Aufgabe 1.07: Prüf- und Generatormatrix des HC (7, 4, 3)
Die Grafik zeigt die Prüfgleichungen des (7, 4, 3)–Hamming–Codes, der bereits in der Aufgabe 1.6 eingehend betrachtet und anhand der Codetabelle beschrieben wurde. In dieser Aufgabe wird dieser Code – wie in der Kanalcodierung allgemein üblich – nun durch zwei Matrizen charakterisiert:
- Die Prüfmatrix H ist eine Matrix mit $m = n – k$ Zeilen und n Spalten. Sie beschreibt die $m = 3$ Prüfgleichungen, wobei sich die erste Zeile auf die Elemente des roten Kreises und die zweite Zeile auf die des grünen Kreises bezieht. Die letzte Zeile gibt die Modulo–2–Summe des blauen Kreises wieder.
- Eine zweite Beschreibungsmöglichkeit bietet die Generatormatrix G, mit k Zeilen und n Spalten. Sie gibt den Zusammenhang zwischen den Informationsworten u und den Codeworten x an:
- $$ \underline{x} = \underline{u} \cdot { \boldsymbol{\rm G}} \hspace{0.05cm}.$$
Daraus und aus der Gleichung H $· x^{\rm T} = $0 kann der Zusammenhang zwischen der Prüfmatrix H und der Generatormatrix G hergestellt werden:
- $$\underline{x}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} \cdot \underline{u}^{\rm T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} \cdot \underline{u}^{\rm T} = \underline{0}\hspace{0.5cm} \forall \hspace{0.15cm}\underline{u} \in {\rm GF}(2^k)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} { \boldsymbol{\rm H}} \cdot { \boldsymbol{\rm G}}^{\rm T} = { \boldsymbol{\rm 0}} \hspace{0.05cm}.$$
Anzumerken ist, dass in diesen Gleichungen 0 einen Zeilenvektor mit k Elementen bezeichnet und 0 eine Matrix mit m Zeilen und k Spalten. Alle Elemente von 0 bzw. 0 sind identisch 0.
Handelt es sich um einen systematischen Code, so können die beiden Beschreibungsgrößen H und G unter Zuhilfenahme von Einheitsmatrizen wie folgt geschrieben werden:
- $${ \boldsymbol{\rm G}} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}\left({ \boldsymbol{\rm I}}_k \: ; \: { \boldsymbol{\rm P}}\right) \hspace{0.05cm},$$
- $$ { \boldsymbol{\rm H}} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}\left({ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T}\: ; \:{ \boldsymbol{\rm I}}_m \right) \hspace{0.05cm}.$$
P ist dabei eine Matrix mit k Zeilen und m Spalten. Dementsprechend besitzt die transponierte Matrix ${ \boldsymbol{\rm P}}^{\rm T} \ m$ Zeilen und k Spalten.
Hinweis :
Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes.
Fragebogen
Musterlösung
