Aufgabe 1.09: Erweiterter Hamming–Code

(7, 4) Hamming – (8, 4) Erweiterung

Es sollen zwei Codes miteinander verglichen werden, deren Codetabellen rechts angegeben sind. Die ersten vier Bit eines jeden Codewortes x geben das jeweilige Informationswort u wider (schwarze Schrift). Danach folgen $m = n – k$ Prüfbit (rote Schrift).

Der systematische (7, 4)–Hamming–Code wurde bereits in Aufgabe 1.6 sowie Aufgabe 1.07 behandelt. Prüfmatrix und Generatormatrix dieses Codes sind wie folgt gegeben:

$${ \boldsymbol{\rm H}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm},$$

$${ \boldsymbol{\rm G}}_1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}.$$

Im weiteren Verlauf der Aufgabe wird dieser (gelb hinterlegte) Code $C_{1}$ genannt.

Die rechte Spalte in obiger Tabelle gibt einen Blockcode mit den Parametern $n = 8$ und $k = 4$ an, der in der Literatur meist als „erweiteter Hamming–Code” bezeichnet wird. Wir nennen diesen (grün hinterlegten) Code im Folgenden $C_{2}$ und bezeichnen dessen Prüfmatrix mit ${ \boldsymbol{\rm H}}_{2}$ und die dazugehörige Generatormatrix mit ${ \boldsymbol{\rm G}}_{2}$ .

Die Fragen zu dieser Aufgabe beziehen sich auf

die Coderate,
die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten,
die Prüfmatrix und die Generatormatrix des erweiterten (8, 4)–Hamming–Codes.

Hinweis :

Die Aufgabe gehört zu Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes. Beachten Sie bei der Lösung, dass $C_{1}$ und $C_{2}$ jeweils systematische Codes sind. Die nachfolgende Aufgabe 1.09Z behandelt die Erweiterung von Codes in etwas allgemeinerer Form.

Fragebogen

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

	Falsch
	Richtig