Applets:Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal: Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|analPhysSignal}}
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{{LntAppletLinkEn|physAnLPSignal_en}}
  
==Programmbeschreibung==
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==Applet Description==
 
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Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen äquivalenten Tiefpass&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
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This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right)+ A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
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:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t)+ x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
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The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das &bdquo;Obere Seitenband&rdquo; mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
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*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; in German: &nbsp;  '''N'''achrichtensignal
*Entsprechend gilt für das &bdquo;Untere Seitenband&rdquo; $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.
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*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; in German: &nbsp; '''T'''rägersignal.
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The nomenclature is also adapted to this case:
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* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband&rdquo; &nbsp; (in German: &nbsp; '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
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*Similarly, for the &bdquo;lower sideband&rdquo; &nbsp; (in German: &nbsp; '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.
  
Das dazugehörige äquivalente Tiefpass&ndash;Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;und &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' =  0$:
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The associated equivalent lowpass&ndash;signal is $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;and &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' =  0$:
  
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
 
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$
 
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$
  
[[Datei:Ortskurve_1.png|right|frame|Äquivalentes TP&ndash;Signal zur Zeit $t=0$ bei cosinusförmigem Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_{\rm T} = 0$]]
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[[Datei:Ortskurve_1.png|right|frame|Equivalent low-pass signal currently $t=0$ for cosinusoidal carrier &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_{\rm T} = 0$]]
Im Programm dargestellt wird $x_{\rm TP}(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$ und cosinusförmigem Träger):
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The program shows $x_{\rm TP}(t)$ as the vectorial sum of three rotation pointers as a violet dot (see figure for start time $t=0$ and cosinusoidal carrier):
  
*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_\text{TP, T}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ liegt in der komplexen Ebene fest. Es gilt also für alle Zeiten $t$: &nbsp; $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.
+
*The (red) pointer of the carrier $x_\text{TP, T}(t)$ with the length $A_{\rm T}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm T}=0$ is fixed in the complex plane. So it applies to all times $t$: &nbsp; $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.
  
*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_\text{TP, O}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.
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*The (blue) pointer of the upper sideband $x_\text{TP, O}(t)$ with the length $A_{\rm O}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematically positive direction (one revolution in time $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.
  
*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, wegen $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Richtung).
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*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with the length $A_{\rm U}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, because of $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ counterclockwise.
  
*Mit $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ drehen der blaue und der grüne Zeiger gleich schnell, aber in unterschiedlichen Richtungen. Gilt zudem $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, so bewegt sich $x_{\rm TP}(t)$ auf einer Geraden mit einer Neigung von $\varphi_{\rm T}$.
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*With $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ the blue and green pointers will spin at the same speed but in different directions. Also, if $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, then $x_{\rm TP}(t)$ moves on a straight line with a incline of $\varphi_{\rm T}$.
  
  
''Hinweis:'' &nbsp; Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel des blauen Zeigers (OSB)  gegenüber dem Koordinatensystem: &nbsp; $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphanlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes (USB, grüner Zeiger) für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel: &nbsp; $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.
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''Note:'' &nbsp; In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. From this follows for the start time $t=0$ the angle of the upper sideband (OSB, blue pointerwith respect to the coordinate system: &nbsp; $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Likewise, the zero phase position $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ of the lower sideband (USB, green pointer) follows for the phase angle to be considered in the complex plane: &nbsp; $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.
  
  
Den zeitlichen Verlauf von $x_{\rm TP}(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Ortskurve'''. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem physikalischen Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ wird im Abschnitt [[???]] angegeben. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:
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The temporal process of $x_{\rm TP}(t)$ is also referred to below as &bdquo;locus&rdquo;. The relationship between $x_{\rm TP}(t)$ and the physical bandpass signal $x(t)$ is given in the section and the associated analytic signal is $x_+(t)$ :
  
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
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[[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_TP-signal|'''Englische Beschreibung''']]
 
  
==Theoretischer Hintergrund==
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[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|'''German description''']]
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==Theoretical Background==
 
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===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
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===Description of Bandpass Signals===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
+
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.
+
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.
  
Die Grafik zeigt ein solches Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.
+
The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.
  
