Aufgabe 1.12Z: Vergleich von HC (7, 4, 3) und HC (8, 4, 4)
Nun sollen die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten
- des (7, 4, 3)–Hamming–Codes und
- des erweiterten (8, 4, 4)–Hamming–Codes
miteinander verglichen werden. Zugrunde gelegt werden
- das BSC–Kanalmodell (Parameter $\varepsilon$, insbesondere $\varepsilon = 0.01$ für numerische Ergebnisse),
- die Syndromdecodierung, mit der bei beiden Codes eine Maximum–Likelihood–Detektion realisiert wird. Bei richtiger Belegung der Syndromtabelle ergibt sich jeweils die minimale Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
Für den (7, 4, 3)–Code wurde in der Aufgabe 1.12 berechnet:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$
Die Zahlenwerte sind in der Spalte 2 der obigen Tabelle angegeben. Es handelt sich um die tatsächlichen Werte, also nicht um die in Aufgabe 1.12 hergeleitete Näherung: ${\rm Pr(Blockfehler)} \approx 21 · \varepsilon^2$.
Anzumerken ist, dass aufgrund des BSC–Kanalmodells nur harte Entscheidungen möglich sind. Mit Soft–Decision ergeben sich etwas kleinere Blockfehlerwahrscheinlichkeiten.
Nun soll die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den erweiterten (8, 4, 4)–Code ermittelt werden:
- Die Berechnung in Teilaufgabe 4) erfolgt unter der Maßgabe, dass wie beim (7, 4, 3)–Code nur die Fehlermuster mit einer einzigen „1” korrigiert werden. In der rechten Spalte obiger Tabelle sind die Ergebnisse eingetragen, bis auf den Wert für $\varepsilon = 0.01$, der explizit berechnet werden soll.
- In der Teilaufgabe 5) soll dagegen berücksichtigt werden, dass beim erweitereten (8, 4, 4)–Code Teile der Syndromtabelle noch mit Gewicht–2–Fehlermustern aufgefüllt werden können.
Hinweis:
Die Aufgabe bezieht sich auf Kapitel Decodierung linearer Blockcodes. Von Interesse für die Lösung dieser Aufgabe ist insbesondere die Seite Verallgemeinerung der Syndromdecodierung (2).
Fragebogen
Musterlösung
