Aufgaben:Aufgabe 1.10: BPSK–Basisbandmodell: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten in dieser Aufgabe ein BPSK–System mit kohärenter Demodulation, das heißt, es gilt
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Wir betrachten in dieser Aufgabe ein BPSK–System mit kohärenter Demodulation,  das heißt,  es gilt
 
:$$s(t) \ = \  z(t) \cdot q(t),$$
 
:$$s(t) \ = \  z(t) \cdot q(t),$$
 
:$$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$
 
:$$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$
Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil an.
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Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Blockschaltbild]]  im Theorieteil an.
Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs $H_{\rm K}(f)$ lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen, wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt:
 
:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\right ] .$$
 
Damit werden
 
*Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt,
 
*der Bandpasskanal $H_{\rm K}(f)$ in den Tiefpassbereich transformiert.
 
  
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Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs  $H_{\rm K}(f)$  lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen,  wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt:
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:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$
  
Die resultierende Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion $H_{\rm K,TP}(f)$ gemäß der Beschreibung in [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] des Buches „Signaldarstellung” verwechseln, die sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$ nach links ergibt.
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*Damit werden Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt,  und
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*der Bandpasskanal  $H_{\rm K}(f)$  wird in den Tiefpassbereich transformiert.
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Die resultierende Übertragungsfunktion  $H_{\rm MKD}(f)$  sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion  $H_{\rm K, \, TP}(f)$  gemäß der Beschreibung im Kapitel  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|"Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion"]]  des Buches „Signaldarstellung” verwechseln,  die sich aus  $H_{\rm K}(f)$  durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um  $f_{\rm T}$  nach links ergibt.  
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Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden.
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel   [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|"Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Basisbandmodell_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|"Basisbandmodell für ASK und BPSK"]].
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Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation|Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]].
 
  
 
===Fragebogen===
 
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{Welche Aussagen gelten für den Frequenzgang  $H_{\rm MKD}(f)$ ?
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{Welche Aussagen gelten für die äquivalente Tiefpassfunktion &nbsp;$H_{\rm K, \, TP}(f)$ ?
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- Es gilt &nbsp;$H_{\rm K, \, TP}(f=0)= 2$.
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+ Es gilt &nbsp;$H_{\rm K, \, TP}(f = –\Delta f_{\rm K}/4) = 0.75$.
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+Die dazugehörige Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm K, \, TP}(t)$&nbsp; ist komplex.
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{Welche Aussagen gelten für den Frequenzgang  &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$ ?
 
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- Es gilt $H_{\rm MKD}(f=0)= 2$.
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- Es gilt &nbsp;$H_{\rm MKD}(f=0)= 2$.
-Es gilt $H_{\rm MKD}(f = \delta f_{\rm K}/4) = 1$.
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-Es gilt &nbsp;$H_{\rm MKD}(f = \Delta f_{\rm K}/4) = 1$.
+ Es gilt $H_{\rm MKD}(f = –C/4) = 0.75$.
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+ Es gilt &nbsp;$H_{\rm MKD}(f = –\Delta f_{\rm K}/4) = 0.75$.
-Die dazugehörige Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist komplex.
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-Die dazugehörige Zeitfunktion &nbsp;$h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; ist komplex.
  
{Berechnen Sie die Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ . Geben Sie den Wert bei $t = 0$ an.
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-$h_{\rm MKD}(t)$ hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $1/\delta f_{\rm K}$.
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+$h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand &nbsp;$2/\Delta f_{\rm K}$.
  
  
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>die Aussagen 2, 3 und 4</u>:
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*$H_{\rm K,TP}(f)$&nbsp; ergibt sich aus&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nach links.
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* Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet.&nbsp; Deshalb:
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:$$H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f= 0) = H_{\rm K}(f= f_{\rm T})=1.$$
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*Wegen der reellen und unsymmetrischen Spektralfunktionen&nbsp; $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$&nbsp; ist die zugehörige Zeitfunktion&nbsp; (Fourierrücktransformierte)&nbsp; $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ nach&nbsp; dem Zuordnungssatz komplex.
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'''(2)'''&nbsp; Hier ist nur der&nbsp; <u>dritte Lösungsvorschlag</u> richtig:
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*Die Spektralfunktion&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; besitzt stets einen geraden Realteil und keinen Imaginärteil.&nbsp; Demzufolge ist&nbsp; $h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; stets reell.
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*Hätte&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; zusätzlich einen um&nbsp; $f=f_{\rm T}$&nbsp; ungeraden Imaginärteil,&nbsp; so würde&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$ einen um&nbsp; $f = 0$&nbsp;  ungeraden Imaginärteil aufweisen.&nbsp; Damit wäre&nbsp; $h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; immer noch eine reelle Funktion.
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Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen&nbsp; $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$&nbsp; und&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$.&nbsp; Die Anteile von&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; im Bereich um&nbsp; $\pm 2f_{\rm T}$&nbsp; müssen nicht weiter beachtet werden.
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'''(3)'''&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen,&nbsp; jeweils mit Breite&nbsp; $\Delta f_{\rm K}$&nbsp; und Höhe&nbsp; $0.5$.&nbsp; Daraus folgt:
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:$$h_{\rm MKD}(t) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot t)+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi \cdot \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot t)$$
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:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} + \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} = 0.75 \cdot \Delta f_{\rm K}\hspace{0.3cm}
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\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0)/{\Delta f_{\rm K}} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.75} .$$
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag:</u>
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*Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $1/\Delta f_{\rm K}$.
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*Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion&nbsp; $h_{\rm MKD}(t)$&nbsp; werden aber durch den zweiten Term bestimmt:
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:$$h_{\rm MKD}(t = \frac{1}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi )+
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\frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi/2) = \frac{\Delta
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f_{\rm K}}{4},$$
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:$$h_{\rm MKD}(t = \frac{2}{\Delta f_{\rm K}})  = \ \frac{\Delta
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f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (2\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4}
 +
\cdot {\rm si}^2 (\pi) = 0.$$
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Aktuelle Version vom 7. Mai 2022, 14:09 Uhr