  
Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
+
Beside the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]],
+
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Analytic_Signal|Physical Signal & Analytic Signal]],
*das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben.
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*the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, see next page
 
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===Spektralfunktionen des analytischen und des äquivalenten TP&ndash;Signals===
 
  
Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
+
===Spectral Functions of the Analytic and the Equivalent Lowpass Signal===
[[Datei:Ortskurve_2.png|right|frame|Spektralfunktionen $X_+(f)$ und $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
+
 
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The '''analytic signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
 +
[[Datei:Ortskurve_2.png|right|frame|spectral functions $X(f)$, $X_+(f)$ and $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
 
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
+
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
  
Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
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The ''Signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
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*The (double-sided) limit returns $\sign(0) = 0$.
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
+
*The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.
  
  
Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
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From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$: &nbsp; The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
+
*doubled at the positive frequencies, and
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.
+
*set to zero at the negative frequencies.
  
  
Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.
+
Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f = 0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ is always complex.
  
  
Zum Spektrum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP&ndash;Signals kommt man, indem man $X_+(f)$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links verschiebt:
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The spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent lowpass signal is obtained by shifting $X_+(f)$ to the left by the carrier frequency $f_{\rm T}$:
 
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$
 
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$
  
Im Zeitbereich entspricht diese Operation der Multiplkation von $x_{\rm +}(t)$ mit der komplexen Exponentialfunktion mit negativem Exponenten:
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In the time domain this operation corresponds to the multiplication of $x_{\rm +}(t)$ with the complex exponential function with negative exponent:
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$   
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$   
  
Man erkennt, dass $x_{\rm TP}(t)$ im Allgemeinen komplexwertig ist. Ist aber $X_+(f)$ symmetrisch um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, so ist $X_{\rm TP}(f)$ symmetrisch um die Frequenz $f=0$ und es ergibt sich dementsprechend eine reelle Zeitfunktion $x_{\rm TP}(t)$.  
+
It can be seen that $x_{\rm TP}(t)$ is generally complex. But if $X_+(f)$ is symmetric about the carrier frequency $f_{\rm T}$, $X_{\rm TP}(f)$ is symmetric about the frequency $f=0$ and there is accordingly a real time function $x_{\rm TP}(t)$.
 
+
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===$x_{\rm TP}(t)$ Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations===
  
===$x_{\rm TP}(t)$&ndash;Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===
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In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
 +
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
 +
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
 +
*The indices are based on the modulation method [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|double sideband amplitude modulation]]. &bdquo;T&rdquo; stands for &bdquo;carrier&rdquo;, &bdquo;U&rdquo; for &bdquo;lower sideband&rdquo; and &bdquo;O&rdquo; for &bdquo;upper Sideband&rdquo;. Similarly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.
  
In unserem Applet setzen wir stets  einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
 
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
 
* Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
 
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation]] angelehnt. &bdquo;T&rdquo; steht für &bdquo;Träger&rdquo;, &bdquo;U&rdquo; für &bdquo;Unteres Seitenband&rdquo; und &bdquo;O&rdquo; für &bdquo;Oberes Seitenband&rdquo;. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.
 
  
 
+
The associated equivalent low-pass signal is with $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;and &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' =  0$:
Das dazugehörige äquivalente Tiefpass&ndash;Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;und &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' =  0$:
 
  
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
 
:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
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{{GraueBox|TEXT=
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
+
$\text{Example 1:}$&nbsp;
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.
+
The constellation given here results, for example, in the [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|double sideband amplitude modulation]] of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the exercises.
  
[[Datei:Ortskurve_4.png|center|frame|Spektum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP&ndash;Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]
+
[[Datei:Ortskurve_5.png|center|frame|Spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent low&ndash;pass signal for different phase constellations |class=fit]]
  
Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
+
There are some limitations to the program parameters in this approach:
* Für die Frequenzen gelte stets  $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} =  f_{\rm N}$ und $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} =  -f_{\rm N}$.
+
* The frequencies are always $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} =  f_{\rm N}$ and $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} =  -f_{\rm N}$.
*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
+
*Without distortion, the amplitude of the sidebands is $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.
+
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.
  
