Applets:WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen (Applet): Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|verteilungen}}  
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{{LntAppletLinkDeEn|wdf-vtf|wdf-vtf_en}}
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==Programmbeschreibung==
 
==Programmbeschreibung==
 
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'''WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen'''
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Das Applet stellt die Beschreibungsformen zweier wertkoninuierlicher Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y\hspace{-0.1cm}$&nbsp; vergleichend gegenüber, wobei für die rote Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und die blaue Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; jeweils folgende Grundformen zur Auswahl stehen:
Das Applet verdeutlicht die Eigenschaften zweidimensionaler Gaußscher Zufallsgrößen&nbsp; $XY\hspace{-0.1cm}$, gekennzeichnet durch die Standardabweichungen (Streuungen)&nbsp; $\sigma_X$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; ihrer beiden Komponenten sowie den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho_{XY}$&nbsp;zwischen diesen. Die Komponenten werden als mittelwertfrei vorausgesetzt:&nbsp; $m_X = m_Y = 0$.
 
  
Das Applet zeigt
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* Gaußverteilung, Gleichverteilung, Dreieckverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, Riceverteilung, Weibullverteilung, Wigner&ndash;Halbkreisverteilung, Wigner&ndash;Parabelverteilung, Cauchyverteilung.
* die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; $f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; in dreidimensionaler Darstellung sowie in Form von Höhenlinien,
 
* die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; und &nbsp; $f_{Y}(y)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 1D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDFs$,  
 
* die zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; $F_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y)$&nbsp; als 3D-Plot.
 
  
  
Das Applet verwendet das Framework &nbsp;[https://en.wikipedia.org/wiki/Plotly Plot.ly]
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Die folgenden Angaben beziehen sich auf die Zufallsgrößen&nbsp; $X$. Graphisch dargestellt werden
 
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* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{X}(x)$&nbsp; (oben) und
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* die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{X}(x)$&nbsp; (unten).
  
  
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Zusätzlich werden noch einige integrale Kenngrößen ausgegeben, nämlich
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*der lineare Mittelwert&nbsp; $m_X = {\rm E}\big[X \big]$,
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*der quadratische Mittelwert&nbsp; $P_X ={\rm E}\big[X^2  \big] $,
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*die Varianz&nbsp; $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$,
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*die Standardabweichung (oder Streuung)&nbsp; $\sigma_X$,
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*die Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X$,
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*die Kurtosis&nbsp; $K_X$.
  
[[Datei: P_ID41__Sto_T_3_1_S1_neu.png  |right|frame| Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals]]
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{{GraueBox|TEXT= 
 
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße $x$ aufgefasst werden kann.
 
  
*Aus der rechts dargestellten ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' (WDF) erkennt man, dass bei diesem Beispielsignal Momentanwerte um den Mittelwert $m_1$ am häufigsten auftreten.
 
*Da zwischen den Abtastwerten $x_ν$ keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als ''„Weißes Rauschen”.''}}
 
 
 
==Definition und Eigenschaften der dargestellten Beschreibungsgrößen==
 
==Definition und Eigenschaften der dargestellten Beschreibungsgrößen==
 
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In diesem Applet betrachten wir ausschließlich ''(wert&ndash;)kontinuierliche Zufallsgrößen'', also solche, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind. Zumindest in gewissen Intervallen ... '''???'''
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In diesem Applet betrachten wir ausschließlich ''(wert&ndash;)kontinuierliche Zufallsgrößen'', also solche, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind.  
Alle Beispiele Gauß
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*Der Wertebereich dieser Zufallsgrößen ist somit im allgemeinen der der reellen Zahlen&nbsp; $(-\infty \le X \le +\infty)$.  
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*Es ist aber möglich, dass der Wertebereich auf ein Intervall begrenzt ist:&nbsp; $x_{\rm min} \le X \le +x_{\rm max}$.
 
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===Erwartungswerte und Momente===
 
===Erwartungswerte und Momente===
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere  Informationen liefern die so genannten&nbsp; ''Erwartungswerte''&nbsp; und&nbsp; ''Momente.''  
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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere  Informationen in Form einzelner Zahlenwerte liefern die so genannten&nbsp; ''Erwartungswerte''&nbsp; und&nbsp; ''Momente.''  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
{{BlaueBox|TEXT=   
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Erwartungswert'''&nbsp; bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion&nbsp; $g(x)$&nbsp; kann mit der WDF&nbsp; $f_{\rm X}(x)$&nbsp; in folgender Weise berechnet werden:
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Der&nbsp; '''Erwartungswert'''&nbsp; bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion&nbsp; $g(x)$&nbsp; kann mit der WDF&nbsp; $f_{\rm X}(x)$&nbsp; in folgender Weise berechnet werden:
 
:$${\rm E}\big[g (X ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x) \,{\rm d}x.$$
 
:$${\rm E}\big[g (X ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x) \,{\rm d}x.$$
Setzt man in diese Gleichung für&nbsp; $g(X) = x^k$&nbsp; ein, so erhält man das&nbsp; '''Moment $k$-ter Ordnung''':  
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Setzt man in diese Gleichung für&nbsp; $g(x) = x^k$&nbsp; ein, so erhält man das&nbsp; '''Moment $k$-ter Ordnung''':  
 
:$$m_k = {\rm E}\big[X^k  \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{X} (x ) \, {\rm d}x.$$}}
 
:$$m_k = {\rm E}\big[X^k  \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{X} (x ) \, {\rm d}x.$$}}
  
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In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:  
 
In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:  
* $m_1$&nbsp; gibt den&nbsp; ''Gleichanteil''&nbsp; an,
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* $m_1$&nbsp; gibt den&nbsp; ''Gleichanteil''&nbsp; an;&nbsp; &nbsp; bezüglich der Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; schreiben wir im Folgenden auch&nbsp; $m_X$.
* $m_2$&nbsp; entspricht der&nbsp; (auf den Einheitswiderstand&nbsp; $1 \ Ω$&nbsp; bezogenen) ''Signalleistung''.  
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* $m_2$&nbsp; entspricht der&nbsp; (auf den Einheitswiderstand&nbsp; $1 \ Ω$&nbsp; bezogenen) ''Signalleistung''&nbsp; $P_X$.  
  
  
Bezeichnet&nbsp; $X$&nbsp; beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen&nbsp; $m_1$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}$&nbsp; und&nbsp; $m_2$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt”&nbsp; $\rm (W)$ angeben, so muss&nbsp; $m_2$&nbsp; noch durch den Widerstandswert&nbsp; $R$&nbsp; dividiert werden.  
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Bezeichnet&nbsp; $X$&nbsp; beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen&nbsp; $m_X$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}$&nbsp; und die Leistung&nbsp; $P_X$&nbsp; die Einheit&nbsp; ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt”&nbsp; $\rm (W)$ angeben, so muss&nbsp; $P_X$&nbsp; noch durch den Widerstandswert&nbsp; $R$&nbsp; dividiert werden.  
 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Als&nbsp; '''Kurtosis'''&nbsp; der betrachteten Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; bezeichnet man den Quotienten&nbsp; $K_X = \mu_4/σ_X^4$&nbsp; &nbsp; $(\mu_4:$&nbsp; Zentralmoment vierter Ordnung$)$.  
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Als&nbsp; '''Kurtosis'''&nbsp; der betrachteten Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; bezeichnet man den Quotienten&nbsp; $K_X = \mu_4/σ_X^4$&nbsp; &nbsp; $(\mu_4:$&nbsp; Zentralmoment vierter Ordnung$)$.  
 
*Bei einer gaußverteilten Zufallsgröße  ergibt sich hierfür immer der Wert&nbsp; $K_X = 3$.  
 
*Bei einer gaußverteilten Zufallsgröße  ergibt sich hierfür immer der Wert&nbsp; $K_X = 3$.  
*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist. }}
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*Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist oder zumindest durch eine Gaußverteilung approximiert werden kann. }}
  
  
 
==Zusammenstellung einiger wertkontinuierlicher Zufallsgrößen==
 
==Zusammenstellung einiger wertkontinuierlicher Zufallsgrößen==
 
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Das Applet berücksichtigt folgende Verteilungen:&nbsp; Gleichverteilung, Gaußverteilung, ...
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Das Applet berücksichtigt folgende Verteilungen:&nbsp;
===Gaußverteilte Zufallsgrößen===
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:Gaußverteilung, Gleichverteilung, Dreieckverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, <br>Riceverteilung,  Weibullverteilung, Wigner&ndash;Halbkreisverteilung, Wigner&ndash;Parabelverteilung, Cauchyverteilung.  
  
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Einige von diesen sollen hier detailliert beschrieben werden.
  
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===Gaußverteilte Zufallsgrößen===
  
[[Datei:P_ID65__Sto_T_3_5_S2_neu.png |right|frame| WDF und VTF einer gaußverteilten Zufallsgröße]]
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[[Datei:Gauss_WDF_VTF.png |right|frame|Gaußsche Zufallsgröße:&nbsp; WDF und VTF]]
'''(1)&nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''
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'''(1)&nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''' &nbsp; $($achsensymmetrisch um&nbsp; $m_X)$
 
:$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$
 
:$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$
 
WDF&ndash;Parameter:&nbsp;   
 
WDF&ndash;Parameter:&nbsp;   
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'''(3)&nbsp; &nbsp; Zentralmomente'''  
 
'''(3)&nbsp; &nbsp; Zentralmomente'''  
:$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \  3\cdot 1\cdot\sigma_X^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.1cm}\it k\hspace{0.1cm}\rm gerade).$$
+
:$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \  3\cdot 1\cdot\sigma_X^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.2cm}\it k\hspace{0.2cm}\rm gerade).$$
*Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X = 0$, da &nbsp; $\mu_3 = 0$&nbsp; $($WDF symmetrisch um&nbsp; $m_X)$,
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*Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X = 0$,&nbsp; da&nbsp; $\mu_3 = 0$&nbsp; $($WDF ist symmetrisch um&nbsp; $m_X)$.
*Kurtosis&nbsp; $K_X = 3$, da &nbsp; $\mu_4 = 3 \cdot σ_X^4$&nbsp; &rArr; &nbsp; $K_X = 3$&nbsp; ergibt sich nur für die Gauß&ndash;WDF.
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*Kurtosis&nbsp; $K_X = 3$,&nbsp; da&nbsp; $\mu_4 = 3 \cdot \sigma_X^2$&nbsp; &rArr; &nbsp; $K_X = 3$&nbsp; ergibt sich nur für die Gauß&ndash;WDF.
  
  
 
'''(4)&nbsp; &nbsp; Weitere Bemerkungen'''
 
'''(4)&nbsp; &nbsp; Weitere Bemerkungen'''
*Die Namensgebung geht dabei auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß zurück.
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*Die Namensgebung geht auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß zurück.
 
*Ist&nbsp; $m_X = 0$&nbsp; und&nbsp; $σ_X = 1$, so spricht man oft auch von der&nbsp; ''Normalverteilung''.   
 
*Ist&nbsp; $m_X = 0$&nbsp; und&nbsp; $σ_X = 1$, so spricht man oft auch von der&nbsp; ''Normalverteilung''.   
  
*Die Streuung kann aus der glockenförmigen WDF $f_{X}(x)$ auch grafisch ermittelt werden&nbsp; (Abstand von Maximalwert und Wendepunkt).  
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*Die Streuung kann aus der glockenförmigen WDF $f_{X}(x)$ auch grafisch ermittelt werden&nbsp; (als Abstand von Maximalwert und Wendepunkt).  
*Zufallsgrößen mit Gaußscher WDF sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen;&nbsp; auch für die Nachrichtentechnik von großer Bedeutung.  
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*Zufallsgrößen mit Gaußscher WDF sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen und auch für die Nachrichtentechnik von großer Bedeutung.  
*Die Summe vieler kleiner und voneinander unabhängigen Komponenten &nbsp; &rArr; &nbsp; Zentraler Grenzwertsatz der Statistik &nbsp; &rArr; &nbsp; Grundlage für Rauschprozesse.  
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*Die Summe vieler kleiner und unabhängiger Komponenten führt stets zur Gauß&ndash;WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; Zentraler Grenzwertsatz der Statistik &nbsp; &rArr; &nbsp; Grundlage für Rauschprozesse.  
*Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.
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*Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.
  
  
[[Datei:P_ID68__Sto_T_3_5_S1_neu.png |right|frame|Gaußverteiltes und gleichverteiltes Zufallssignal]]
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[[Datei:Gauss_Signal.png|right|frame| Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals]]
 
{{GraueBox|TEXT=   
 
{{GraueBox|TEXT=   
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;  
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals&nbsp; $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; aufgefasst werden kann. Aus der rechts dargestellten WDF erkennt man:
Die Grafik zeigt im Vergleich
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* Es liegt eine Gaußsche Zufallsgröße vor.
*links ein Gaußsches Zufallssignal $x_1(t)$ und
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*Momentanwerte um den Mittelwert&nbsp; $m_X$&nbsp; treten am häufigsten auf.
*rechts ein gleichverteiltes Signal $x_2(t)$ mit
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*Wenn zwischen den Abtastwerten&nbsp; $x_ν$&nbsp; der Folge keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als ''„Weißes Rauschen”.''}} 
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gleichem Mittelwert $m_1$ und gleicher Streuung $σ$.
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===Gleichverteilte Zufallsgrößen===
  
Man erkennt, dass bei der Gaußverteilung im Gegensatz zur Gleichverteilung  
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[[Datei:Rechteck_WDF_VTF.png|right|frame|Gleichverteilung:&nbsp; WDF und VTF]]
*beliebig große und beliebig kleine Amplitudenwerte auftreten können,
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'''(1)&nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''
*auch wenn diese unwahrscheinlich sind im Vergleich zum mittleren Amplitudenbereich.}}
 
  
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*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)&nbsp;  $f_{X}(x)$&nbsp; ist im Bereich von&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; bis&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; konstant  gleich &nbsp;$1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$&nbsp; und außerhalb Null.
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*An den Bereichsgrenzen ist für&nbsp;  $f_{X}(x)$&nbsp; jeweils nur der halbe Wert&nbsp; (Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert)&nbsp; zu setzen.
  
