Aufgabe 1.08Z: Äquivalente Codes

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Vier  $(6, 3)$–Blockcodes

In der Grafik sind die Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$  für verschiedene Codes angegeben,  die im Folgenden jeweils durch die Generatormatrix  $\boldsymbol{\rm G}$  und die Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  charakterisiert werden:

  • ${\boldsymbol{\rm Code \ A}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm A} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
  • ${\boldsymbol{\rm Code \ B}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 &1 &1\\ 1 &0 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &1 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} { \boldsymbol{\rm H}}_{\rm B} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
  • ${\boldsymbol{\rm Code \ C}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &0 &1 &1\\ 0 &0 &1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm C} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0 &0\\ 0 &1 &1 &0 &1 &0\\ 1 &1 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
  • ${\boldsymbol{\rm Code \ D}}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{ \boldsymbol{\rm H}}_{\rm D} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0 &1 &0\\ 1 &0 &0 &0 &0 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll untersucht werden,  welche dieser Codes bzw. Codepaare

  • systematisch sind,
  • identisch sind  (das heißt:   Verschiedene Codes haben gleiche Codeworte),
  • äquivalent sind  (das heißt:   Verschiedene Codes haben gleiche Codeparameter).


Hinweise:

  • Anzumerken ist,  dass die Angabe einer Prüfmatrix  $\boldsymbol{\rm H}$  nicht eindeutig ist.  Verändert man die Reihenfolge der Gleichungen,  entspricht dies der Vertauschung von Zeilen.


Fragebogen

1

Welche der nachfolgend aufgeführten Codes sind systematisch?

Code  $\rm A$,
Code  $\rm B$,
Code  $\rm C$,
Code  $\rm D$.

2

Welche der vorgegebenen Codepaare sind identisch?

Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$,
Code  $\rm B$  und  Code  $\rm C$,
Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$.

3

Welche der gegebenen Codepaare sind äquivalent,  aber nicht identisch?

Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$,
Code  $\rm B$  und  Code  $\rm C$,
Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$.

4

Wie unterscheiden sich die Generatormatrizen  $G_{\rm B}$  und  $G_{\rm C}$?

Durch verschiedene Linearkombinationen verschiedener Zeilen.
Durch zyklische Vertauschung der Zeilen um  $1$  nach unten.
Durch zyklische Vertauschung der Spalten um  $1$  nach rechts.

5

Bei welchen Codes gilt  ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$?

Code  $\rm A$,
Code  $\rm B$,
Code  $\rm C$,
Code  $\rm D$.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Antworten 1, 3 und 4:

  • Für einen systematischen  $(6, 3)$–Blockcode muss gelten:
$$\underline{x} = ( x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) = ( u_1, u_2, u_3, p_1, p_2, p_{3}) \hspace{0.05cm}.$$
  • Diese Bedingung erfüllen Code  $\rm A$,  Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$,  nicht aber Code  $\rm B$.


(2)  Richtig ist nur  Antwort 1:

  • Nur  Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$  sind identische Codes.  Sie beinhalten genau die gleichen Codeworte und unterscheiden sich nur durch andere Zuordnungen  $\underline{u} \rightarrow \underline{x}$.
  • Wie in der Musterlösung zur  "Aufgabe A1.8 (3)" angegeben,  gelangt man von der Generatormatrix  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  zur  Generatormatrix ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm A}$
  • allein durch Vertauschen/Permutieren von Zeilen,  oder
  • durch Ersetzen einer Zeile durch die Linearkombination zwischen dieser Zeile und einer anderen.


(3)  Richtig ist somit allein  Antwort 2:

  • Code  $\rm A$  und  Code  $\rm B$  sind mehr als äquivalent,  nämlich identisch.
  • Code  $\rm C$  und  Code  $\rm D$  unterscheiden sich durch die minimale Hamming–Distanz  $d_{\rm min} = 3$  bzw.  $d_{\rm min} = 2$  und sind somit auch nicht äquivalent.
  • Code  $\rm B$  und  Code  $\rm C$  zeigen dagegen gleiche Eigenschaften,  beispielsweise gilt für beide  $d_{\rm min} = 3$.  Sie beinhalten aber andere Codeworte.



(4)  Richtig ist  Antwort 3:

  • Die letzte Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  ergibt die erste Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
  • Die erste Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  ergibt die zweite Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$.
  • Die zweite Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}$  ergibt die dritte Spalte von  ${ \boldsymbol{\rm G}}_{\rm C}$,  usw.


(5)  Alle Aussagen treffen zu:

  • Die Bedingung  ${ \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = \boldsymbol{0}$  gilt für alle linearen Codes.