Aufgabe 2.4Z: Kennlinienvermessung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Nichtlineare Verzerrungen }} right| :Von einem nichtlinearen System i…“)
 
K (Markus verschob die Seite Zusatzaufgaben:2.4 Kennlinienvermessung nach 2.4Z Kennlinienvermessung, ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen)
(kein Unterschied)

Version vom 7. Oktober 2016, 12:57 Uhr

P ID898 LZI Z 2 4.png
Von einem nichtlinearen System ist bekannt, dass die Kennlinie durch folgende Gleichung dargestellt werden kann:
$$y(t) = c_1 \cdot x(t) + c_2 \cdot x^2(t).$$
Da die Verzerrungen nichtlinear sind, ist kein Frequenzgang H(f) angebbar.
Zur Bestimmung des dimensionslosen Koeffizienten c1 sowie des quadratischen Koeffizienten c2 werden nun verschiedene Rechteckimpulse x(t) – gekennzeichnet durch ihre Amplituden Ax und Breiten Tx – an den Eingang gelegt und jeweils die Impulsamplitude Ay am Ausgang gemessen. Nach drei Versuchen ergeben sich folgende Werte:
  • Ax = 1 V, Tx = 8 ms:   Ay = 0.55 V,
  • Ax = 2 V, Tx = 4 ms:   Ay = 1.20 V,
  • Ax = 3 V, Tx = 2 ms:   Ay = 1.95 V.
Bei den Teilaufgaben 3) und 4) sei das Eingangssignal x(t) eine harmonische Schwingung, da nur für eine solche ein Klirrfaktor angebbar ist. Dagegen wird für die Teilaufgabe e) ein Dreieckimpuls
$$x(t) = A_x \cdot \left[ 1 -\frac{|t|}{T_x}\right] $$
mit der Amplitude Ax = 3 V und der einseitigen Impulsdauer Tx = 2 ms betrachtet. Im Fragenkatalog werden folgende Abkürzungen benutzt:
$$y_1(t) = c_1 \cdot x(t), \hspace{0.5cm} y_2(t) = c_2 \cdot x^2(t).$$
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.2.


Fragebogen

1

Welche Aussagen treffen für den Ausgangsimpuls y(t) zu, wenn am Eingang ein Rechteckimpuls x(t) mit Amplitude Ax und Dauer Tx anliegt?

Der Ausgangsimpuls y(t) ist dreieckförmig.
Die Amplituden am Eingang und Ausgang sind gleich (Ay = Ax).
Die Impulsdauer wird durch das System nicht verändert (Ty = Tx).

2

Berechnen Sie die beiden Koeffizienten der Taylorreihe.

$c_1$ =

$c_2$ =

$1/v$

3

Welcher Klirrfaktor wird mit dem Testsignal x(t) = 1 V · cos(ω0t) gemessen?

$A_x = 1 V:\ \ K$ =

%

4

Welcher Klirrfaktor wird mit x(t) = 3 V · cos(ω0t) gemessen?

$A_x = 3 V:\ \ K$ =

%

5

Welcher Ausgangsimpuls y(t) ergibt sich bei dreieckförmigem Eingangsimpuls? Wie lauten die Signalwerte bei t = 0 und t = Tx/2?

$y(t = 0)$ =

$V$
$y(t = T_x/2)$ =

$V$


Musterlösung

1.  Ist der Eingangsimpuls x(t) rechteckförmig, so ist auch x2(t) ein Rechteck mit Höhe Ax2 im Bereich von 0 bis Tx und außerhalb 0. Auch das gesamte Ausgangssignal y(t) ist somit rechteckförmig mit der Amplitude
$$A_y= c_1 \cdot A_x + c_2 \cdot A_x^2 .$$
Für die Impulsdauer gilt Ty = Tx. Richtig ist also nur der letzte Lösungsvorschlag.
2.  Mit den beiden ersten Parametersätzen kann folgendes lineares Gleichungssystem angegeben werden:
$$c_1 \cdot 1\,{\rm V} + c_2 \cdot (1\,{\rm V})^2 = 0.55\,{\rm V},\\ c_1 \cdot 2\,{\rm V} + c_2 \cdot (2\,{\rm V})^2 = 1.20\,{\rm V}.\hspace{0.05cm}$$
Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit –2 und Addition der beiden Gleichungen erhält man:
$$c_2 \cdot 2\,{\rm V}^2 = 0.1\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} c_2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.05\,{1/\rm V}}.$$
Der Linearkoeffizient ist somit c1 = 0.5. Der dritte Parametersatz kann genutzt werden, um das Ergebnis zu kontrollieren:
$$c_1 \cdot 3\,{\rm V} + c_2 \cdot (3\,{\rm V})^2 = 0.5 \cdot 3\,{\rm V}+ 0.05 \frac{1}{\rm V}\cdot 9\,{\rm V}^2 = 1.95\,{\rm V}.$$
3.  Die Angabe eines Klirrfaktors bedingt die Verwendung einer harmonischen Schwingung am Eingang. Ist X+(f) = 1V · δ(ff0), so lautet das Spektrum des analytischen Signals am Ausgang:
$$ Y_{+}(f)=\frac{c_2}{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f) + c_1\cdot A_x \cdot \delta(f- f_0)+\frac{c_2}{2}\cdot A_x^2 \cdot \delta(f- 2 f_0). $$
Die Diracfunktion bei f = 0 folgt aus der trigonometrischen Umformung cos2(α) = 1/2 + 1/2 · cos(α). Mit A1 = c1 · Ax = 0.5 V und A2 = (c2/2) · Ax2 = 0.025 V ergibt sich somit für den Klirrfaktor:
$$K= \frac{A_2}{A_1}= \frac{c_2/2 \cdot A_x}{c_1 }= \frac{0.025}{0.5} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \%}.$$
4.  Entsprechend der Musterlösung zu c) ist K proportional zu Ax. Deshalb erhält man nun K = 15%.
5.  Nun lautet das Ausgangssignal:
$$y(t)= c_1\cdot A_x \cdot \left( 1 - \frac{|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}{T_x}\right) +\hspace{0.1cm} {c_2}\cdot A_x^2 \cdot \left( 1 - \frac{|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}{T_x}\right)^2.$$
Zum Zeitpunkt t = 0 bzw. t = Tx/2 treten folgende Werte auf:
$$y(t=0) = c_1\cdot A_x + {c_2}\cdot A_x^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.95\,{\rm V}}\\ y(t=T_x/2) = c_1\cdot A_x \cdot \frac{1}{2} + \hspace{0.1cm}{c_2}\cdot A_x^2 \cdot \frac{1}{4}= 0.75\,{\rm V}+ 0.1125\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8625\,{\rm V}}.$$