Aufgabe 1.07Z: Klassifizierung von Blockcodes
Wir betrachten Blockcodes der Länge $n = 4$:
- den Single Parity–check Code SPC (4, 3) mit
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- den Wiederholungscode RC (4, 1) mit der Prüfmatrix
- $${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- den (4, 2)–Blockcode mit der Generatormatrix
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- den (4, 2)–Blockcode mit der Generatormatrix
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
- einen weiteren Code mit dem Codeumfang $|C| = 6$.
Diese Codes werden im Folgenden mit Code $1$, ... , Code $5$ bezeichnet. In der Grafik sind die einzelnen Codes explizit angegegeben.
Bei den Fragen zu diesen Aufgaben geht es um die Begriffe
Hinweis :
Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel Kanalcodierung/Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Richtig sind hier die Aussagen 1 bis 4. Alle Codes, die durch eine Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ und/oder eine Prüfmatrix $\boldsymbol {\rm H}$ beschrieben werden können, sind linear. Dagegen erfüllt Code 5 keine der für lineare Codes erforderlichen Bedingungen. Beispielsweise
- fehlt das Nullwort,
- ist der Codeumfang $|C|$ keine Zweierpotenz,
- ergibt $(0, 1, 0, 1) \oplus (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 1)$ kein gültiges Codewort.
(3) Bei einem systematischen Code müssen stets die ersten $k \ \rm Bit$ eines jeden Codewortes $\underline{x}$ gleich dem Codewort $\underline{u}$ sein. Dies wird erreicht, wenn der Beginn der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ eine Einheitsmatrix $\boldsymbol{\rm I}_{k}$ darstellt. Dies trifft für Code 1 (mit Dimension $k = 3$), Code 2 (mit $k = 1$) und Code 3 (mit $k = 2$) zu $\Rightarrow$ die Aussagen 1 bis 3 sind richtig. Die Generatormatrix von Code 2 ist allerdings nicht explizit angegeben. Sie lautet:
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Von dualen Codes spricht man, wenn die Prüfmatrix $\boldsymbol {\rm H}$ des einen Codes gleich der Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ des anderen Codes ist. Dies trifft zum Beispiel für Code 1 und Code 2 zu. Für den SPC (4, 3) gilt:
- $${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
und für den Wiederholungscode RC (4, 1):
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &0 &1\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Das heißt: Die Aussage 1 trifft zu. Aussage 2 ist mit Sicherheit falsch, schon aus Dimensionsgründen: Die Generatormatrix $\boldsymbol {\rm G}$ von Code 3 ist eine 2×4–Matrix und die Prüfmatrix $\boldsymbol {\rm H}$ von Code 2 eine 3×4–Matrix.
Code 3 und Code 4 erfüllen ebenfalls nicht die Bedingungen dualer Codes. Die Prüfgleichungen von
- $${\rm Code}\hspace{0.15cm}3 = \{ (0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} (0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}(1, 0, 0, 1) \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}(1, 1, 1, 1) \}$$
lauten:
- $$x_1 \oplus x_4 = 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}x_2 \oplus x_3 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &1\\ 0 &1 &1 &0 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ist die Generatormatrix von Code 4 wie folgt gegeben:
- $${ \boldsymbol{\rm G}} = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$