  
==Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunktion==
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'''(2)&nbsp; &nbsp; Verteilungsfunktion'''
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{{BlaueBox|TEXT=  
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*Die Verteilungsfunktion (VTF) steigt im Bereich von&nbsp; $x_{\rm min}$&nbsp; bis&nbsp; $x_{\rm max}$&nbsp; linear von Null auf&nbsp; $1$&nbsp; linear an.
$\text{Definition:}$&nbsp;  
+
 
Die '''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion''' (WDF) einer gaußverteilten Zufallsgröße lautet allgemein:
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'''(3)&nbsp; &nbsp; Momente und Zentralmomente'''  
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*Mittelwert und Streuung haben bei der Gleichverteilung die folgenden Werte:
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:$$m_X = \frac{\it x_ {\rm max} \rm + \it x_{\rm min}}{2},\hspace{0.5cm}
 +
\sigma_X^2 = \frac{(\it x_{\rm max} - \it x_{\rm min}\rm )^2}{12}.$$
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*Bei symmetrischer WDF &nbsp; &rArr; &nbsp; $x_{\rm min} = -x_{\rm max}$&nbsp; ist der Mittelwert&nbsp; $m_X = 0$&nbsp; und die Varianz&nbsp; $σ_X^2 = x_{\rm max}^2/3.$
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*Aufgrund der Symmetrie um den Mittelwert&nbsp; $m_X$&nbsp; ist die Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X = 0$.
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*Die Kurtosis ist mit &nbsp; $K_X = 1.8$&nbsp; deutlich kleiner als bei der Gaußverteilung, weil die WDF&ndash;Ausläufer fehlen.
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'''(4)&nbsp; &nbsp; Weitere Bemerkungen'''
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*Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei &nbsp;''Quadratur&ndash;Amplitudenmodulationsverfahren''&nbsp; (QAM) auftreten.
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*Die Bedeutung gleichverteilter Zufallsgrößen für die Informations&ndash; und Kommunikationstechnik liegt eher darin, dass diese WDF–Form aus Sicht der Informationstheorie unter der Nebenbedingung &bdquo;Spitzenwertbegrenzung&rdquo; ein Optimum bezüglich der differentiellen Entropie darstellt.
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*In der ''Bildverarbeitung & Bildcodierung'' wird häufig mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem ''natürlichen Bild'' und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist. 
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*Bei der Simulation nachrichtentechnischer Systeme verwendet man häufig auf der Gleichverteilung  basierende &bdquo;Pseudo–Zufallsgeneratoren&rdquo; (die relativ einfach zu realisieren sind), woraus sich andere Verteilungen&nbsp; (Gaußverteilung, Exponentialverteilung, etc.)&nbsp; leicht ableiten lassen.
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[[Datei:P_ID65__Sto_T_3_5_S2_neu.png |right|frame| WDF und VTF einer gaußverteilten Zufallsgröße]]
+
===Exponentialverteilte Zufallsgrößen===
$$\hspace{0.4cm}f_x(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma}\cdot {\rm e}^{-(x-m_1)^2 /(2\sigma^2) }.$$
 
Die Parameter einer solchen Gaußschen WDF sind
 
*$m_1$ (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
 
*$σ$ (Streuung bzw. Effektivwert).
 
  
  
Ist $m_1 = 0$ und $σ = 1$, so spricht man oft auch von der ''Normalverteilung''.  
+
'''(1)&nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''
}}
+
[[Datei:Exponential_WDF_VTF.png|right|frame|Exponentialverteilung:&nbsp; WDF und VTF]]
<br clear=all>
 
Aus der linken Darstellung der oberen Grafik geht hervor, dass die Streuung $σ$ als der Abstand von Maximalwert und Wendepunkt aus der glockenförmigen WDF $f_{x}(x)$ auch grafisch ermittelt werden kann.
 
  
Rechts ist die '''Verteilungsfunktion''' $F_{x}(r)$ der gaußverteilten Zufallsgröße dargestellt. Man erkennt:
+
Eine exponentialverteilte Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; kann nur nicht&ndash;negative Werte annehmen. Für&nbsp; $x>0$&nbsp; hat die WDF den folgenden Verlauf hat:  
*Die VTF ist punktsymmetrisch um den Mittelwert $m_1$.
+
:$$f_X(x)=\it \lambda_X\cdot\rm e^{\it -\lambda_X \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$
*Durch Integration über die Gaußsche WDF erhält man:  
+
*Je größer der Verteilungsparameter&nbsp; $λ_X$&nbsp; ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
:$$F_x(r)= \phi(\frac{\it r-m_{\rm 1}}{\sigma})\hspace{0.5cm}\rm mit\hspace{0.5cm}\rm \phi (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\it \pi}}\int_{-\rm\infty}^{\it x} \rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,\, d \it u.$$
+
*Definitionsgemäß gilt&nbsp; $f_{X}(0) = λ_X/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert&nbsp; $(0)$&nbsp;  und rechtsseitigem Grenzwert &nbsp;$(\lambda_X)$.
  
Man bezeichnet $ϕ(x)$ als das '''Gaußsche Fehlerintegral'''.
 
*Dessen Funktionsverlauf ist analytisch nicht berechenbar und muss deshalb aus Tabellen entnommen werden.
 
*$ϕ(x)$ lässt sich durch eine Taylorreihe annähern oder aus der in Programmbibliotheken oft vorhandenen Funktion ${\rm erfc}(x)$ berechnen.
 
  
 +
'''(2)&nbsp; &nbsp; Verteilungsfunktion'''
  
Weitere Informationen zu den gaußverteilten Zufallsgrößen liefert das Lernvideo [[Der_AWGN-Kanal_(Lernvideo)|Der AWGN–Kanal]], insbesondere im zweiten Teil.
+
Durch Integration über die WDF erhält man für&nbsp; $x > 0$: 
 +
:$$F_{X}(x)=1-\rm e^{\it -\lambda_X\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$
 +
 +
'''(3)&nbsp; &nbsp; Momente und Zentralmomente'''
  
==Überschreitungswahrscheinlichkeit==
+
*Die&nbsp; ''Momente''&nbsp; der (einseitigen) Exponentialverteilung sind allgemein gleich:
<br>
+
:$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k}.$$
Bei der Untersuchung digitaler Übertragungssysteme muss oft die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass eine (mittelwertfreie) gaußverteilte Zufallsgröße $x$ mit der Varianz $σ^2$ einen vorgegebenen Wert $x_0$ überschreitet.  
+
*Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für Mittelwert und Streuung:
 +
:$$m_X = m_1=\frac{1}{\lambda_X},\hspace{0.6cm}\sigma_X^2={m_2-m_1^2}={\frac{2}{\lambda_X^2}-\frac{1}{\lambda_X^2}}=\frac{1}{\lambda_X^2}.$$  
 +
*Die WDF ist hier deutlich unsymmetrisch. Für die Charliersche Schiefe ergibt sich&nbsp; $S_X = 2$.
 +
*Die Kurtosis ist mit &nbsp; $K_X = 9$&nbsp; deutlich größer als bei der Gaußverteilung, weil die WDF&ndash;Ausläufer sehr viel weiter reichen.  
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Für diese '''Überschreitungswahrscheinlichkeit''' gilt:
 
:$${\rm Pr}(x > x_{\rm 0})={\rm Q}({x_{\rm 0} }/{\sigma}).$$
 
Hierbei bezeichnet ${\rm Q}(x) = 1 − {\rm ϕ}(x)$ die Komplementärfunktion zu $ {\rm ϕ}(x)$. Man nennt diese Funktion das '''Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral'''  und es gilt folgende Berechnungsvorschrift:
 
[[Datei:P_ID621__Sto_T_3_5_S3neu.png |right|frame| Komplementäres Gaußsches Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$]]
 
:$$\rm Q (\it x\rm ) =  \rm 1- \phi (\it x)$$
 
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rm Q (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} }\int_{\it x}^{\rm +\infty}\hspace{-0.4cm}\rm e^{\it - u^{\rm 2}/\hspace{0.05cm} \rm 2}\,d \it u .$$
 
  
${\rm Q}(x)$ ist wie ${\rm \phi}(x)$ nicht analytisch lösbar und muss aus Tabellen entnommen werden.
 
  
In Bibliotheken findet man oft die Funktion ${\rm erfc}(x)$, die mit ${\rm Q}(x)$ wie folgt zusammenhängt:
+
'''(4)&nbsp; &nbsp; Weitere Bemerkungen'''
:$${\rm Q}(x)={\rm 1}/\hspace{0.05cm}{\rm 2}\cdot \rm erfc({\it x}/{\sqrt{\rm 2} }).$$}}
 
  
 +
*Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen; in diesem Zusammenhang ist auch der Begriff &bdquo;Lebensdauerverteilung&rdquo; üblich.
 +
*Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit&nbsp; $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
 +
*Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der Laplaceverteilung in Zusammenhang steht.
  
Speziell für größere $x$–Werte (also für kleine Fehlerwahrscheinlichkeiten) liefern die nachfolgend angegebenen Schranken brauchbare Abschätzungen für das Komplementäre Gaußsche Fehlerintegral:
 
*Obere Schranke:
 
:$${\rm Q_o}(x  ) \ge {\rm Q}(x)=\frac{ 1}{\sqrt{2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{- x^{2}/\hspace{0.05cm}2}. $$
 
*Untere Schranke:
 
:$${\rm Q_u}(x  )\le {\rm Q}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot \it x}\cdot \rm e^{-\it x^{\rm 2}/\hspace{0.05cm}\rm 2} =\rm Q_0(\it x \rm ) \cdot \left(\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}\right) .$$
 
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
===Laplaceverteilte Zufallsgrößen===
$\text{Fazit:}$&nbsp;
 
Das Grafik zeigt die Q-Funktion in logarithmischer Darstellung für lineare (obere Achse) und logarithmische Abszissenwerte (untere Achse).
 
*Die obere Schranke (rote Kreise) ist ab ca. $x = 1$ brauchbar, die untere Schranke (grüne Rauten) ab $x ≈ 2$.
 
*Für $x ≥ 4$ sind beide Schranken innerhalb der Zeichengenauigkeit vom tatsächlichen Verlauf  ${\rm Q}(x)$ nicht mehr zu unterscheiden. }}
 
  
 +
[[Datei:Laplace_WDF_VTF.png|right|frame|Laplaceverteiung:&nbsp; WDF und VTF]]
 +
'''(1)&nbsp; &nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''
  
Das interaktive Applet [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] liefert die Zahlenwerte der Funktionen ${\rm Q}(x)$ und $1/2 \cdot {\rm erfc}(x)$ inklusive der hier angegebenen Schranken.
+
Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine &bdquo;zweiseitige Exponentialverteilung&rdquo;:
  
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:$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$
  
 +
* Der Maximalwert ist hier&nbsp; $\lambda_X/2$.
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*Die Tangente bei&nbsp; $x=0$&nbsp; schneidet die Abszisse wie bei der Exponentialverteilung bei&nbsp; $1/\lambda_X$.
  
Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; sind die Wahrscheinlichkeiten, dass diese ganz bestimmte Werte annimmt, identisch Null. Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die ''Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion'' – abgekürzt '''WDF''' – übergegangen werden.
 
  
 +
'''(2)&nbsp; &nbsp; Verteilungsfunktion'''
 +
 +
:$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi $$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}  F_{X}(x) =  0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.5cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$
  
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'''(3)&nbsp; &nbsp; Momente und Zentralmomente'''
  
Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist ''Probability Density Function'' (PDF). }}
+
* Für ungeradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets&nbsp; $m_k= 0$. Unter Anderem:&nbsp; Linearer Mittelwert&nbsp; $m_X =m_1 = 0$.
Wir betrachten zwei wertkontinuierliche Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y\hspace{-0.1cm}$, zwischen denen statistische Abhängigkeiten bestehen können. Zur Beschreibung der Wechselbeziehungen zwischen diesen Größen ist es zweckmäßig, die beiden Komponenten zu einer&nbsp; '''zweidimensionalen Zufallsgröße'''&nbsp; $XY =(X, Y)$&nbsp; zusammenzufassen. Dann gilt:
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
+
* Für geradzahliges&nbsp; $k$&nbsp; stimmen die Momente von Laplaceverteilung und Exponentialverteilung überein:&nbsp; $m_k = {k!}/{\lambda^k}$.
$\text{Definition:}$&nbsp;  
 
Die &nbsp;'''Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion'''&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF, &nbsp;englisch:&nbsp; ''Probability Density Function'', kurz:&nbsp;PDF) der zweidimensionalen Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; an der Stelle&nbsp; $(x, y)$:
 
:$$f_{XY}(x, \hspace{0.1cm}y) = \lim_{\left.{\Delta x\rightarrow 0 \atop {\Delta y\rightarrow 0} }\right.}\frac{ {\rm Pr}\big [ (x - {\rm \Delta} x/{\rm 2} \le X  \le x  + {\rm \Delta} x/{\rm 2}) \cap (y - {\rm \Delta} y/{\rm 2} \le Y \le y +{\rm \Delta}y/{\rm 2}) \big]  }{ {\rm \Delta} \ x\cdot{\rm \Delta} y}.$$
 
  
*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; ist eine Erweiterung der eindimensionalen WDF.
+
* Für die Varianz&nbsp; $(=$ Zentralmoment zweiter Ordnung $=$ Moment zweiter Ordnung$)$&nbsp; gilt:&nbsp; $\sigma_X^2 = {2}/{\lambda_X^2}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung.
*$$&nbsp; kennzeichnet die logische UND-Verknüpfung.
 
