Aufgabe 2.6Z: PN-Generator der Länge 3: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | :$$G( | + | :$$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$ |
| − | + | und somit der Oktalkennung ($g_3 \ g_2 \ g_1 \ g_0$) = $(1 \ 1 \ 0 \ 1)_{\rm bin} = (15)_{\rm oct}$. | |
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| + | $$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3} ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$ | ||
| − | + | hat die Oktalkennung $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$. | |
| − | + | *Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt. | |
| + | *Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz. | ||
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| + | ''Hinweise:'' | ||
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgrößen|Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]]. | ||
| + | *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. | ||
| + | *Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lernvideo hinweisen: | ||
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| − | {Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration (15)? | + | {Wie groß ist die Periodenlänge der Konfiguration $(15)$? |
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| − | $P$ | + | $P \ = $ { 7 } |
| − | {Ermitteln Sie die Ausgangsfolge | + | {Ermitteln Sie die Ausgangsfolge $〈z_ν\rangle$ für die Zeitpunkte $1$, ... , $P$. Wie lauten die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge? ''Hinweis:'' Bezeichnen Sie die Zellen von links nach rechts mit $S_1$, $S_2$ und $S_3$. Ausgegeben wird der Wert $z_ν$, der zum Zeitpunkt $\nu$ in die Speicherzelle $S_1$ eingetragen wird. |
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| − | - 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 . . . | + | - $1\ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0$ . . . |
| − | - 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 . . . | + | - $1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 $ . . . |
| − | + 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 . . . | + | + $1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1$ . . . |
| − | - 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 . . . | + | - $0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $. . . |
| − | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M-Sequenz zu? |
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- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich. | - Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich. | ||
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen. | + In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen. | ||
| − | + Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist | + | + Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $L$. |
| − | + Die Folge 1 0 1 0 1 0 | + | + Die Folge $1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ . . . ist nicht möglich. |
| − | {Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung (13). Wie lauten hier die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung? | + | {Betrachten Sie nun die reziproke Anordnung $(13)$. Wie lauten hier die ersten 15 Binärwerte der Ausgangsfolge bei gleicher Anfangsbelegung? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | - 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 . . . | + | - $0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 $ . . . |
| − | + 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 . . . | + | + $0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 1 \ 0 $ . . . |
| − | - 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 . . . | + | - $0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 $ . . . |
Version vom 6. März 2017, 13:08 Uhr
Nebenstehende Skizze zeigt einen PN-Generator der Länge $L = 3$ mit dem Generatorpolynom
- $$G( D) = D^{\rm 3} + D^{\rm 2} + \rm 1$$
und somit der Oktalkennung ($g_3 \ g_2 \ g_1 \ g_0$) = $(1 \ 1 \ 0 \ 1)_{\rm bin} = (15)_{\rm oct}$.
Das zugehörige reziproke Polynom $$G_{\rm R}(D) = D^{\rm 3} ( D^{\rm -3} + D^{\rm -2} + 1) = D^{\rm 3} + D^{\rm 1} + \rm 1$$
hat die Oktalkennung $(1 \ 0 \ 1 \ 1)_{\rm bin} = (13)_{\rm oct}$.
- Zum Startzeitpunkt seien die drei Speicherzellen mit den Binärwerten $1$, $0$ und $1$ vorbelegt.
- Beide Anordnungen erzeugen eine M-Sequenz.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Wir möchten Sie gerne auch auf das folgende Lernvideo hinweisen:
Fragebogen
Musterlösung
- 1. Es handelt sich um eine M-Sequenz mit L = 3. Daraus folgt P = 2L - 1 = 7.
- 2. Wir bezeichnen die Zellen von links nach rechts mit S1, S2 und S3. Dann gilt:
- S2(ν) = S1(ν – 1),
- S3(ν) = S2(ν – 1),
- S3(ν) = S2(ν – 1) mod S3(ν – 1).
- Das Ergebnis ist in der ersten Zeile obiger Tabelle (rot markiert) eingetragen:
- Zum Taktzeitpunkt ν = 7 ergibt sich die gleiche Speicherbelegung wie zum Zeitpunkt ν = 0. Daraus folgt P = 7 und die Folge ist ab ν = 1: 〈zν〉 = 〈 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 ... 〉.
- Vorschlag 3 ist der richtige. Vorschlag 1 beschreibt die M-Sequenz des PN-Generators mit Länge L = 4 und Kennung (31); die Periodenlänge ist P = 15. Beim Vorschlag 2 ist P = 4.
- Der letzte Vorschlag schließlich hätte zwar die gewünschte Periodenlänge P = 7, aber aus der Modulo-2-Addition von S2 = 0 und S3 = 1 (für ν = 0) folgt zum nächsten Zeitpunkt (ν = 1) zwingend: S1 = 1. Diese Eigenschaft zeigt die Folge 4 nicht.
- 3. Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist L (nämlich dann, wenn in allen L Speicherzellen eine Eins steht). Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind. Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
- Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt P = 2. Bei einer M-Sequenz gilt dagegen P = 2L – 1. Für keinen Wert von L ist P = 2 möglich.
- Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4.
- 4. Auch bei der reziproken Anordnung muss die Periodenlänge P = 7 gelten, so dass der Vorschlag 1 (mit P = 15) ausscheidet. Der Vorschlag 3 ist nur eine um 2 Zeittakte verschobene Version der Ausgangsfolge von (15). Dagegen ist im zweiten Vorschlag die Inverse von .... 1 1 0 0 1 0 1 ... – also die Folge ... 1 0 1 0 0 1 1 ... – enthalten, wenn auch mit einem Phasenversatz.
- In der unteren Tabelle ist die Entstehung der PN–Folge beim reziproken Polynom GR(D) eingetragen. Die Tabelle bestätigt die Richtigkeit von Lösungsvorschlag 2.