 
}}
 
}}
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<br><br>
  
 +
===Representation of the Equivalent Lowpass Signal by Magnitude and Phase===
  
 
+
The generally complex equivalent lowpass signal
 
 
===Darstellung des äquivalenten TP&ndash;Signals nach Betrag und Phase===
 
 
 
Das im Allgemeinen komplexwertige äquivalenten TP&ndash;Signal
 
 
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
 
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
kann entsprechend der hier angegebenen Gleichung in eine Betragsfunktion $a(t)$ und eine Phasenfunktion $\phi(t)$ aufgespalten werden, wobei gilt:
+
can be split into a magnitude function $a(t)$ and a phase function $\phi(t)$ according to the equation given here, where:
 
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
 
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
 
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$
 
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$
  
Der Grund dafür, dass man ein Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ meist durch das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ beschreibt ist, dass die Funktionen $a(t)$ und $\phi(t)$ in beiden Darstellungen interpretierbar sind:
+
The reason for this is that a bandpass signal $x(t)$ is usually described by the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ that the functions $a(t)$ and $\phi(t)$ are interpretable in both representations:
*Der Betrag $a(t)$ des äquivalentes TP&ndash;Signals $x_{\rm TP}(t)$ gibt die (zeitabhängige) Hüllkurve von $x(t)$ an.
+
*The amount $a(t)$ of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ indicates the (time-dependent) envelope of $x(t)$.
*Die Phase $\phi(t)$ von $x_{\rm TP}(t)$ kennzeichnet die Lage der Nulldurchgänge von $x(t)$, wobei gilt:
+
*The phase $\phi(t)$ of $x_{\rm TP}(t)$ denotes the location of the zero crossings of $x(t)$, where:
:&ndash; &nbsp; Bei $\phi(t)>0$ ist der Nulldurchgang früher als seine Solllage &nbsp; &rArr; &nbsp; das Signal ist hier vorlaufend.
+
:&ndash; &nbsp; For $\phi(t)>0$ the zero crossing is earlier than its nominal position &nbsp; &rArr; &nbsp; the signal is leading here.
:&ndash; &nbsp;Bei $\phi(t)<0$ ist der Nulldurchgang später als seine Solllage &nbsp; &rArr; &nbsp; das Signal ist hier nachlaufend.
+
:&ndash; &nbsp;When $\phi(t)<0$, the zero crossing is later than its target position &nbsp; &rArr; &nbsp; the signal is trailing here.
 +
 
  
 
{{GraueBox|TEXT=
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
+
$\text{Example 2:}$&nbsp;
Die Grafik soll diesen Zusammenhang verdeutlichen, wobei $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ vorausgesetzt ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  der grüne Zeiger (für das untere Seitenband) ist länger als der blaue Zeiger (oberes Seitenband). Es handelt sich um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt $t_0$:
+
The graph is intended to illustrate this relationship, assuming $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  the green pointer (for the lower sideband) is longer than the blue pointer (upper sideband). This is a snapshot at time $t_0$:
  
[[Datei:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
+
[[Datei:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|bandpass spectrum $X(f)$ |class=fit]]
  
*Bei diesen Systemparametern liegt die Spitze des Zeigerverbundes $x_{\rm TP}(t)$ &ndash; also die geometrisch Summe aus rotem, blauem und grünem Zeiger &ndash; auf einer Ellipse.  
+
*For these system parameters, the top of the pointer cluster $x_{\rm TP}(t)$ &ndash; that is, the geometric sum of red, blue and green pointers &ndash; on an ellipse.  
* In der linken Grafik schwarz eingezeichnet ist der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ und in brauner Farbe angedeutet ist der Phasenwert $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0.$
+
* The amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ is drawn in black in the left-hand diagram and the phase value $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0$ is indicated in brown color.
*In der rechten Grafik gibt der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ des äquivalenten TP&ndash;Signals die Hüllkurve des physikalischen Signals $x(t)$ an.
+
*In the graph on the right, the amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ of the equivalent low-pass signal indicates the envelope of the physical signal $x(t)$.
* Bei $\phi(t) \equiv 0$ würden alle Nulldurchgänge von $x(t)$ in äquidistenten Abständen auftreten. Wegen $\phi(t_0)  > 0$ ist zum Zeitpunkt $t_0$ das Signal vorlaufend, das heißt: Die Nulldurchgänge kommen früher, als es das Raster vorgibt. }}
+
* At $\phi(t) \equiv 0$, all zero crossings of $x(t)$ would occur at equidistant intervals. Because of $\phi(t_0)  > 0$, the signal is leading at the time $t_0$, that is: the zero crossings come earlier than the grid dictates. }}
  
 +
==Exercises==
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[[Datei:Exercises_verzerrungen.png|right]]
 +
*First select the task number.
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*A task description is displayed.
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*Parameter values are adjusted.
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*Solution after pressing &bdquo;Hide solition&rdquo;.
  