*$X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ bezeichnen die beiden Zufallsgrößen, und&nbsp; $x \in X$&nbsp; sowie &nbsp; $y \in Y$ geben  Realisierungen hiervon an.
 
*Die für dieses Applet verwendete Nomenklatur unterscheidet sich also geringfügig gegenüber der Beschreibung im [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Theorieteil]].}}
 
  
 +
*Für die Charliersche Schiefe ergibt sich hier aufgrund der symmetrischen WDF &nbsp; $S_X = 0$. 
  
Anhand dieser 2D–WDF&nbsp; $f_{XY}(x, y)$&nbsp; werden auch statistische Abhängigkeiten innerhalb der zweidimensionalen Zufallsgröße &nbsp;$XY$&nbsp; vollständig erfasst im Gegensatz zu den beiden eindimensionalen Dichtefunktionen &nbsp; ⇒ &nbsp; '''Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen''':
+
*Die Kurtosis ist mit&nbsp; $K_X = 6$&nbsp; deutlich größer als bei der Gaußverteilung, aber kleiner als bei der Exponentialverteilung.  
:$$f_{X}(x) = \int _{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}y  ,$$
 
:$$f_{Y}(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x  .$$
 
  
Diese beiden Randdichtefunktionen&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_Y(y)$
 
*liefern lediglich statistische Aussagen über die Einzelkomponenten&nbsp; $X$&nbsp; bzw.&nbsp; $Y$,
 
*nicht jedoch über die Bindungen zwischen diesen.
 
  
  
Als quantitatives Maß für die linearen statistischen Bindungen &nbsp; &rArr; &nbsp; '''Korrelation'''&nbsp; verwendet man
+
'''(4)&nbsp; &nbsp; Weitere Bemerkungen'''
* die&nbsp; '''Kovarianz'''&nbsp; $\mu_{XY}$, die bei mittelwertfreien Komponenten gleich dem gemeinsamen linearen Moment erster Ordnung ist:
 
:$$\mu_{XY} = {\rm E}\big[X \cdot Y\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} X \cdot Y \cdot f_{XY}(x,y) \,{\rm d}x \,  {\rm d}y ,$$ 
 
*den&nbsp; '''Korrelationskoeffizienten'''&nbsp; nach Normierung auf die beiden  Effektivwerte &nbsp;$σ_X$&nbsp; und&nbsp;$σ_Y$&nbsp; der beiden Komponenten:
 
:$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} }{\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
+
*Die Momentanwerte von Sprach&ndash; und Musiksignalen sind mit guter Näherung laplaceverteilt. <br>Siehe Lernvideo&nbsp; [[Wahrscheinlichkeit_und_WDF_(Lernvideo)|Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]],&nbsp; Teil 2.
$\text{Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:}$&nbsp;
+
*Durch eine zusätzliche Diracfunktion bei&nbsp; $x=0$&nbsp; lassen sich auch Sprachpausen modellieren.
*Aufgrund der Normierung gilt stets&nbsp; $-1 \le  ρ_{XY}  ≤ +1$.  
 
*Sind die beiden Zufallsgrößen &nbsp;$X$&nbsp; und &nbsp;$Y$ unkorreliert, so ist &nbsp;$ρ_{XY} = 0$.  
 
*Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen &nbsp;$X$&nbsp; und &nbsp;$Y$ ist &nbsp;$ρ_{XY}= ±1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; vollständige Korrelation.
 
*Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem &nbsp;$X$–Wert im statistischen Mittel auch &nbsp;$Y$&nbsp; größer ist als bei kleinerem &nbsp;$X$.
 
*Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass &nbsp;$Y$&nbsp; mit steigendem &nbsp;$X$&nbsp; im Mittel kleiner wird.}} 
 
 
<br><br>
 
<br><br>
 +
===Kurzbeschreibung weiterer Verteilungen===
 +
<br>
 +
$\text{(A)  Rayleighverteilung}$ &nbsp; &nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh–Fadings|Genauere Beschreibung]]
  
 +
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 +
:$$f_X(x) =
 +
\left\{ \begin{array}{c}  x/\lambda_X^2 \cdot {\rm e}^{- x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \lambda_X^2)} \\
 +
0  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
 +
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} x\hspace{-0.05cm} \ge \hspace{-0.05cm}0,
 +
\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} x \hspace{-0.05cm}<\hspace{-0.05cm} 0. \\ \end{array}.$$
 +
*Anwendung: &nbsp; &nbsp; Modellierung des Mobilfunkkanals (nichtfrequenzselektives Fading,  nur Dämpfungs&ndash;, Beugungs&ndash; und Brechungseffekte, keine Sichtverbindung).
  
===Höhenlinien bei unkorrelierten Zufallsgrößen===
 
  
[[Datei:Sto_App_Bild2.png |frame| Höhenlinien der 2D-WDF bei unkorrelierten Größen | rechts]]
 
Aus der Bedingungsgleichung&nbsp; $f_{XY}(x, y) = {\rm const.}$&nbsp; können die Höhenlinien der WDF berechnet werden.
 
  
Sind die Komponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$ unkorreliert&nbsp; $(ρ_{XY} = 0)$, so erhält man als Gleichung für die Höhenlinien:
+
$\text{(B)  Riceverteilung}$ &nbsp; &nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente|Genauere Beschreibung]]
 +
 
 +
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $(\rm I_0$&nbsp; bezeichnet die modifizierte Bessel&ndash;Funktion nullter Ordnung$)$:
 +
:$$f_X(x) = \frac{x}{\lambda_X^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{x^2 + C_X^2}{2\cdot \lambda_X^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{x \cdot C_X}{\lambda_X^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) =
 +
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
*Anwendung: &nbsp; &nbsp; Modellierung des Mobilfunkkanals (nichtfrequenzselektives Fading,  nur Dämpfungs&ndash;, Beugungs&ndash; und Brechungseffekte, mit Sichtverbindung).
 +
 
  
:$$\frac{x^{\rm 2}}{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2}}{\sigma_{Y}^{\rm 2}} =\rm const.$$
 
Die Höhenlinien beschreiben in diesem Fall folgende Figuren:
 
*'''Kreise'''&nbsp; (falls&nbsp; $σ_X = σ_Y$, &nbsp; grüne Kurve), oder
 
*'''Ellipsen'''&nbsp; (für&nbsp; $σ_X ≠ σ_Y$, &nbsp; blaue Kurve) in Ausrichtung der beiden Achsen.
 
<br clear=all>
 
===Korrelationsgerade===
 
  
Als &nbsp;'''Korrelationsgerade'''&nbsp; bezeichnet man  die Gerade &nbsp;$y = K(x)$&nbsp; in der &nbsp;$(x, y)$&ndash;Ebene durch den „Mittelpunkt” $(m_X, m_Y)$. Diese besitzt folgende Eigenschaften: 
+
$\text{(C) Weibullverteilung}$ &nbsp; &nbsp; [[https://de.wikipedia.org/wiki/Weibull-Verteilung Genauere Beschreibung]]
[[Datei:Sto_App_Bild1a.png|frame| Gaußsche 2D-WDF (Approximation mit $N$ Messpunkten) und <br>Korrelationsgerade &nbsp;$y = K(x)$]]
 
  
*Die mittlere quadratische Abweichung von dieser Geraden – in &nbsp;$y$&ndash;Richtung betrachtet und über alle &nbsp;$N$&nbsp; Messpunkte gemittelt – ist minimal:  
+
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  
:$$\overline{\varepsilon_y^{\rm 2} }=\frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{\nu=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_\nu - K(x_{\nu})\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$
+
:$$f_X(x) = \lambda_X \cdot k_X \cdot (\lambda_X \cdot x)^{k_X-1} \cdot {\rm e}^{(\lambda_X \cdot x)^{k_X}}
*Die Korrelationsgerade kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden. Die Geradengleichung lautet im allgemeinen Fall:
+
\hspace{0.05cm}.$$
:$$y=K(x)=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}\cdot(x - m_X)+m_Y.$$
 
  
*Der Winkel, den die Korrelationsgerade zur &nbsp;$x$&ndash;Achse einnimmt, beträgt:
+
*Anwendung: &nbsp; &nbsp; WDF mit einstellbarer Schiefe&nbsp;$S_X$; Exponentialverteilung&nbsp; $(k_X = 1)$&nbsp; und Rayleighverteilung&nbsp; $(k_X = 2)$&nbsp; als Sonderfälle enthalten.
:$$\theta={\rm arctan}(\frac{\sigma_{Y} }{\sigma_{X} }\cdot \rho_{XY}).$$
 
  
  
  
===Höhenlinien bei korrelierten Zufallsgrößen===
+
$\text{(D)  Wigner-Halbkreisverteilung}$ &nbsp; &nbsp; [[https://de.qwertyu.wiki/wiki/Wigner_semicircle_distribution Genauere Beschreibung]]
  
Bei korrelierten Komponenten&nbsp; $(ρ_{XY} 0)$&nbsp; sind die Höhenlinien der WDF (fast) immer elliptisch, also auch für den Sonderfall&nbsp; $σ_X = σ_Y$.  
+
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 +
:$$f_X(x) =
 +
\left\{ \begin{array}{c}  2/(\pi \cdot {R_X}^2) \cdot \sqrt{{R_X}^2 - (x- m_X)^2} \\
 +
0  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
 +
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x- m_X|\hspace{-0.05cm} \le \hspace{-0.05cm}R_X,
 +
\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x- m_X| \hspace{-0.05cm} > \hspace{-0.05cm} R_X \\ \end{array}.$$
 +
*Anwendung: &nbsp; &nbsp; WDF der Tschebyscheff&ndash;Knoten &nbsp; &rArr; &nbsp; Nullstellen der Tschebyscheff&ndash;Polynome aus der Numerik.
  
<u>Ausnahme:</u>&nbsp; $ρ_{XY}=\pm 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Diracwand; siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Gaußsche_2D-WDF|Aufgabe 4.4]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;, Teilaufgabe &nbsp;'''(5)'''.
 
[[Datei:Sto_App_Bild3.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-WDF bei korrelierten Größen]]
 
Hier lautet die Bestimmungsgleichung der WDF-Höhenlinien:
 
  
:$$f_{XY}(x, y) = {\rm const.} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \frac{x^{\rm 2} }{\sigma_{X}^{\rm 2}}+\frac{y^{\rm 2} }{\sigma_{Y}^{\rm 2} }-{\rm 2}\cdot\rho_{XY}\cdot\frac{x\cdot y}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}={\rm const.}$$
 
Die Grafik zeigt in hellerem Blau für zwei unterschiedliche Parametersätze je eine Höhenlinie.
 
  
*Die Ellipsenhauptachse ist dunkelblau gestrichelt.
+
$\text{(E) Wigner-Parabelverteilung}$  
*Die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen#Korrelationsgerade|Korrelationsgerade]]&nbsp; $K(x)$&nbsp; ist durchgehend rot eingezeichnet.
 
  
 +
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 +
:$$f_X(x) =
 +
\left\{ \begin{array}{c}  3/(4 \cdot {R_X}^3) \cdot \big ({R_X}^2 - (x- m_X)^2\big ) \\
 +
0  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
 +
\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x|\hspace{-0.05cm} \le \hspace{-0.05cm}R_X,
 +
\\  {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x| \hspace{-0.05cm} > \hspace{-0.05cm} R_X \\ \end{array}.$$
 +
*Anwendung: &nbsp; &nbsp; WDF der Eigenwerte von symmetrischen Zufallsmatrizen, deren Dimension gegen unendlich geht.
  
Anhand dieser Darstellung sind folgende Aussagen möglich:
 
*Die Ellipsenform hängt außer vom Korrelationskoeffizienten&nbsp; $ρ_{XY}$&nbsp; auch vom Verhältnis der beiden Streuungen&nbsp; $σ_X$&nbsp; und&nbsp; $σ_Y$&nbsp; ab. 
 
*Der Neigungswinkel&nbsp; $α$&nbsp; der Ellipsenhauptachse (gestrichelte Gerade) gegenüber der&nbsp; $x$&ndash;Achse hängt ebenfalls von&nbsp; $σ_X$,&nbsp; $σ_Y$&nbsp; und&nbsp; $ρ_{XY}$&nbsp; ab:
 
:$$\alpha = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \big ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2} \big ).$$
 
*Die (rote) Korrelationsgerade&nbsp; $y = K(x)$&nbsp; einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der (blau gestrichelten) Ellipsenhauptachse.
 
* $K(x)$&nbsp; kann aus dem Schnittpunkt der Höhenlinien und ihrer vertikalen Tangenten geometrisch konstruiert werden, wie in der Skizze in grüner Farbe angedeutet. 
 