Unsymmetrischer Kanalfrequenzgang

Wir betrachten in dieser Aufgabe ein BPSK–System mit kohärenter Demodulation,  das heißt,  es gilt

$$s(t) \ = \ z(t) \cdot q(t),$$
$$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$

Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das  Blockschaltbild  im Theorieteil an.

Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs  $H_{\rm K}(f)$  lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen,  wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$
  • Damit werden Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt,  und
  • der Bandpasskanal  $H_{\rm K}(f)$  wird in den Tiefpassbereich transformiert.


Die resultierende Übertragungsfunktion  $H_{\rm MKD}(f)$  sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion  $H_{\rm K, \, TP}(f)$  gemäß der Beschreibung im Kapitel  "Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion"  des Buches „Signaldarstellung” verwechseln,  die sich aus  $H_{\rm K}(f)$  durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um  $f_{\rm T}$  nach links ergibt.

Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die äquivalente Tiefpassfunktion  $H_{\rm K, \, TP}(f)$ ?

Es gilt  $H_{\rm K, \, TP}(f=0)= 2$.
Es gilt  $H_{\rm K, \, TP}(f = \Delta f_{\rm K}/4) = 1$.
Es gilt  $H_{\rm K, \, TP}(f = –\Delta f_{\rm K}/4) = 0.75$.
Die dazugehörige Zeitfunktion  $h_{\rm K, \, TP}(t)$  ist komplex.

2

Welche Aussagen gelten für den Frequenzgang  $H_{\rm MKD}(f)$ ?

Es gilt  $H_{\rm MKD}(f=0)= 2$.
Es gilt  $H_{\rm MKD}(f = \Delta f_{\rm K}/4) = 1$.
Es gilt  $H_{\rm MKD}(f = –\Delta f_{\rm K}/4) = 0.75$.
Die dazugehörige Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$  ist komplex.

3

Berechnen Sie die Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$.  Geben Sie den Wert bei  $t = 0$  an.

$ h_{\rm MKD}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

$h_{\rm MKD}(t)$  hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $1/\Delta f_{\rm K}$.
$h_{\rm MKD}(t)$  hat äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $2/\Delta f_{\rm K}$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  die Aussagen 2, 3 und 4:

  • $H_{\rm K,TP}(f)$  ergibt sich aus  $H_{\rm K}(f)$  durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um  $f_{\rm T}$  nach links.
  • Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet.  Deshalb:
$$H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f= 0) = H_{\rm K}(f= f_{\rm T})=1.$$
  • Wegen der reellen und unsymmetrischen Spektralfunktionen  $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$  ist die zugehörige Zeitfunktion  (Fourierrücktransformierte)  $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ nach  dem Zuordnungssatz komplex.


Tiefpassfunktionen für $H_{\rm K}(f)$

(2)  Hier ist nur der  dritte Lösungsvorschlag richtig:

  • Die Spektralfunktion  $H_{\rm MKD}(f)$  besitzt stets einen geraden Realteil und keinen Imaginärteil.  Demzufolge ist  $h_{\rm MKD}(t)$  stets reell.
  • Hätte  $H_{\rm K}(f)$  zusätzlich einen um  $f=f_{\rm T}$  ungeraden Imaginärteil,  so würde  $H_{\rm MKD}(f)$ einen um  $f = 0$  ungeraden Imaginärteil aufweisen.  Damit wäre  $h_{\rm MKD}(t)$  immer noch eine reelle Funktion.


Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen  $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$  und  $H_{\rm MKD}(f)$.  Die Anteile von  $H_{\rm MKD}(f)$  im Bereich um  $\pm 2f_{\rm T}$  müssen nicht weiter beachtet werden.


(3)  $H_{\rm MKD}(f)$  setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen,  jeweils mit Breite  $\Delta f_{\rm K}$  und Höhe  $0.5$.  Daraus folgt:

$$h_{\rm MKD}(t) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot t)+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi \cdot \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot t)$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} + \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} = 0.75 \cdot \Delta f_{\rm K}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0)/{\Delta f_{\rm K}} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.75} .$$


(4)  Richtig ist der  zweite Lösungsvorschlag:

  • Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand  $1/\Delta f_{\rm K}$.
  • Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion  $h_{\rm MKD}(t)$  werden aber durch den zweiten Term bestimmt:
$$h_{\rm MKD}(t = \frac{1}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi/2) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{4},$$
$$h_{\rm MKD}(t = \frac{2}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (2\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi) = 0.$$