==Versuchsdurchführung==
 
[[Datei:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
 
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
 
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
 
*Parameterwerte sind angepasst.
 
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition&rdquo;.
 
  
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The number &bdquo;0&rdquo; will reset the program and output a text with the further explanation of the applet.
  
Mit der Nummer &bdquo;0&rdquo; wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.
 
  
 
+
In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$, &nbsp;
 
+
$\rm Red$ the carrier &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$, &nbsp;
+
$\rm Blue$ the upper sideband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.
$\rm Rot$ den Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
 
$\rm Blau$ das Obere Seitenband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.
 
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)''' &nbsp; Es gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
+
'''(1)''' &nbsp; Let &nbsp; $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
  
:Betrachten und interpretieren Sie das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ und das physikalische Signal $x(t)$. Welche Periodendauer $T_0$ erkennt man?}}
+
:Consider and interpret the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ and the physical signal $x(t)$. Which period $T_0$ recognizable?}}
  
::&nbsp;Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Der Betrag $|x_{\rm TP}(t)|$ gibt die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $x(t)$ an. Es gilt mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ und $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$: &nbsp; $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br>&nbsp;Sowohl $x_{\rm TP}(t)$ als auch $x(t)$ sind periodisch mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm &micro; s$.
+
::&nbsp;The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;The amount $|x_{\rm TP}(t)|$ indicates the envelope $a(t)$ of the physical signal $x(t)$. It holds $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ and $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$: &nbsp; $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br>&nbsp;Both $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are periodically with the period $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm &micro; s$.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)''' &nbsp; Wie ändern sich die Verhältnisse gegenüber '''(1)''' mit $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ und $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$&nbsp;? Wie könnte $x(t)$ entstanden sein?}}
+
'''(2)''' &nbsp; How do the ratios change to '''(1)''' with $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ and $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$&nbsp;? How could $x(t)$ have arisen?}}
  
::&nbsp;Für die Hüllkurve $a(t)$ des Signals $x(t)$ gilt weiterhin $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, aber nun mit $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Auch wenn es nicht zu erkennen ist:<br>&nbsp;$x_{\rm TP}(t)$ und $x(t)$ sind weiterhin periodisch: &nbsp; $T_0 = 1\ \rm ms$. Beispiel: Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation '''(ZSB&ndash;AM)''' eines Sinussignals mit Cosinus&ndash;Träger.  
+
::&nbsp;For the envelope $a(t)$ of the signal $x(t)$ we still have $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, but now $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Even though it can not be recognized:<br>&nbsp;$x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are still periodically: &nbsp; $T_0 = 1\ \rm ms$. Example: Double sideband Amplitude modulation '''(DSB&ndash;AM)''' of a sine signal with cosine carrier.  
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)''' &nbsp; Welche Einstellungen müssen gegenüber '''(2)''' geändert werden, um zur ZSB&ndash;AM eines Cosinussignals mit Sinus&ndash;Träger zu gelangen. Was ändert sich gegenüber '''(2)'''?}}
+
'''(3)''' &nbsp; Which settings have to be changed from '''(2)''' in order to arrive at the DSB&ndash;AM of a cosine signal with sine carrier. What changes over '''(2)'''?}}
  
::Die Trägerphase muss auf $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ geändert werden &nbsp; &rArr; &nbsp; Sinus&ndash;Träger. Ebenso muss $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ eingestellt werden &nbsp; &rArr; &nbsp; cosinusförmige Nachricht<br>&nbsp;Die Ortskurve liegt nun auf der imaginären Achse&nbsp; &rArr; &nbsp; $\phi(t) \equiv -90^\circ$. Zu Beginn gilt $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.
+
::The carrier phase must be changed to $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; sine carrier. Similarly, $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ must be set &nbsp; &rArr; &nbsp; cosinusoidal message<br>&nbsp;The locus now lies on the imaginary axis&nbsp; &rArr; &nbsp; $\phi(t) \equiv -90^\circ$. At the beginning $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)''' &nbsp; Nun gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \  \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.  
+
'''(4)''' &nbsp; Now let &nbsp; $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \  \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.  
  