<br><br>
 
===Zweidimensionale Verteilungsfunktion &nbsp; &rArr; &nbsp; 2D&ndash;VTF===
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Definition:}$&nbsp; Die&nbsp; '''2D-Verteilungsfunktion'''&nbsp; ist ebenso wie die 2D-WDF lediglich eine sinnvolle Erweiterung der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion_(VTF)#VTF_bei_kontinuierlichen_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen_.281.29|eindimensionalen Verteilungsfunktion]]&nbsp;  (VTF):
 
:$$F_{XY}(x,y) = {\rm Pr}\big [(X \le x) \cap (Y \le y) \big ]  .$$}}
 
  
 +
$\text{(F)  Cauchyverteilung}$ &nbsp; &nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Weitere_Verteilungen#Cauchyverteilung|Genauere Beschreibung]]
  
Es ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der &bdquo;1D-VTF&rdquo; und der&bdquo; 2D-VTF&rdquo;:
+
*Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Verteilungsfunktion:  
*Der Funktionalzusammenhang zwischen &bdquo;2D&ndash;WDF&rdquo; und &bdquo;2D&ndash;VTF&rdquo; ist wie im eindimensionalen Fall durch die Integration gegeben, aber nun in zwei Dimensionen. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt:  
+
:$$f_{X}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda_X}{\lambda_X^2+x^2}, \hspace{2cm} F_{X}(x)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({x}/{\lambda_X}).$$
:$$F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f_{XY}(\xi,\eta) \,\,{\rm d}\xi \,\, {\rm d}\eta  .$$
+
*Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; für gerades&nbsp; $k$&nbsp; einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter&nbsp; $λ_X$.
*Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch partielle Differentiation nach&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; angeben:
+
*Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz:&nbsp; $\sigma_X^2 \to \infty$.  
:$$f_{XY}(x,y)=\frac{{\rm d}^{\rm 2} F_{XY}(\xi,\eta)}{{\rm d} \xi \,\, {\rm d} \eta}\Bigg|_{\left.{x=\xi \atop {y=\eta}}\right.}.$$
+
*Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades&nbsp; $k$&nbsp; alle Momente&nbsp; $m_k = 0$, wenn man wie im Programm vom &bdquo;Cauchy Principal Value&rdquo; ausgeht:&nbsp; $m_X = 0, \ S_X = 0$.
*Bezüglich der Verteilungsfunktion&nbsp; $F_{XY}(x, y)$&nbsp; gelten folgende Grenzwerte:
+
*Beispiel: &nbsp; &nbsp; Der Quotient zweier Gaußscher mittelwertfreier Zufallsgrößen ist cauchyverteilt. Für praktische Anwendungen hat die Cauchyverteilung weniger Bedeutung.
:$$F_{XY}(-\infty,\ -\infty) = 0,\hspace{0.5cm}F_{XY}(x,\ +\infty)=F_{X}(x ),\hspace{0.5cm}
 
F_{XY}(+\infty,\ y)=F_{Y}(y ) ,\hspace{0.5cm}F_{XY}(+\infty,\ +\infty) = 1.$$
 
*Im Grenzfall $($unendlich große&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y)$&nbsp; ergibt sich demnach für die &bdquo;2D-VTF&rdquo; der Wert&nbsp; $1$. Daraus erhält man die&nbsp; '''Normierungsbedingung'''&nbsp; für die 2D-Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 
:$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_{XY}(x,y) \,\,{\rm d}x \,\,{\rm d}y=1  .   $$
 
  
{{BlaueBox|TEXT= 
 
$\text{Fazit:}$&nbsp; Beachten Sie den signifikanten Unterschied zwischen eindimensionalen und zweidimensionalen Zufallsgrößen:
 
*Bei eindimensionalen Zufallsgrößen ergibt die Fläche unter der WDF stets den Wert $1$.
 
*Bei zweidimensionalen Zufallsgrößen ist das WDF-Volumen immer gleich $1$.}}
 
<br><br>
 
  
 
==Versuchsdurchführung==
 
==Versuchsdurchführung==
 
<br>
 
<br>
[[Datei:Aufgaben_2D-Gauss.png|right]]
+
*Wählen Sie zunächst die Nummer&nbsp; ($1$,&nbsp;$2$, ... )&nbsp; der zu bearbeitenden Aufgabe.&nbsp; Die Nummer&nbsp; $0$&nbsp; entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart.
 +
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.&nbsp; Die Parameterwerte sind angepasst.&nbsp; Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 +
*Im Folgenden steht&nbsp; $\text{Rot}$&nbsp; für die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $\text{Blau}$&nbsp; für&nbsp; $Y$.
  
*Wählen Sie zunächst die Nummer ('''1''', ...) der zu bearbeitenden Aufgabe.
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Musterlösung&rdquo;.
 
*Bei der Aufgabenbeschreibung verwenden wir &nbsp;$\rho$&nbsp; anstelle von &nbsp;$\rho_{XY}$.
 
*Für die &bdquo;1D-WDF&rdquo; gilt:&nbsp;  $f_{X}(x) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} \cdot {\rm e}^{-x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sigma_X^2)}$.
 
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(1)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Gaußverteilung}\ (m_X = 1, \ \sigma_X = 0.4)$&nbsp; und&nbsp;$\text{Blau: Gleichverteilung}\ (y_{\rm min} = -2, \ y_{\rm max} = +3)$. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm WDF$&ndash;Grafik.}}
  
Die Nummer '''0''' entspricht einem &bdquo;Reset&rdquo;:
+
::*&nbsp;$\text{Gaußverteilung}$:&nbsp; Das &nbsp;$\rm WDF$&ndash;Maximum ist gleich &nbsp;$f_{X}(x = m_X) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} = 0.9974 \approx 1$.  
*Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
+
::*&nbsp;$\text{Gleichverteilung}$:&nbsp; Alle &nbsp;$\rm WDF$&ndash;Werte sind im Bereich&nbsp; $-2 < y < +3$&nbsp; gleich&nbsp; $0.2$. An den Rändern gilt&nbsp; $f_Y(-2) =  f_Y(+3)= 0.1$&nbsp; (halber Wert).  
*Ausgabe eines &bdquo;Reset&ndash;Textes&rdquo; mit weiteren Erläuterungen zum Applet.
 
  
 +
{{BlaueBox|TEXT=
 +
'''(2)'''&nbsp; Gleiche Einstellung wie bei &nbsp;'''(1)'''. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(X = 0)$&nbsp; und&nbsp;  ${\rm Pr}(0.5 \le X \le 1.5)$&nbsp; sowie&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 0)$&nbsp; und&nbsp;  ${\rm Pr}(0.5 \le Y \le 1.5)$ .}}
  
 +
::*&nbsp;${\rm Pr}(X = 0)={\rm Pr}(Y = 0) \equiv 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Wahrscheinlichkeit einer wertdiskreten Zufallsgröße, dass diese exakt einen bestimmten Wert annimmt.
 +
::*&nbsp;Die beiden anderen Wahrscheinlichkeiten können durch Integration über die WDF im Bereich &nbsp;$+0.5\ \text{...} \ +\hspace{-0.1cm}1.5$&nbsp; ermittelt werden.
 +
::*&nbsp;Oder:&nbsp; ${\rm Pr}(0.5 \le X \le 1.5)= F_X(1.5) - F_X(0.5) = 0.8944-0.1056 = 0.7888$. Entsprechend:&nbsp; ${\rm Pr}(0.5 \le Y \le 1.5)= 0.7-0.5=0.2$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)'''&nbsp; Machen Sie sich anhand der Voreinstellung &nbsp;$(\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5, \ \rho = 0.7)$&nbsp; mit dem Programm vertraut. Interpretieren Sie die Grafiken für &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; und&nbsp; $\rm VTF$.}}
+
'''(3)'''&nbsp; Gleiche Einstellungen wie bisher. Wie muss die Streung&nbsp; $\sigma_X$&nbsp; verändert werden, damit bei gleichem Mittelwert&nbsp; $m_X$&nbsp; für den quadratische Mittelwert gilt:&nbsp; $P_X=2$&nbsp;?}}
  
::*&nbsp;$\rm WDF$&nbsp; ist ein Bergrücken mit dem Maximum bei&nbsp; $x = 0, \ y = 0$. Der Bergkamm ist leicht verdreht gegenüber der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
+
::*&nbsp;Nach dem Satz von Steiner gilt:&nbsp; $P_X=m_X^2 + \sigma_X^2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\sigma_X^2 = P_X-m_X^2 = 2 - 1^2 = 1 $ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\sigma_X = 1$.
::*&nbsp;$\rm VTF$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$\rm WDF$&nbsp; durch fortlaufende Integration in beide Richtungen. Das Maximum $($nahezu &nbsp;$1)$&nbsp; tritt bei &nbsp;$x=3, \ y=3$&nbsp; auf.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)'''&nbsp; Nun lautet die Einstellung &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y=1, \ \rho = 0$. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(0,\ 0)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(0,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
+
'''(4)'''&nbsp; Gleiche Ausgangslage wie bisher:&nbsp; Wie müssen die Parameter&nbsp; $y_{\rm min}$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm max}$&nbsp; der Gleichverteilung geändert werden, damit sich&nbsp; $m_Y = 0$&nbsp; und $\sigma_Y^2 = 0.75$ ergeben?}}
  
::*&nbsp;Das WDF&ndash;Maximum ist&nbsp; $f_{XY}(0,\ 0) = 1/(2\pi)= 0.1592$, wegen &nbsp;$\sigma_X= \sigma_Y = 1, \ \rho = 0$. Die Höhenlinien sind Kreise.
+
::*&nbsp;Ausgehend von der bisherigen Einstellung&nbsp; $(y_{\rm min} = -2, \ y_{\rm max} = +3)$&nbsp; verändern wir&nbsp; $y_{\rm max}$, bis sich&nbsp; $\sigma_Y^2 = 0.75$&nbsp; einstellt. &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp; $y_{\rm max} = 1$.
::*&nbsp;Für den VTF-Wert gilt:&nbsp; $F_{XY}(0,\ 0) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 0)] = 0.25$. Geringfügige Abweichung wegen numerischer Integration.
+
::*&nbsp;Die Breite des Rechtecks ist nun&nbsp; $3$. Den gewünschten Mittelwert &nbsp; $m_Y = 0$&nbsp; erreicht man durch eine Verschiebung:&nbsp; $y_{\rm min} = -1.5, \ y_{\rm max} = +1.5$.
 +
::*&nbsp;Sie könnten auch berücksichtigen, dass für eine mittelwertfreie Zufallsgröße&nbsp; $(y_{\rm min} = -y_{\rm max})$&nbsp; folgende Gleichung gilt: &nbsp; $\sigma_Y^2 = y_{\rm max}^2/3$.  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)'''&nbsp; Es gelten weiter die Einstellungen von '''(2)'''. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(0,\ 1)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(0,\ 1)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
+
'''(5)'''&nbsp; Bei welchen der einstellbaren Verteilungen ist die Charliersche Schiefe&nbsp; $S \ne 0$&nbsp;? }}
  
::*&nbsp;Es gilt&nbsp; $f_{XY}(0,\ 1) = f_{X}(0) \cdot f_{Y}(1) = [ \sqrt{1/(2\pi)}]  \cdot [\sqrt{1/(2\pi)} \cdot {\rm e}^{-0.5}] = 1/(2\pi) \cdot {\rm e}^{-0.5} = 0.0965$.
+
::*&nbsp;Die Charliersche Schiefe bezeichnet das auf&nbsp; $σ_X^3$&nbsp; bezogene dritte Zentralmoment:&nbsp; $S_X = \mu_3/σ_X^3$&nbsp; $($gültig für die Zufallsgröße&nbsp; $X)$.
::*&nbsp;Das Programm liefert&nbsp; $F_{XY}(0,\ 1) = [{\rm Pr}(X \le 0)] \cdot [{\rm Pr}(Y \le 1)] = 0.4187$, also einen größeren Wert als in '''(2)''', da weiter integriert wird.
+
::*&nbsp;Ist die WDF&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; um den Mittelwert&nbsp; $m_X$&nbsp; symmetrisch, dann ist die Kenngröße&nbsp; $S_X$&nbsp; stets Null.
 +
::*&nbsp;Exponentialverteilung:&nbsp; $S_X =2$;&nbsp; Rayleighverteilung:&nbsp; $S_X =0.631$&nbsp; $($jeweils unabhängig von&nbsp;$λ_X)$; &nbsp; Riceverteilung:&nbsp; $S_X >0$&nbsp; $($abhängig von&nbsp;$C_X, \ λ_X)$.
 +
::*&nbsp;Bei der Weibullverteilung kann die Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X$&nbsp; abhängig vom WDF&ndash;Parameter&nbsp; $k_X$&nbsp; Null, positiv oder negativ sein.
 +
::*&nbsp; Weibullverteilung, &nbsp;$\lambda_X=0.4$:&nbsp; Mit&nbsp; $k_X = 1.5$&nbsp; &rArr; &nbsp; WDF ist nach links gekrümmt&nbsp; $(S_X > 0)$; &nbsp; $k_X = 7$&nbsp; &rArr; &nbsp; WDF ist nach rechts gekrümmt&nbsp; $(S_X < 0)$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)'''&nbsp; Die Einstellungen bleiben erhalten. Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f_{XY}(1,\ 0)$&nbsp; und &nbsp;$F_{XY}(1,\ 0)$? Interpretieren Sie die Ergebnisse.}}
+
'''(6)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Gaußverteilung}\ (m_X = 1, \ \sigma_X = 0.4)$&nbsp; und&nbsp;$\text{Blau: Gaußverteilung}\ (m_X = 0, \ \sigma_X = 1)$&nbsp;. Wie groß ist jeweils die Kurtosis?}}
  
::*&nbsp;Aufgrund der Rotationssysmmetrie gleiche Ergebnisse wie in '''(3)'''.
+
::*&nbsp;Bei jeder &nbsp;$\text{Gaußverteilung}$&nbsp; hat die Kurtosis den gleichen Wert: &nbsp; $K_X = K_Y =3$. Man bezeichnet deshalb &nbsp;$K−3$&nbsp; als &bdquo;Exzess&rdquo;.
 +
::*Anhand dieser Kenngröße kann man überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße  durch eine Gaußverteilung approximiert werden kann.  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)'''&nbsp; Stimmt die Aussage:&nbsp;&bdquo;Elliptische Höhenlinien gibt es nur für &nbsp;$\rho \ne 0$&rdquo;. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; und $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; für &nbsp;$\sigma_X=1, \ \sigma_Y=0.5$&nbsp; und&nbsp; $\rho = 0$.}}
+
'''(7)'''&nbsp; Bei welchen Verteilungen ergibt sich beispielsweise ein deutlich kleinerer Kurtosiswert als &nbsp;$K=3$? Und bei welchen Verteilungen ein deutlich größerer?}}
  
