kanalcode der Rate  $R = k/n$  verwendet,
  • die Blocklänge  $n$  dieses Codes sehr groß gewählt wird   ⇒   $n → ∞$,
  • die Rate  $R$  kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität  $C_{2}$,
  • wobei die BPSK–Kanalkapazität  $C_{2}$  vom AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  abhängt.

Hinweise:

  1. Der zulässige Bereich für die Coderate  $R$  ist in der Grafik grün hinterlegt.
  2. Die Grenzkurve  $C_{2}$,  ist gültig für binäre Eingangssignale  $($daher der Index  $2)$  und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet  (steht für  "Binary Phase Shift Keying").
  3. Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar,  sondern das Ergebnis eines Integrals,  das nur numerisch ausgewertet werden kann.
  4. Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität  $C$  eingetragen,  wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
  5. Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte  $R > 1$  annehmen.
  6. Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate  $R$  das kleinstmögliche  $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$  gemäß der Gleichung
$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$

Im Umkehrschluss ist die Rate  $R$  für den gegebenen AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  nach oben begrenzt:

  • Die gerade noch zulässige Coderate  $R_{\rm max}$  bei gegebenem Kanal  $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$  bezeichnen wir als die Kanalkapazität  $C$.
  • Für  $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$  erhält man beispielsweise  $C = 0.5$.
  • Das heißt:   Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert  $R = 0.5$  nicht überschreiten.
  • Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß  $C_{2}.$


In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität  $C_{2}$  durch eine Exponentialfunktion anzunähern:

  • Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable  (siehe Grafik)
$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
Das heißt:   $x$  ist ohne Einheit;  auf die Pseudo–Einheit  „$\rm dB$”  wird verzichtet.
  • Berücksichtigen Sie,  dass für ein kleines  $E_{\rm B}/N_{0}$  die Näherung  $C_{2} \approx C$  gültig ist  (siehe Grafik),  woraus der Parameter  $x_{0}$  bestimmt werden kann.
  • Setzen Sie für  $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$  an und bestimmen Sie den Parameter  $a$  aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart,  dass  $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$  gilt.



Hinweise:

  • Auf die Pseudo–Einheit  "bit/Kanalzugriff"  der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.



Fragebogen

1

Berechnen Sie aus dem Grenzwert für  $C → 0$  den Kurvenparameter  $x_{0}$?

$x_{0} \ = \ $

$\ \rm dB$

2

Approximieren Sie  $C_{2}(x)$  durch  $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$.  Wie groß ist  $a$?

$a \ = \ $

3

Welche Kanalkapazität  $C_{2}\hspace{0.01cm}'$  ergibt sich nach dieser Näherung für  $E_{\rm B} = N_{0}$   ⇒   $10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?

$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $

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Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:

$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $

$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $

$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $


Musterlösung

(1)  Im unteren  $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven

  • $C_{2}$  $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$  und
  • $C$  $($gültig für analogen reellwertigen Eingang$)$


zusammen.  Für eine gegebene Rate  $R$  muss  $E_{\rm B}/N_{0}$  größer sein als  $(2^{2R} – 1)/2R.$

Der Grenzübergang für  $R → 0$  liefert die absolute Shannon–Grenze,  ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:

$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Aus der Grafik auf der Angabenseite lässt sich die Tangentensteigerung im Nullpunkt abschätzen:

$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$

Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes  $x$:

$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$


(3)  Aus   $E_{\rm B} = N_{0}$   folgt   $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$   sowie  $x = 1.6$:

$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:

$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$

Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.

Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte  $C_{2}$  abgeschätzt werden:

$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$

Ab etwa  $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit:   $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$  (bit/Kanalzugriff).