:Welche Eigenschaften weist dieses System &bdquo;ZSB&ndash;AM, wobei Nachrichtensignal und Träger jeweils cosinusförmig&rdquo; auf? Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?}}
+
:What are the characteristics of this system &bdquo;DSB&ndash;AM, where the message signal and carrier are respectively cosinusoidal&rdquo;? What is the degree of modulation $m$?}}
  
::&nbsp;Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Bis auf den Startzustand $x_{\rm TP}(t=0)$ gleiches Verhalten wie bei der Einstellung '''(1)'''. Der Modulationsgrad ist jeweils $m = 0.8$.  
+
::&nbsp;The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Except for the start state $x_{\rm TP}(t=0)$ same behavior as at the setting '''(1)'''. The degree of modulation is $m = 0.8$.  
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. Wie groß ist nun der Modulationsgrad $m$? Welche Konsequenzen hat das?}}
+
'''(5)''' &nbsp; The parameters are still valid according to '''(4)''' with the exception of $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. What is the degree of modulation $m$? What are the consequences?}}
  
::&nbsp;Es liegt nun eine ZSB&ndash;AM mit Modulationsgrad $m = 1.333$ vor. Bei $m > 1$ ist die einfachere [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]] nicht anwendbar, da nun die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ nicht mehr konstant ist und die Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr mit dem Nachrichtensignal übereinstimmt. Vielmehr muss die aufwändigere [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] verwendet werden. Bei Hüllkurvendemodulation käme es zu nichtlinearen Verzerrungen.
+
::&nbsp;There is now a DSB&ndash;AM with modulation degree $m = 1.333$. For $m > 1$, the simpler ''Envelope Demodulation'' is not applicable, since the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ is no more constant and the envelope $a(t)$ no more matches the message signal. Rather, the complex ''Synchronous Demodulation'' must be used. Envelope detection would produce nonlinear distortions.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' bzw. '''(5)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; $m \to \infty$. Welches Modulationsverfahren wird so beschrieben?}}
+
'''(6)''' &nbsp; The parameters are still valid according to '''(4)''' or '''(5)''' with the exception from $A_{\rm T}= 0$ on &nbsp; &rArr; &nbsp; $m \to \infty$. Which modulation method is described in this way?}}
  
::Es handelt sich um eine '''ZSB&ndash;AM ohne Träger''' und es ist eine eine Synchrondemodulation erforderlich. Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ liegt zwar auf der reellen Achse, aber nicht nur in der rechten Halbebene. Damit gilt auch hier für die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, wodurch Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar ist.
+
::It is a '''DSB&ndash;AM without carrier''' and a synchronous demodulation is required. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ is on the real axis, but not only in the right half-plane. Thus, the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, also applies here, which means that ''Envelope Demodulation'' is not applicable.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)''' &nbsp; Nun gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
+
'''(7)''' &nbsp; Now let &nbsp; $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
  
:Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Eigenschaften dieses Verfahrens erkennt man aus der Grafik?}}
+
:Which constellation is described here? Which characteristics of this procedure can be recognized from the graphic?}}
  
::Es handelt es sich um eine [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB&ndash;AM)''', genauer gesagt um eine '''OSB&ndash;AM''': Der rote Träger liegt fest, der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger (OSB) dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Modulationsgrad ist $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.<br>Die Ortskurve ist ein Kreis. $x_{\rm TP}(t)$ bewegt sich darauf in mathematisch positiver Richtung. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ ist auch hier die Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar: &nbsp;Dies erkennt man daran, dass die Hüllkurve $a(t)$ nicht cosinusförmig ist. Vielmehr ist die untere Halbwelle spitzer als die obere &nbsp; &rArr; &nbsp; starke lineare Verzerrungen.
+
::It is a [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|single-sideband modulation]] '''(SSB&ndash;AM)''', more specifically an '''OSB&ndash;AM''': the red carrier is fixed, the green pointer missing and the blue pointer (OSB) turns counterclockwise. The degree of modulation is $\mu = 0.8$ (in the case of SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal sinusoidal.<br>The locus is a circle. $x_{\rm TP}(t)$ moves in a mathematically positive direction. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ the envelope demodulation is not applicable here: &nbsp;This can be seen by the fact that the envelope $a(t)$ is not cosinusoidal. Rather, the lower half-wave is sharper than the upper one &nbsp; &rArr; &nbsp; strong linear distortions.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(8)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O}= 0$ und $A_{\rm U}= 0.8 \text{V}$. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}
+
'''(8)''' &nbsp; The parameters are still valid according to '''(7)''' with the exception of $A_{\rm O}= 0$ and $A_{\rm U}= 0.8 \text{ V}$. What differences arise opposite '''(7)'''?}}
  