::*&nbsp;Nein! Auch für&nbsp; $\ \rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien elliptisch (nicht kreisförmig), falls &nbsp;$\sigma_X \ne \sigma_Y$.
+
::*&nbsp;$K<3$&nbsp; ergibt sich immer dann, wenn die WDF&ndash;Werte stärker um den Mittelwert konzentriert sind als bei der Gaußverteilung.
::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; hat die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; die Form eines langgestreckten Bergkamms parallel zur&nbsp; $x$&ndash;Achse, für&nbsp;$\sigma_X \ll \sigma_Y$&nbsp; parallel zur&nbsp; $y$&ndash;Achse.
+
::*&nbsp;Dies trifft zum Beispiel für die Gleichverteilung &nbsp;$(K=1.8)$&nbsp; und für die Dreieckverteilung &nbsp;$(K=2.4)$&nbsp; zu.
::*&nbsp;Für&nbsp;$\sigma_X \gg \sigma_Y$&nbsp; ist der Anstieg der&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}VTF$&nbsp; in Richtung der &nbsp;$y$&ndash;Achse deutlich steiler als in Richtung der &nbsp;$x$&ndash;Achse.
+
::*&nbsp;Sind die WDF&ndash;Ausläufer ausgeprägter als bei &bdquo;Gauß&rdquo;, so ist der Kurtosiswert &nbsp;$K>3$. Beispiel:&nbsp; Exponentialverteilung &nbsp;$(K=9)$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$&nbsp; den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho$. Wie groß ist der Neigungswinkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; der Ellipsen&ndash;Hauptachse?}}
+
'''(8)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Exponentialverteilung}\ (\lambda_X = 1)$&nbsp; und&nbsp;$\text{Blau: Laplaceverteilung}\ (\lambda_Y = 1)$&nbsp;. Interpretieren Sie die Unterschiede.}}
  
::*&nbsp;Für&nbsp; $\rho > 0$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha = 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\rho < 0$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha = -45^\circ$. Für&nbsp; $\rho = 0$&nbsp; sind die Höhenlinien kreisfömig und somit gibt es auch keine Ellipsen&ndash;Hauptachse.
+
::*&nbsp;Die Laplaceverteilung ist symmetrisch um ihren Mittelwert &nbsp;$(S_Y=0, \ m_Y=0)$&nbsp; im Gegensatz zur Exponentialverteilung &nbsp;$(S_X=2, \ m_X=1)$.
 +
::*&nbsp;Die geraden Momente &nbsp;$m_2, \ m_4, \ \text{...}$&nbsp; sind gleich, zum Beispiel:&nbsp; $P_X=P_Y=2$. Nicht aber die Varianzen:&nbsp; $\sigma_X^2 =1, \ \sigma_Y^2 =2$.
 +
::*&nbsp;Die Wahrscheinlichkeiten&nbsp;${\rm Pr}(|X| < 2) = F_X(2) = 0.864$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(|Y| < 2) = F_Y(2) - F_Y(-2)= 0.932 - 0.068 = 0.864$&nbsp; sind gleich.
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::*&nbsp;Bei der Laplaceverteilung sind die Werte enger um den Mittelwert konzentriert als bei der Exponentialverteilung:&nbsp; $K_Y =6 < K_X = 9$.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=1, \ \rho = 0.7$&nbsp; den Korrelationskoeffizienten&nbsp; $\rho > 0$. Wie groß ist der Neigungswinkel &nbsp;$\theta$&nbsp; der Korrelationsgeraden&nbsp; $K(x)$?}}
+
'''(9)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Riceverteilung}\ (\lambda_X = 1, \ C_X = 1)$&nbsp; und &nbsp;$\text{Blau: Rayleighverteilung}\ (\lambda_Y = 1)$. Variieren Sie &nbsp;$C_X$. Interpretieren Sie die Unterschiede.}}
  
::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y$&nbsp; ist &nbsp;$\theta={\rm arctan}\ (\rho)$. Die Steigung nimmt mit wachsendem&nbsp; $\rho > 0$&nbsp; zu. In allen Fällen gilt  &nbsp;$\theta < \alpha = 45^\circ$. Für&nbsp; $\rho = 0.7$&nbsp; ergibt sich &nbsp;$\theta = 35^\circ$.
+
::*&nbsp; Mit&nbsp; $C_X = 0$&nbsp; geht die Riceverteilung in die Rayleighverteilung über. Ein größeres &nbsp;$C_X$&nbsp; &bdquo;verbessert&rdquo; die Performance, z.B. beim Mobilfunk.
 +
::*&nbsp; Bei &bdquo;Rayleigh&rdquo; und &bdquo;Rice&rdquo; ist die Abszisse der  Betrag&nbsp; $A$&nbsp; des Empfangssignals. Günstig ist, wenn&nbsp; ${\rm Pr}(A \le A_0)$&nbsp; klein ist&nbsp; $(A_0$&nbsp; vorgegeben$)$.  
 +
::*&nbsp; Bei&nbsp; $C_X \ne 0$&nbsp; und gleichem&nbsp; $\lambda$&nbsp; liegt die Rice&ndash;VTF im gesamten Definitionsbereich unterhalb der Rayleigh&ndash;VTF &nbsp; &rArr; &nbsp; kleineres&nbsp; ${\rm Pr}(A \le A_0)$&nbsp; für alle&nbsp; $A_0$.  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)'''&nbsp; Variieren Sie ausgehend von&nbsp; $\sigma_X=\sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; die Parameter&nbsp; $\sigma_Y$&nbsp; und&nbsp; $\rho \ (>0)$. Welche Aussagen gelten für die Winkel &nbsp;$\alpha$&nbsp; und&nbsp; $\theta$?}}
+
'''(10)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Riceverteilung}\ (\lambda_X = 0.6, \ C_X = 2)$. Durch welche Verteilung &nbsp;$F_Y(y)$&nbsp; lässt sich diese Riceverteilung gut approximieren? }}
  
::*&nbsp;Für&nbsp; $\sigma_Y<\sigma_X$&nbsp; ist &nbsp;$\alpha < 45^\circ$&nbsp; und für&nbsp; $\sigma_Y>\sigma_X$&nbsp; dagegen &nbsp;$\alpha > 45^\circ$.  
+
::*&nbsp; Die Kurtosis &nbsp; $K_X = 2.9539 \approx 3$&nbsp; weist auf die Gaußverteilung hin. Günstige Parameter:&nbsp; $m_Y = 2.1 > C_X, \ \ \ \sigma_Y = \lambda_X = 0.6$.
::*&nbsp;Bei allen Einstellungen gilt:&nbsp;   '''Die Korrelationsgerade liegt unter der Ellipsen&ndash;Hauptachse'''.
+
::*&nbsp; Je größer der Quotient&nbsp; $C_X/\lambda_X$&nbsp; ist, umso besser wird die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung angenähert.  
 +
::*&nbsp; Bei großem &nbsp; $C_X/\lambda_X$&nbsp; hat die die Riceverteilung keinerlei Ähnlichkeit mehr mit der Rayleighverteilung.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)'''&nbsp; Gehen Sie von&nbsp; $\sigma_X= 1, \ \sigma_Y=0.75, \ \rho = 0.7$&nbsp; aus und variieren Sie&nbsp; $\rho$. Wie könnte man die Korrelationsgerade aus den Höhenlinien konstruieren?}}
+
'''(11)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Weibullverteilung}\ (\lambda_X = 1, \ k_X = 1)$&nbsp; und &nbsp;$\text{Blau: Weibullverteilung}\ (\lambda_Y = 1, \ k_Y = 2)$. Interpretieren Sie die Ergebnisse. }}
  
::*&nbsp;Die Korrelationsgerade schneidet alle Höhenlinien an den Punkten, an denen die Tangente zu der Höhenlinie senkrecht verläuft.
+
::*&nbsp; Die Weibullverteilung&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; ist identisch mit der Exponentialverteilung und&nbsp; $f_Y(y)$&nbsp; mit der Rayleighverteilung.
 +
::*&nbsp; Nach bestmöglicher Anpassung unterscheiden sich allerdings die Parameter&nbsp; $\lambda_{\rm Weibull} = 1$&nbsp; und&nbsp; $\lambda_{\rm Rayleigh} = 0.7$.
 +
::*&nbsp; Für &nbsp;$k_X < 1$&nbsp; gilt zudem &nbsp;$f_X(x = 0) \to \infty$. Dies wirkt sich allerdings nicht durch unendlich große Momente aus.
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(10)'''&nbsp; Nun gelte&nbsp; $\sigma_X=  \sigma_Y=1, \ \rho = 0.95$. Interpretieren Sie die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$. Welche Aussagen würden für den Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; zutreffen?}}
+
'''(12)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Weibullverteilung}\ (\lambda_X = 1, \ k_X = 1.6)$&nbsp; und &nbsp;$\text{Blau: Weibullverteilung}\ (\lambda_Y = 1, \ k_Y = 5.6)$. Interpretieren Sie die Charliersche Schiefe. }}  
 
 
::*&nbsp;Die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; hat nur Anteile in der Nähe der Ellipsen&ndash;Hauptachse. Die Korrelationsgerade liegt nur knapp darunter:&nbsp; $\alpha = 45^\circ, \ \theta = 43.5^\circ$.
 
::*&nbsp;Im Grenzfall&nbsp; $\rho \to 1$&nbsp; wäre&nbsp; $\theta = \alpha = 45^\circ$. Außerhalb der Korrelationsgeraden hätte die&nbsp; $\rm 2D\hspace{-0.1cm}-\hspace{-0.1cm}WDF$&nbsp; keine Anteile. Das heißt:
 
::*&nbsp;Längs der Korrelationsgeraden ergäbe sich eine '''Diracwand'''&nbsp; &rArr; &nbsp; Alle Werte sind unendlich groß, trotzdem um den Mittelwert gaußisch gewichtet.
 
  
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::*&nbsp; Man beobachtet: &nbsp; Für &nbsp;$k < k_*$&nbsp; ist die Charliersche Schiefe positiv und für  &nbsp;$k > k_*$&nbsp; negativ. Es gilt näherungsweise&nbsp; $k_* = 3.6$.
  
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{{BlaueBox|TEXT=
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'''(13)'''&nbsp; Wählen Sie &nbsp;$\text{Rot: Halbkreisverteilung}\ (m_X = 0, \ R_X = 1)$&nbsp; und &nbsp;$\text{Blau: Parabelverteilung}\ (m_Y = 0, \ R_Y = 1)$. Variieren Sie jeweils den $R$&ndash;Parameter. }}
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::*&nbsp; Die WDF ist jeweils mittelwertfrei und symmetrisch&nbsp; $(S_X = S_Y =0)$&nbsp; mit&nbsp; $\sigma_X^2 = 0.25, \ K_X = 2$&nbsp; bzw.&nbsp; $\sigma_Y^2 = 0.2, \ K_Y \approx 2.2$. 
  
  
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==Zur Handhabung des Applets==
 
==Zur Handhabung des Applets==
 
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[[Datei:Anleitung_2D-Gauss.png|left|600px]]
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[[Datei:Bildschirm_WDF_VTF_neu.png|right|600px|frame|Bildschirmabzug]]
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe per Slider:&nbsp; $\sigma_X$, &nbsp;$\sigma_Y$ und&nbsp; $\rho$
+
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der Verteilung&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; (rote Kurven und Ausgabewerte)
  
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl:&nbsp; Darstellung von WDF oder VTF
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für die &bdquo;rote Verteilung&rdquo; per Slider
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Reset:&nbsp; Einstellung wie beim Programmstart
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der Verteilung&nbsp; $f_Y(y)$&nbsp; (blaue Kurven und Ausgabewerte)
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Höhenlinien darstellen anstelle von &bdquo;1D-WDF&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für die &bdquo;rote Verteilung&rdquo; per Slider
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;2D-WDF&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 3D-Grafik (Zoom, Drehen, ...)
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Grafikbereich für die Verteilungsfunktion (VTF)
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Darstellungsbereich für &bdquo;1D-WDF&rdquo; bzw. &bdquo;Höhenlinien&rdquo;
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe für die &bdquo;rote Verteilung&rdquo;
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Manipulation der 2D-Grafik (&bdquo;1D-WDF&rdquo;)
+
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe für die &bdquo;blaue Verteilung&rdquo;
  
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:  Aufgabenauswahl 
+
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Abszissenwerte &nbsp;$x_*$&nbsp; und &nbsp;$y_*$&nbsp; für die Numerik&ndash;Ausgaben
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Aufgabenauswahl 
  
&nbsp; &nbsp; '''( L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung
+
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbspAufgabenstellung
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Werte&ndash;Ausgabe über Maussteuerung (sowohl bei 2D als auch bei 3D)  
 
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&nbsp; &nbsp; '''( L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: &nbsp;  Musterlösung
 +
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*Auswahlmöglichkeiten für&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm C$: &nbsp; Gaußverteilung, &nbsp; Gleichverteilung, &nbsp; Dreieckverteilung, &nbsp; Exponentialverteilung, &nbsp; Laplaceverteilung, &nbsp; Rayleighverteilung,&nbsp;  Riceverteilung,  &nbsp; Weibullverteilung, &nbsp; Wigner&ndash;Halbkreisverteilung, &nbsp;  Wigner&ndash;Parabelverteilung, &nbsp; Cauchyverteilung.
  
