Applets:Spektrum: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | K & | + | K & |t|< \Delta t/2\cr |
| − | K/2 & | + | K/2 & |t|= \Delta t/2\cr |
| − | 0 & | + | 0 & |t|> \Delta t/2 |
}.$$ | }.$$ | ||
*Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert. | *Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert. | ||
Version vom 14. September 2017, 09:19 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion
<applet>
Theoretischer Hintergrund
- Der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion $(x(t)$ und dem Spektrum $X(f)$ ist durch die Fouriertransformation (FT) $$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot e^{-j2\pi f t}\hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und deren Inversen (IFT) $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot e^{j2\pi f t} \hspace{0.15cm} {\rm d}f$$ gegeben.
- In allen Beispielen verwenden wir reelle und gerade Funktionen. Somit gilt:
$$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}t$$ und $$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}X(f)\cdot \cos(2\pi ft) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$
- $x(t)$ und $X(f)$ haben unterschiedliche Einheiten, z. B. $x(t)$ in V, $X(f)$ in V/Hz.
- Alle Zeiten sind auf eine Normierungszeit $T$ und alle Frequenzen auf $1/T \Rightarrow$ das Spektrum $X(f)$ muss noch mit $T$ multipliziert werden.
- Der Zusammenhang zwischen Impulse und deren Spektren und der ähnlich aufgebauten Animation „Tiefpass“ basiert auf dem Vertauschungssatz.
Gaußimpuls
- Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t$ lautet:
$$x(t)=K\cdot e^{-\pi\cdot(t/\Delta t)^2}.$$
- Die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ergibt sich aus dem flächengleichen Rechteck.
- Der Wert bei t=$\Delta t/2$ ist um den Faktor 0.456 kleiner als der Wert bei $t=0$.
- Für die Spektralfunktion erhält man gemäß der Fouriertransformation:
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot e^{-\pi(f\cdot \Delta t)^2} .$$
- Je kleiner die äquivalente Zeitdauer $\Delta t$ ist, um so breiter und niedriger ist das Spektrum (Reziprozitätsgesetz von Bandbreite und Impulsdauer).
- Sowohl $x(t)$ als auch $X(f)$ sind zu keinem $ f$- bzw. $t$-Wert exakt gleich Null.
- Praktisch ist der Gaußimpuls in Zeit und Frequenz begrenzt. Zum Beispiel ist $x(t)$ bereits bei $t=1.5 \Delta \cdot t$ auf $1\% $ des Maximums abgefallen.
Rechteckimpuls
- Die Zeitfunktion mit der Höhe $K$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t$ lautet:
$$x(t)= \cases{ K & |t|< \Delta t/2\cr K/2 & |t|= \Delta t/2\cr 0 & |t|> \Delta t/2 }.$$
- Der $\pm \Delta t/2$ - Wert liegt mittig zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert.
- Für die Spektralfunktion erhält man entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation (1. Fourierintegral):
$$X(f)=K\cdot \Delta t \cdot si(\pi\cdot \Delta t \cdot f) \quad \text{mit} \ si(x)=\frac{sin(x)}{x}.$$
- Der Spektralwert bei $f=0$ ist gleich der Rechteckfläche der Zeitfunktion.
- Die Spektralfunktion besitzt Nullstellen in äquidistanten Abständen $1/\Delta t$.
- Das Integral über die Spektralfunktion $X(f)$ ist gleich dem Signalwert zum Zeitpunkt $t=0$, also der Impulsamplitude $K$.
