Aufgabe 1.07Z: Klassifizierung von Blockcodes

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Blockcodes der Länge  $n = 4$

Wir betrachten Blockcodes der Länge  $n = 4$:

$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
  • den  Wiederholungscode   $\text{RC (4, 1)}$   ⇒   „Code 2”   mit der Prüfmatrix
$${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
  • den  $\text{(4, 2)}$–Blockcode   ⇒   „Code 3”   mit der Generatormatrix
$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
  • den  $\text{(4, 2)}$–Blockcode   ⇒   „Code 4”   mit der Generatormatrix
$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
  • einen weiteren „Code 5”   mit dem Codeumfang  $|\hspace{0.05cm}C\hspace{0.05cm}| = 6$.


In der Grafik sind die einzelnen Codes explizit angegegeben.  Bei den Fragen zu diesen Aufgaben geht es um die Begriffe


Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lässt sich „Code 5” beschreiben?

In jedem Codewort sind genau zwei Nullen enthalten.
In jedem Codewort sind genau zwei Einsen enthalten.
Nach jeder  "$0$" sind die Symbole  "$0$"  und  "$1$"  gleichwahrscheinlich.

2

Welche der folgenden Blockcodes sind linear?

Code 1,
Code 2,
Code 3,
Code 4,
Code 5.

3

Welche der folgenden Blockcodes sind systematisch?

Code 1,
Code 2,
Code 3,
Code 4,
Code 5.

4

Welche Codepaare sind zueinander dual?

Code 1 und Code 2,
Code 2 und Code 3,
Code 3 und Code 4.


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Aussagen 1 und 2:

  • Deshalb gibt es auch  "$\rm 4 \ über \ 2 = 6$"  Codeworte.
  • Aussage 3 ist falsch.  Ist zum Beispiel das erste Bit  "$0$",  so gibt es ein Codewort mit dem Beginn  "$00$"  und zwei Codeworte,  die mit  "$01$"  beginnen.


(2)  Richtig sind die  Aussagen 1 bis 4:

  • Alle Codes,  die durch eine Generatormatrix  $\boldsymbol {\rm G}$  und/oder eine Prüfmatrix $\boldsymbol  {\rm H}$  beschrieben werden können,  sind linear.
  • Dagegen erfüllt „Code 5” keine der für lineare Codes erforderlichen Bedingungen.  Beispielsweise
  • fehlt das Nullwort,
  • ist der Codeumfang  $|\mathcal{C}|$  keine Zweierpotenz,
  • ergibt  $(0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 1)$  kein gültiges Codewort.


(3)  Richtig sind die  Aussagen 1 bis 3:

  • Bei einem systematischen Code müssen stets die ersten  $k$  Bit eines jeden Codewortes  $\underline{x}$  gleich dem Informationswort  $\underline{u}$  sein.
  • Dies wird erreicht,  wenn der Beginn der Generatormatrix  $\boldsymbol {\rm G}$  eine Einheitsmatrix  $\boldsymbol{\rm I}_{k}$  darstellt.
  • Dies trifft für „Code 1”  $($mit Dimension  $k = 3)$,  „Code 2”  $($mit $k = 1)$  und „Code 3”  $($mit  $k = 2)$  zu.
  • Die Generatormatrix von „Code 2” ist allerdings nicht explizit angegeben.  Sie lautet:
$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist die  Aussage 1:

  • Von dualen Codes spricht man,  wenn die Prüfmatrix  $\boldsymbol {\rm H}$  des einen Codes gleich der Generatormatrix  $\boldsymbol {\rm G}$  des anderen Codes ist.
  • Dies trifft zum Beispiel für „Code 1” und „Code 2” zu.
  • Für den  $\text{SPC (4, 3)}$  gilt:
$${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
und für den Wiederholungscode  $\text{RC (4, 1)}$:
$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
  • Aussage 2 ist mit Sicherheit falsch,  schon aus Dimensionsgründen:  $\boldsymbol {\rm G}$  von „Code 3” ist eine  $2×4$–Matrix und die Prüfmatrix  $\boldsymbol {\rm H}$  von „Code 2” eine  $3×4$–Matrix.
  • „Code 3” und „Code 4” erfüllen ebenfalls nicht die Bedingungen dualer Codes.  Die Prüfgleichungen von
$${\rm Code}\hspace{0.15cm}3 = \{ (0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}(1, 0, 0, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 1) \}$$
lauten:
$$x_1 \oplus x_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 \oplus x_3 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ist die Generatormatrix von „Code 4” wie folgt gegeben:
$${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$