==Über die Autoren==
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*Folgende integrale Kenngrößen werden ausgegeben&nbsp; $($bzgl. $X)$: &nbsp;  Linearer Mittelwert&nbsp; $m_X = {\rm E}\big[X \big]$, &nbsp; quadratischer Mittelwert&nbsp; $P_X ={\rm E}\big[X^2  \big] $, &nbsp; Varianz&nbsp; $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$, &nbsp; Standardabweichung (oder Streuung)&nbsp; $\sigma_X$,&nbsp; Charliersche Schiefe&nbsp; $S_X$, &nbsp; Kurtosis&nbsp; $K_X$.
Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
 
*Die erste Version wurde 2003 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
 
* 2019 wurde das Programm  von&nbsp;[[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; im Rahmen einer Werkstudententätigkeit auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
 
  
  
Die Umsetzung dieses Applets auf HTML 5 wurde durch&nbsp; [https://www.ei.tum.de/studium/studienzuschuesse/ Studienzuschüsse]&nbsp; der Fakultät EI der TU München finanziell unterstützt. Wir bedanken uns.
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In allen Applets oben rechts:&nbsp; &nbsp; Veränderbare grafische Oberflächengestaltung  &nbsp; &rArr;  &nbsp; '''Theme''':
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* Dark: &nbsp; schwarzer Hintergrund&nbsp; (wird von den Autoren empfohlen)
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*  Bright: &nbsp; weißer Hintergrund&nbsp; (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
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*  Deuteranopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Grün&ndash;Sehschwäche
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*  Protanopia: &nbsp; für Nutzer mit ausgeprägter Rot&ndash;Sehschwäche
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==Über die Autoren==
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Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
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*Die erste Version wurde 2005 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Bettina_Hirner_.28Diplomarbeit_LB_2005.29|Bettina Hirner]]&nbsp; im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
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* 2019 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Matthias_Niller_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.29|Matthias Niller]]&nbsp; im Rahmen seiner Ingenieurspraxis auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet&nbsp; (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
  
  
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
{{LntAppletLink|verteilungen}}
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{{LntAppletLinkDeEn|wdf-vtf|wdf-vtf_en}}

Version vom 1. April 2021, 12:00 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version


Programmbeschreibung


Das Applet stellt die Beschreibungsformen zweier wertkoninuierlicher Zufallsgrößen  $X$  und  $Y\hspace{-0.1cm}$  vergleichend gegenüber, wobei für die rote Zufallsgröße  $X$  und die blaue Zufallsgröße  $Y$  jeweils folgende Grundformen zur Auswahl stehen:

  • Gaußverteilung, Gleichverteilung, Dreieckverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung, Riceverteilung, Weibullverteilung, Wigner–Halbkreisverteilung, Wigner–Parabelverteilung, Cauchyverteilung.


Die folgenden Angaben beziehen sich auf die Zufallsgrößen  $X$. Graphisch dargestellt werden

  • die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  (oben) und
  • die Verteilungsfunktion  $F_{X}(x)$  (unten).


Zusätzlich werden noch einige integrale Kenngrößen ausgegeben, nämlich

  • der lineare Mittelwert  $m_X = {\rm E}\big[X \big]$,
  • der quadratische Mittelwert  $P_X ={\rm E}\big[X^2 \big] $,
  • die Varianz  $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$,
  • die Standardabweichung (oder Streuung)  $\sigma_X$,
  • die Charliersche Schiefe  $S_X$,
  • die Kurtosis  $K_X$.


Definition und Eigenschaften der dargestellten Beschreibungsgrößen


In diesem Applet betrachten wir ausschließlich (wert–)kontinuierliche Zufallsgrößen, also solche, deren mögliche Zahlenwerte nicht abzählbar sind.

  • Der Wertebereich dieser Zufallsgrößen ist somit im allgemeinen der der reellen Zahlen  $(-\infty \le X \le +\infty)$.
  • Es ist aber möglich, dass der Wertebereich auf ein Intervall begrenzt ist:  $x_{\rm min} \le X \le +x_{\rm max}$.



Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)

Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße  $X$  sind die Wahrscheinlichkeiten, dass  $X$  ganz bestimmte Werte  $x$  annimmt, identisch Null:  ${\rm Pr}(X= x) \equiv 0$.  Deshalb muss zur Beschreibung einer kontinuierlichen Zufallsgröße stets auf die  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  – abgekürzt  $\rm WDF$  – übergegangen werden.

$\text{Definition:}$  Der Wert der  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  an der Stelle  $x$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der Momentanwert der Zufallsgröße  $X$  in einem (unendlich kleinen) Intervall der Breite  $Δx$  um  $x$  liegt, dividiert durch  $Δx$:

$$f_X(x) = \lim_{ {\rm \Delta} x \hspace{0.05cm}\to \hspace{0.05cm} 0} \frac{ {\rm Pr} \big [x - {\rm \Delta} x/2 \le X \le x +{\rm \Delta} x/2 \big ] }{ {\rm \Delta} x}.$$

Die englische Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) ist  Probability Density Function  (PDF).


Die WDF weist folgende Eigenschaften auf:

  • Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:
$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = \int_{x_{\rm u}}^{x_{\rm o}} f_{X}(x) \ {\rm d}x.$$
  • Als wichtige Normierungseigenschaft ergibt sich daraus für die Fläche unter der WDF mit den Grenzübergängen  $x_{\rm u} → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞$  und  $x_{\rm o} → +∞$:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) \ {\rm d}x = 1.$$


Verteilungsfunktion (VTF)

Die  Verteilungsfunktion  – abgekürzt  $\rm VTF$  – liefert die gleiche Information über die Zufallsgröße  $X$  wie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

$\text{Definition:}$  Die  Verteilungsfunktion  $F_{X}(x)$  entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  kleiner oder gleich einem reellen Zahlenwert  $x$  ist:

$$F_{X}(x) = {\rm Pr}( X \le x).$$

Die englische Bezeichnung für die Verteilungsfunktion (VTF) ist  Cumulative Distribution Function  (CDF).


Die VTF weist folgende Eigenschaften auf:

  • Die Verteilungsfunktion ist aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_{X}(x)$  durch Integration berechenbar. Es gilt:
$$F_{X}(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(\xi)\,{\rm d}\xi.$$
  • Da die WDF nie negativ ist, steigt  $F_{X}(x)$  zumindest schwach monoton an, und liegt stets zwischen den folgenden Grenzwerten
$$F_{X}(x → \hspace{0.1cm} – \hspace{0.05cm} ∞) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(x → +∞) = 1.$$
  • Umgekehrt lässt sich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation bestimmen:
$$f_{X}(x)=\frac{{\rm d} F_{X}(\xi)}{{\rm d}\xi}\Bigg |_{\hspace{0.1cm}x=\xi}.$$
  • Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $X$  im Bereich zwischen  $x_{\rm u}$  und  $x_{\rm o} > x_{\rm u}$  liegt, gilt:
$${\rm Pr}(x_{\rm u} \le X \le x_{\rm o}) = F_{X}(x_{\rm o}) - F_{X}(x_{\rm u}).$$


Erwartungswerte und Momente

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bietet ebenso wie die Verteilungsfunktion sehr weitreichende Informationen über die betrachtete Zufallsgröße. Weniger, aber dafür kompaktere Informationen in Form einzelner Zahlenwerte liefern die so genannten  Erwartungswerte  und  Momente.

$\text{Definition:}$  Der  Erwartungswert  bezüglich einer beliebigen Gewichtungsfunktion  $g(x)$  kann mit der WDF  $f_{\rm X}(x)$  in folgender Weise berechnet werden:

$${\rm E}\big[g (X ) \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\cdot f_{X}(x) \,{\rm d}x.$$

Setzt man in diese Gleichung für  $g(x) = x^k$  ein, so erhält man das  Moment $k$-ter Ordnung:

$$m_k = {\rm E}\big[X^k \big] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k\cdot f_{X} (x ) \, {\rm d}x.$$


Aus dieser Gleichung erhält man

  • mit  $k = 1$  für den  linearen Mittelwert:
$$m_1 = {\rm E}\big[X \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x\cdot f_{X} (x ) \,{\rm d}x,$$
  • mit  $k = 2$  für den  quadratischen Mittelwert:
$$m_2 = {\rm E}\big[X^{\rm 2} \big] = \int_{-\infty}^{ \rm +\infty} x^{ 2}\cdot f_{ X} (x) \,{\rm d}x.$$

In Zusammenhang mit Signalen sind auch folgende Bezeichnungen üblich:

  • $m_1$  gibt den  Gleichanteil  an;    bezüglich der Zufallsgröße  $X$  schreiben wir im Folgenden auch  $m_X$.
  • $m_2$  entspricht der  (auf den Einheitswiderstand  $1 \ Ω$  bezogenen) Signalleistung  $P_X$.


Bezeichnet  $X$  beispielsweise eine Spannung, so hat nach diesen Gleichungen  $m_X$  die Einheit  ${\rm V}$  und die Leistung  $P_X$  die Einheit  ${\rm V}^2.$ Will man die Leistung in „Watt”  $\rm (W)$ angeben, so muss  $P_X$  noch durch den Widerstandswert  $R$  dividiert werden.

Zentralmomente

Besondere Bedeutung haben in der Statistik allgemein die so genannten  Zentralmomente, von denen viele Kenngrößen abgeleitet werden,

$\text{Definition:}$  Die  Zentralmomente  sind im Gegensatz zu den herkömmlichen Momenten jeweils auf den Mittelwert  $m_1$  bezogen. Für diese gilt mit  $k = 1, \ 2,$ ...:

$$\mu_k = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^k\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-m_{\rm 1})^k\cdot f_x(x) \,\rm d \it x.$$


  • Bei mittelwertfreien Zufallsgrößen stimmen die zentrierten Momente  $\mu_k$  mit den nichtzentrierten Momente  $m_k$  überein.
  • Das Zentralmoment erster Ordnung ist definitionsgemäß gleich  $\mu_1 = 0$.
  • Die nichtzentrierten Momente  $m_k$  und die Zentralmomente  $\mu_k$  können direkt ineinander umgerechnet werden.  Mit  $m_0 = 1$  und  $\mu_0 = 1$  gilt dabei:
$$\mu_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot m_\kappa \cdot (-m_1)^{k-\kappa},$$
$$m_k = \sum\limits_{\kappa= 0}^{k} \left( \begin{array}{*{2}{c}} k \\ \kappa \\ \end{array} \right)\cdot \mu_\kappa \cdot {m_1}^{k-\kappa}.$$


Einige häufig benutzte Zentralmomente

Aus der letzten Definition können folgende statistische Kenngrößen abgeleitet werden:

$\text{Definition:}$  Die  Varianz  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  ist das Zentralmoment zweiter Ordnung:

$$\mu_2 = {\rm E}\big[(X-m_{\rm 1})^2\big] = \sigma_X^2.$$
  • Die Varianz  $σ_X^2$  entspricht physikalisch der „Wechselleistung” und die  Streung  $σ_X$  (oder auch  Standardabweichung) gibt den „Effektivwert” an.
  • Aus dem linearen und dem quadratischen Mittelwert ist die Varianz nach dem  Satz von Steiner  in folgender Weise berechenbar:  $\sigma_X^{2} = {\rm E}\big[X^2 \big] - {\rm E}^2\big[X \big].$


$\text{Definition:}$  Die  Charliersche Schiefe  $S_X$  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet das auf $σ_X^3$ bezogene dritte Zentralmoment.

  • Bei symmetrischer Dichtefunktion ist die Kenngröße  $S_X$  sets Null.
  • Je größer  $S_X = \mu_3/σ_X^3$  ist, um so unsymmetrischer verläuft die WDF um den Mittelwert  $m_X$.
  • Beispielsweise ergibt sich für die Exponentialverteilung die Schiefe  $S_X =2$, und zwar unabhängig vom Verteilungsparameter  $λ$.


$\text{Definition:}$  Als  Kurtosis  der betrachteten Zufallsgröße  $X$  bezeichnet man den Quotienten  $K_X = \mu_4/σ_X^4$    $(\mu_4:$  Zentralmoment vierter Ordnung$)$.

  • Bei einer gaußverteilten Zufallsgröße ergibt sich hierfür immer der Wert  $K_X = 3$.
  • Anhand dieser Kenngröße kann man beispielsweise überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße tatsächlich gaußisch ist oder zumindest durch eine Gaußverteilung approximiert werden kann.


Zusammenstellung einiger wertkontinuierlicher Zufallsgrößen


Das Applet berücksichtigt folgende Verteilungen: 

Gaußverteilung, Gleichverteilung, Dreieckverteilung, Exponentialverteilung, Laplaceverteilung, Rayleighverteilung,
Riceverteilung, Weibullverteilung, Wigner–Halbkreisverteilung, Wigner–Parabelverteilung, Cauchyverteilung.

Einige von diesen sollen hier detailliert beschrieben werden.

Gaußverteilte Zufallsgrößen

Gaußsche Zufallsgröße:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion   $($achsensymmetrisch um  $m_X)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_X}\cdot {\rm e}^{-(X-m_X)^2 /(2\sigma_X^2) }.$$

WDF–Parameter: 

  • $m_X$  (Mittelwert bzw. Gleichanteil),
  • $σ_X$  (Streuung bzw. Effektivwert).


(2)    Verteilungsfunktion   $($punktsymmetrisch um  $m_X)$

$$F_X(x)= \phi(\frac{\it x-m_X}{\sigma_X})\hspace{0.5cm}\rm mit\hspace{0.5cm}\rm \phi (\it x\rm ) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\it \pi}}\int_{-\rm\infty}^{\it x} \rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,\, d \it u.$$

$ϕ(x)$:   Gaußsches Fehlerintegral (nicht analytisch berechenbar, muss aus Tabellen entnommen werden).


(3)    Zentralmomente

$$\mu_{k}=(k- 1)\cdot (k- 3) \ \cdots \ 3\cdot 1\cdot\sigma_X^k\hspace{0.2cm}\rm (falls\hspace{0.2cm}\it k\hspace{0.2cm}\rm gerade).$$
  • Charliersche Schiefe  $S_X = 0$,  da  $\mu_3 = 0$  $($WDF ist symmetrisch um  $m_X)$.
  • Kurtosis  $K_X = 3$,  da  $\mu_4 = 3 \cdot \sigma_X^2$  ⇒   $K_X = 3$  ergibt sich nur für die Gauß–WDF.


(4)    Weitere Bemerkungen

  • Die Namensgebung geht auf den bedeutenden Mathematiker, Physiker und Astronomen Carl Friedrich Gauß zurück.
  • Ist  $m_X = 0$  und  $σ_X = 1$, so spricht man oft auch von der  Normalverteilung.
  • Die Streuung kann aus der glockenförmigen WDF $f_{X}(x)$ auch grafisch ermittelt werden  (als Abstand von Maximalwert und Wendepunkt).
  • Zufallsgrößen mit Gaußscher WDF sind wirklichkeitsnahe Modelle für viele physikalische Größen und auch für die Nachrichtentechnik von großer Bedeutung.
  • Die Summe vieler kleiner und unabhängiger Komponenten führt stets zur Gauß–WDF   ⇒   Zentraler Grenzwertsatz der Statistik   ⇒   Grundlage für Rauschprozesse.
  • Legt man ein gaußverteiltes Signal zur spektralen Formung an ein lineares Filter, so ist das Ausgangssignal ebenfalls gaußverteilt.


Signal und WDF eines Gaußschen Rauschsignals

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt einen Ausschnitt eines stochastischen Rauschsignals  $x(t)$, dessen Momentanwert als eine kontinuierliche Zufallsgröße  $X$  aufgefasst werden kann. Aus der rechts dargestellten WDF erkennt man:

  • Es liegt eine Gaußsche Zufallsgröße vor.
  • Momentanwerte um den Mittelwert  $m_X$  treten am häufigsten auf.
  • Wenn zwischen den Abtastwerten  $x_ν$  der Folge keine statistischen Bindungen bestehen, bezeichnet man ein solches Signal auch als „Weißes Rauschen”.


Gleichverteilte Zufallsgrößen

Gleichverteilung:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

  • Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)  $f_{X}(x)$  ist im Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  konstant gleich  $1/(x_{\rm max} - x_{\rm min})$  und außerhalb Null.
  • An den Bereichsgrenzen ist für  $f_{X}(x)$  jeweils nur der halbe Wert  (Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert)  zu setzen.


(2)    Verteilungsfunktion

  • Die Verteilungsfunktion (VTF) steigt im Bereich von  $x_{\rm min}$  bis  $x_{\rm max}$  linear von Null auf  $1$  linear an.


(3)    Momente und Zentralmomente

  • Mittelwert und Streuung haben bei der Gleichverteilung die folgenden Werte:
$$m_X = \frac{\it x_ {\rm max} \rm + \it x_{\rm min}}{2},\hspace{0.5cm} \sigma_X^2 = \frac{(\it x_{\rm max} - \it x_{\rm min}\rm )^2}{12}.$$
  • Bei symmetrischer WDF   ⇒   $x_{\rm min} = -x_{\rm max}$  ist der Mittelwert  $m_X = 0$  und die Varianz  $σ_X^2 = x_{\rm max}^2/3.$
  • Aufgrund der Symmetrie um den Mittelwert  $m_X$  ist die Charliersche Schiefe  $S_X = 0$.
  • Die Kurtosis ist mit   $K_X = 1.8$  deutlich kleiner als bei der Gaußverteilung, weil die WDF–Ausläufer fehlen.


(4)    Weitere Bemerkungen

  • Für die Modellierung übertragungstechnischer Systeme sind gleichverteilte Zufallsgrößen die Ausnahme. Ein Beispiel für eine tatsächlich (nahezu) gleichverteilte Zufallsgröße ist die Phase bei kreissymmetrischen Störungen, wie sie beispielsweise bei  Quadratur–Amplitudenmodulationsverfahren  (QAM) auftreten.
  • Die Bedeutung gleichverteilter Zufallsgrößen für die Informations– und Kommunikationstechnik liegt eher darin, dass diese WDF–Form aus Sicht der Informationstheorie unter der Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” ein Optimum bezüglich der differentiellen Entropie darstellt.
  • In der Bildverarbeitung & Bildcodierung wird häufig mit der Gleichverteilung anstelle der tatsächlichen, meist sehr viel komplizierteren Verteilung des Originalbildes gerechnet, da der Unterschied des Informationsgehaltes zwischen einem natürlichen Bild und dem auf der Gleichverteilung basierenden Modell relativ gering ist.
  • Bei der Simulation nachrichtentechnischer Systeme verwendet man häufig auf der Gleichverteilung basierende „Pseudo–Zufallsgeneratoren” (die relativ einfach zu realisieren sind), woraus sich andere Verteilungen  (Gaußverteilung, Exponentialverteilung, etc.)  leicht ableiten lassen.


Exponentialverteilte Zufallsgrößen

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Exponentialverteilung:  WDF und VTF

Eine exponentialverteilte Zufallsgröße  $X$  kann nur nicht–negative Werte annehmen. Für  $x>0$  hat die WDF den folgenden Verlauf hat:

$$f_X(x)=\it \lambda_X\cdot\rm e^{\it -\lambda_X \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$
  • Je größer der Verteilungsparameter  $λ_X$  ist, um so steiler erfolgt der Abfall.
  • Definitionsgemäß gilt  $f_{X}(0) = λ_X/2$, also der Mittelwert aus linksseitigem Grenzwert  $(0)$  und rechtsseitigem Grenzwert  $(\lambda_X)$.


(2)    Verteilungsfunktion

Durch Integration über die WDF erhält man für  $x > 0$:

$$F_{X}(x)=1-\rm e^{\it -\lambda_X\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm} x}.$$

(3)    Momente und Zentralmomente

  • Die  Momente  der (einseitigen) Exponentialverteilung sind allgemein gleich:
$$m_k = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k \cdot f_{X}(x) \,\,{\rm d} x = \frac{k!}{\lambda_X^k}.$$
  • Daraus und aus dem Satz von Steiner ergibt sich für Mittelwert und Streuung:
$$m_X = m_1=\frac{1}{\lambda_X},\hspace{0.6cm}\sigma_X^2={m_2-m_1^2}={\frac{2}{\lambda_X^2}-\frac{1}{\lambda_X^2}}=\frac{1}{\lambda_X^2}.$$
  • Die WDF ist hier deutlich unsymmetrisch. Für die Charliersche Schiefe ergibt sich  $S_X = 2$.
  • Die Kurtosis ist mit   $K_X = 9$  deutlich größer als bei der Gaußverteilung, weil die WDF–Ausläufer sehr viel weiter reichen.


(4)    Weitere Bemerkungen

  • Die Exponentialverteilung hat große Bedeutung für Zuverlässigkeitsuntersuchungen; in diesem Zusammenhang ist auch der Begriff „Lebensdauerverteilung” üblich.
  • Bei diesen Anwendungen ist die Zufallsgröße oft die Zeit  $t$, die bis zum Ausfall einer Komponente vergeht.
  • Desweiteren ist anzumerken, dass die Exponentialverteilung eng mit der Laplaceverteilung in Zusammenhang steht.


Laplaceverteilte Zufallsgrößen

Laplaceverteiung:  WDF und VTF

(1)    Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Wie aus der Grafik zu ersehen ist die Laplaceverteilung eine „zweiseitige Exponentialverteilung”:

$$f_{X}(x)=\frac{\lambda_X} {2}\cdot{\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}.$$
  • Der Maximalwert ist hier  $\lambda_X/2$.
  • Die Tangente bei  $x=0$  schneidet die Abszisse wie bei der Exponentialverteilung bei  $1/\lambda_X$.


(2)    Verteilungsfunktion

$$F_{X}(x) = {\rm Pr}\big [X \le x \big ] = \int_{-\infty}^{x} f_{X}(\xi) \,\,{\rm d}\xi $$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(x) = 0.5 + 0.5 \cdot {\rm sign}(x) \cdot \big [ 1 - {\rm e}^ { - \lambda_X \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.05cm} x \hspace{0.05cm} \vert}\big ] $$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} F_{X}(-\infty) = 0, \hspace{0.5cm}F_{X}(0) = 0.5, \hspace{0.5cm} F_{X}(+\infty) = 1.$$

(3)    Momente und Zentralmomente

  • Für ungeradzahliges  $k$  ergibt sich bei der Laplaceverteilung aufgrund der Symmetrie stets  $m_k= 0$. Unter Anderem:  Linearer Mittelwert  $m_X =m_1 = 0$.
  • Für geradzahliges  $k$  stimmen die Momente von Laplaceverteilung und Exponentialverteilung überein:  $m_k = {k!}/{\lambda^k}$.
  • Für die Varianz  $(=$ Zentralmoment zweiter Ordnung $=$ Moment zweiter Ordnung$)$  gilt:  $\sigma_X^2 = {2}/{\lambda_X^2}$   ⇒   doppelt so groß wie bei der Exponentialverteilung.
  • Für die Charliersche Schiefe ergibt sich hier aufgrund der symmetrischen WDF   $S_X = 0$.
  • Die Kurtosis ist mit  $K_X = 6$  deutlich größer als bei der Gaußverteilung, aber kleiner als bei der Exponentialverteilung.


(4)    Weitere Bemerkungen



Kurzbeschreibung weiterer Verteilungen


$\text{(A) Rayleighverteilung}$     Genauere Beschreibung

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} x/\lambda_X^2 \cdot {\rm e}^{- x^2/(2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \lambda_X^2)} \\ 0 \end{array} \right.\hspace{0.15cm} \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} x\hspace{-0.05cm} \ge \hspace{-0.05cm}0, \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} x \hspace{-0.05cm}<\hspace{-0.05cm} 0. \\ \end{array}.$$
  • Anwendung:     Modellierung des Mobilfunkkanals (nichtfrequenzselektives Fading, nur Dämpfungs–, Beugungs– und Brechungseffekte, keine Sichtverbindung).


$\text{(B) Riceverteilung}$     Genauere Beschreibung

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $(\rm I_0$  bezeichnet die modifizierte Bessel–Funktion nullter Ordnung$)$:
$$f_X(x) = \frac{x}{\lambda_X^2} \cdot {\rm exp} \big [ -\frac{x^2 + C_X^2}{2\cdot \lambda_X^2}\big ] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{x \cdot C_X}{\lambda_X^2} \right ]\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}{\rm I }_0 (u) = {\rm J }_0 ({\rm j} \cdot u) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Anwendung:     Modellierung des Mobilfunkkanals (nichtfrequenzselektives Fading, nur Dämpfungs–, Beugungs– und Brechungseffekte, mit Sichtverbindung).


$\text{(C) Weibullverteilung}$     [Genauere Beschreibung]

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$$f_X(x) = \lambda_X \cdot k_X \cdot (\lambda_X \cdot x)^{k_X-1} \cdot {\rm e}^{(\lambda_X \cdot x)^{k_X}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Anwendung:     WDF mit einstellbarer Schiefe $S_X$; Exponentialverteilung  $(k_X = 1)$  und Rayleighverteilung  $(k_X = 2)$  als Sonderfälle enthalten.


$\text{(D) Wigner-Halbkreisverteilung}$     [Genauere Beschreibung]

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 2/(\pi \cdot {R_X}^2) \cdot \sqrt{{R_X}^2 - (x- m_X)^2} \\ 0 \end{array} \right.\hspace{0.15cm} \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x- m_X|\hspace{-0.05cm} \le \hspace{-0.05cm}R_X, \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x- m_X| \hspace{-0.05cm} > \hspace{-0.05cm} R_X \\ \end{array}.$$
  • Anwendung:     WDF der Tschebyscheff–Knoten   ⇒   Nullstellen der Tschebyscheff–Polynome aus der Numerik.


$\text{(E) Wigner-Parabelverteilung}$

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{c} 3/(4 \cdot {R_X}^3) \cdot \big ({R_X}^2 - (x- m_X)^2\big ) \\ 0 \end{array} \right.\hspace{0.15cm} \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x|\hspace{-0.05cm} \le \hspace{-0.05cm}R_X, \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm} |x| \hspace{-0.05cm} > \hspace{-0.05cm} R_X \\ \end{array}.$$
  • Anwendung:     WDF der Eigenwerte von symmetrischen Zufallsmatrizen, deren Dimension gegen unendlich geht.


$\text{(F) Cauchyverteilung}$     Genauere Beschreibung

  • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und Verteilungsfunktion:
$$f_{X}(x)=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\lambda_X}{\lambda_X^2+x^2}, \hspace{2cm} F_{X}(x)={\rm 1}/{2}+{\rm arctan}({x}/{\lambda_X}).$$
  • Bei der Cauchyverteilung besitzen alle Momente  $m_k$  für gerades  $k$  einen unendlich großen Wert, und zwar unabhängig vom Parameter  $λ_X$.
  • Damit besitzt diese Verteilung auch eine unendlich große Varianz:  $\sigma_X^2 \to \infty$.
  • Aufgrund der Symmetrie sind für ungerades  $k$  alle Momente  $m_k = 0$, wenn man wie im Programm vom „Cauchy Principal Value” ausgeht:  $m_X = 0, \ S_X = 0$.
  • Beispiel:     Der Quotient zweier Gaußscher mittelwertfreier Zufallsgrößen ist cauchyverteilt. Für praktische Anwendungen hat die Cauchyverteilung weniger Bedeutung.


Versuchsdurchführung


  • Wählen Sie zunächst die Nummer  ($1$, $2$, ... )  der zu bearbeitenden Aufgabe.  Die Nummer  $0$  entspricht einem „Reset”:  Einstellung wie beim Programmstart.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.  Die Parameterwerte sind angepasst.  Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
  • Im Folgenden steht  $\text{Rot}$  für die Zufallsgröße  $X$  und  $\text{Blau}$  für  $Y$.


(1)  Wählen Sie  $\text{Rot: Gaußverteilung}\ (m_X = 1, \ \sigma_X = 0.4)$  und $\text{Blau: Gleichverteilung}\ (y_{\rm min} = -2, \ y_{\rm max} = +3)$. Interpretieren Sie die  $\rm WDF$–Grafik.

  •  $\text{Gaußverteilung}$:  Das  $\rm WDF$–Maximum ist gleich  $f_{X}(x = m_X) = \sqrt{1/(2\pi \cdot \sigma_X^2)} = 0.9974 \approx 1$.
  •  $\text{Gleichverteilung}$:  Alle  $\rm WDF$–Werte sind im Bereich  $-2 < y < +3$  gleich  $0.2$. An den Rändern gilt  $f_Y(-2) = f_Y(+3)= 0.1$  (halber Wert).

(2)  Gleiche Einstellung wie bei  (1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(X = 0)$  und  ${\rm Pr}(0.5 \le X \le 1.5)$  sowie  ${\rm Pr}(Y = 0)$  und  ${\rm Pr}(0.5 \le Y \le 1.5)$ .

  •  ${\rm Pr}(X = 0)={\rm Pr}(Y = 0) \equiv 0$   ⇒   Wahrscheinlichkeit einer wertdiskreten Zufallsgröße, dass diese exakt einen bestimmten Wert annimmt.
  •  Die beiden anderen Wahrscheinlichkeiten können durch Integration über die WDF im Bereich  $+0.5\ \text{...} \ +\hspace{-0.1cm}1.5$  ermittelt werden.
  •  Oder:  ${\rm Pr}(0.5 \le X \le 1.5)= F_X(1.5) - F_X(0.5) = 0.8944-0.1056 = 0.7888$. Entsprechend:  ${\rm Pr}(0.5 \le Y \le 1.5)= 0.7-0.5=0.2$.

(3)  Gleiche Einstellungen wie bisher. Wie muss die Streung  $\sigma_X$  verändert werden, damit bei gleichem Mittelwert  $m_X$  für den quadratische Mittelwert gilt:  $P_X=2$ ?

  •  Nach dem Satz von Steiner gilt:  $P_X=m_X^2 + \sigma_X^2$   ⇒   $\sigma_X^2 = P_X-m_X^2 = 2 - 1^2 = 1 $   ⇒   $\sigma_X = 1$.

(4)  Gleiche Ausgangslage wie bisher:  Wie müssen die Parameter  $y_{\rm min}$  und  $y_{\rm max}$  der Gleichverteilung geändert werden, damit sich  $m_Y = 0$  und $\sigma_Y^2 = 0.75$ ergeben?

  •  Ausgehend von der bisherigen Einstellung  $(y_{\rm min} = -2, \ y_{\rm max} = +3)$  verändern wir  $y_{\rm max}$, bis sich  $\sigma_Y^2 = 0.75$  einstellt.   ⇒     $y_{\rm max} = 1$.
  •  Die Breite des Rechtecks ist nun  $3$. Den gewünschten Mittelwert   $m_Y = 0$  erreicht man durch eine Verschiebung:  $y_{\rm min} = -1.5, \ y_{\rm max} = +1.5$.
  •  Sie könnten auch berücksichtigen, dass für eine mittelwertfreie Zufallsgröße  $(y_{\rm min} = -y_{\rm max})$  folgende Gleichung gilt:   $\sigma_Y^2 = y_{\rm max}^2/3$.

(5)  Bei welchen der einstellbaren Verteilungen ist die Charliersche Schiefe  $S \ne 0$ ?

  •  Die Charliersche Schiefe bezeichnet das auf  $σ_X^3$  bezogene dritte Zentralmoment:  $S_X = \mu_3/σ_X^3$  $($gültig für die Zufallsgröße  $X)$.
  •  Ist die WDF  $f_X(x)$  um den Mittelwert  $m_X$  symmetrisch, dann ist die Kenngröße  $S_X$  stets Null.
  •  Exponentialverteilung:  $S_X =2$;  Rayleighverteilung:  $S_X =0.631$  $($jeweils unabhängig von $λ_X)$;   Riceverteilung:  $S_X >0$  $($abhängig von $C_X, \ λ_X)$.
  •  Bei der Weibullverteilung kann die Charliersche Schiefe  $S_X$  abhängig vom WDF–Parameter  $k_X$  Null, positiv oder negativ sein.
  •   Weibullverteilung,  $\lambda_X=0.4$:  Mit  $k_X = 1.5$  ⇒   WDF ist nach links gekrümmt  $(S_X > 0)$;   $k_X = 7$  ⇒   WDF ist nach rechts gekrümmt  $(S_X < 0)$.

(6)  Wählen Sie  $\text{Rot: Gaußverteilung}\ (m_X = 1, \ \sigma_X = 0.4)$  und $\text{Blau: Gaußverteilung}\ (m_X = 0, \ \sigma_X = 1)$ . Wie groß ist jeweils die Kurtosis?

  •  Bei jeder  $\text{Gaußverteilung}$  hat die Kurtosis den gleichen Wert:   $K_X = K_Y =3$. Man bezeichnet deshalb  $K−3$  als „Exzess”.
  • Anhand dieser Kenngröße kann man überprüfen, ob eine vorliegende Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung approximiert werden kann.

(7)  Bei welchen Verteilungen ergibt sich beispielsweise ein deutlich kleinerer Kurtosiswert als  $K=3$? Und bei welchen Verteilungen ein deutlich größerer?

  •  $K<3$  ergibt sich immer dann, wenn die WDF–Werte stärker um den Mittelwert konzentriert sind als bei der Gaußverteilung.
  •  Dies trifft zum Beispiel für die Gleichverteilung  $(K=1.8)$  und für die Dreieckverteilung  $(K=2.4)$  zu.
  •  Sind die WDF–Ausläufer ausgeprägter als bei „Gauß”, so ist der Kurtosiswert  $K>3$. Beispiel:  Exponentialverteilung  $(K=9)$.

(8)  Wählen Sie  $\text{Rot: Exponentialverteilung}\ (\lambda_X = 1)$  und $\text{Blau: Laplaceverteilung}\ (\lambda_Y = 1)$ . Interpretieren Sie die Unterschiede.

  •  Die Laplaceverteilung ist symmetrisch um ihren Mittelwert  $(S_Y=0, \ m_Y=0)$  im Gegensatz zur Exponentialverteilung  $(S_X=2, \ m_X=1)$.
  •  Die geraden Momente  $m_2, \ m_4, \ \text{...}$  sind gleich, zum Beispiel:  $P_X=P_Y=2$. Nicht aber die Varianzen:  $\sigma_X^2 =1, \ \sigma_Y^2 =2$.
  •  Die Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(|X| < 2) = F_X(2) = 0.864$  und  ${\rm Pr}(|Y| < 2) = F_Y(2) - F_Y(-2)= 0.932 - 0.068 = 0.864$  sind gleich.
  •  Bei der Laplaceverteilung sind die Werte enger um den Mittelwert konzentriert als bei der Exponentialverteilung:  $K_Y =6 < K_X = 9$.

(9)  Wählen Sie  $\text{Rot: Riceverteilung}\ (\lambda_X = 1, \ C_X = 1)$  und  $\text{Blau: Rayleighverteilung}\ (\lambda_Y = 1)$. Variieren Sie  $C_X$. Interpretieren Sie die Unterschiede.

  •   Mit  $C_X = 0$  geht die Riceverteilung in die Rayleighverteilung über. Ein größeres  $C_X$  „verbessert” die Performance, z.B. beim Mobilfunk.
  •   Bei „Rayleigh” und „Rice” ist die Abszisse der Betrag  $A$  des Empfangssignals. Günstig ist, wenn  ${\rm Pr}(A \le A_0)$  klein ist  $(A_0$  vorgegeben$)$.
  •   Bei  $C_X \ne 0$  und gleichem  $\lambda$  liegt die Rice–VTF im gesamten Definitionsbereich unterhalb der Rayleigh–VTF   ⇒   kleineres  ${\rm Pr}(A \le A_0)$  für alle  $A_0$.

(10)  Wählen Sie  $\text{Rot: Riceverteilung}\ (\lambda_X = 0.6, \ C_X = 2)$. Durch welche Verteilung  $F_Y(y)$  lässt sich diese Riceverteilung gut approximieren?

  •   Die Kurtosis   $K_X = 2.9539 \approx 3$  weist auf die Gaußverteilung hin. Günstige Parameter:  $m_Y = 2.1 > C_X, \ \ \ \sigma_Y = \lambda_X = 0.6$.
  •   Je größer der Quotient  $C_X/\lambda_X$  ist, umso besser wird die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung angenähert.
  •   Bei großem   $C_X/\lambda_X$  hat die die Riceverteilung keinerlei Ähnlichkeit mehr mit der Rayleighverteilung.

(11)  Wählen Sie  $\text{Rot: Weibullverteilung}\ (\lambda_X = 1, \ k_X = 1)$  und  $\text{Blau: Weibullverteilung}\ (\lambda_Y = 1, \ k_Y = 2)$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

  •   Die Weibullverteilung  $f_X(x)$  ist identisch mit der Exponentialverteilung und  $f_Y(y)$  mit der Rayleighverteilung.
  •   Nach bestmöglicher Anpassung unterscheiden sich allerdings die Parameter  $\lambda_{\rm Weibull} = 1$  und  $\lambda_{\rm Rayleigh} = 0.7$.
  •   Für  $k_X < 1$  gilt zudem  $f_X(x = 0) \to \infty$. Dies wirkt sich allerdings nicht durch unendlich große Momente aus.

(12)  Wählen Sie  $\text{Rot: Weibullverteilung}\ (\lambda_X = 1, \ k_X = 1.6)$  und  $\text{Blau: Weibullverteilung}\ (\lambda_Y = 1, \ k_Y = 5.6)$. Interpretieren Sie die Charliersche Schiefe.

  •   Man beobachtet:   Für  $k < k_*$  ist die Charliersche Schiefe positiv und für  $k > k_*$  negativ. Es gilt näherungsweise  $k_* = 3.6$.

(13)  Wählen Sie  $\text{Rot: Halbkreisverteilung}\ (m_X = 0, \ R_X = 1)$  und  $\text{Blau: Parabelverteilung}\ (m_Y = 0, \ R_Y = 1)$. Variieren Sie jeweils den $R$–Parameter.

  •   Die WDF ist jeweils mittelwertfrei und symmetrisch  $(S_X = S_Y =0)$  mit  $\sigma_X^2 = 0.25, \ K_X = 2$  bzw.  $\sigma_Y^2 = 0.2, \ K_Y \approx 2.2$.



Zur Handhabung des Applets


Bildschirmabzug

    (A)     Auswahl der Verteilung  $f_X(x)$  (rote Kurven und Ausgabewerte)

    (B)     Parametereingabe für die „rote Verteilung” per Slider

    (C)     Auswahl der Verteilung  $f_Y(y)$  (blaue Kurven und Ausgabewerte)

    (D)     Parametereingabe für die „rote Verteilung” per Slider

    (E)     Grafikbereich für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)

    (F)     Grafikbereich für die Verteilungsfunktion (VTF)

    (G)     Numerikausgabe für die „rote Verteilung”

    (H)     Numerikausgabe für die „blaue Verteilung”

    ( I )     Eingabe der Abszissenwerte  $x_*$  und  $y_*$  für die Numerik–Ausgaben

    (J)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenauswahl

    (K)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Aufgabenstellung

    ( L)     Bereich für die Versuchsdurchführung:   Musterlösung

  • Auswahlmöglichkeiten für  $\rm A$  und  $\rm C$:   Gaußverteilung,   Gleichverteilung,   Dreieckverteilung,   Exponentialverteilung,   Laplaceverteilung,   Rayleighverteilung,  Riceverteilung,   Weibullverteilung,   Wigner–Halbkreisverteilung,   Wigner–Parabelverteilung,   Cauchyverteilung.
  • Folgende integrale Kenngrößen werden ausgegeben  $($bzgl. $X)$:   Linearer Mittelwert  $m_X = {\rm E}\big[X \big]$,   quadratischer Mittelwert  $P_X ={\rm E}\big[X^2 \big] $,   Varianz  $\sigma_X^2 = P_X - m_X^2$,   Standardabweichung (oder Streuung)  $\sigma_X$,  Charliersche Schiefe  $S_X$,   Kurtosis  $K_X$.


In allen Applets oben rechts:    Veränderbare grafische Oberflächengestaltung   ⇒   Theme:

  • Dark:   schwarzer Hintergrund  (wird von den Autoren empfohlen)
  • Bright:   weißer Hintergrund  (empfohlen für Beamer und Ausdrucke)
  • Deuteranopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Grün–Sehschwäche
  • Protanopia:   für Nutzer mit ausgeprägter Rot–Sehschwäche


Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2005 von  Bettina Hirner  im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
  • 2019 wurde das Programm von  Matthias Niller  im Rahmen seiner Ingenieurspraxis auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet  (Betreuer:  Tasnád Kernetzky).


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