::Nun handelt es sich um eine '''USB&ndash;AM''': Der rote Träger liegt fest, der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger (USB) dreht im Uhrzeigersinn. Alle anderen Aussagen von '''(7)''' treffen auch hier zu.
+
::Now it is a '''LSB&ndash;AM''': The red carrier is fixed, the blue pointer is missing and the green pointer (LSB) rotates clockwise. All other statements of '''(7)''' apply here as well.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(9)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}
+
'''(9)''' &nbsp; The parameters according to '''(7)''' are still valid with the exception of $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. What are the differences from '''(7)'''?}}
 
 
::Die Ortskurve $x_{\rm TP}(t)$ ist nun keine horizontale Gerade, sondern eine Ellipse mit dem Realteil zwischen $0.4 \text{ V}$ und $1.6 \text{ V}$ sowie dem Imaginärteil im Bereich $\pm 0.2  \text{ V}$. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ würde auch hier die Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen führen<br>Die hier simulierte Konstellation beschreibt die Situation von  '''(4)''', nämlich eine ZSB&ndash;AM mit Modulationsgrad $m = 0.8$, wobei das obere Seitenband aufgrund der Kanaldämpfung auf $50\%$ reduziert wird.
 
 
 
 
 
 
 
==Zur Handhabung des Applets==
 
[[Datei:Handhabung_verzerrungen.png|center]]
 
<br>
 
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für das Eingangssignal $x(t)$ per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für die Kanalparameter: per Slider, Tiefpass oder Hochpass
+
::The locus $x_{\rm TP}(t)$ is not a horizontal straight line, but an ellipse with the real part between $0.4 \text{ V}$ and $1.6 \text{ V}$ and the imaginary part in the range $\pm 0.2  \text{ V}$. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ , Envelope demodulation would lead to non-linear distortions here too.<br> The constellation simulated here describes the situation of  '''(4)''', namely a DSB&ndash;AM with modulation degree $m = 0.8$, where the upper sideband is reduced to $50\%$ due to channel attenuation.
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Kanalparameter per Slider: Dämpfungsfaktoren und Phasenlaufzeiten
+
==Applet Manual==
 +
[[Datei:Ortskurve_abzug3.png|right]]
 +
* The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$  and the red pointer mark the ''Carrier'' <br>(German: '''T'''räger).
 +
* The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$  mark the ''Lower sideband'' <br>(German: '''U'''ntere Seitenband).
 +
* The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$  mark the '' Upper sideband'' <br>(German: '''O'''bere Seitenband).
 +
* The red pointer does not turn.
 +
* The green pointer rotates in a mathematically negative direction (clockwise).
 +
* The blue pointer turns counterclockwise.
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Kanalparameter für Hoch&ndash; und Tiefpass: Ordnung $n$, Grenzfrequenz $f_0$
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Matching&ndash;Parameter $k_{\rm M}$ und $\varphi_{\rm M}$
+
<u>Meaning of the letters in the adjacent graphic:</u>
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der darzustellenden Signale: $x(t)$,  $y(t)$, $z(t)$, $\varepsilon(t)$, $\varepsilon^2(t)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Plot of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Signale
+
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Plot of the physical signal $x(t)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe
+
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Parameter input via slider: &nbsp; amplitudes, frequencies, phase values
  
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe der Signalwerte $x(t_*)$,  $y(t_*)$, $z(t_*)$  und $\varepsilon(t_*)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Control elements: &nbsp; Start &ndash; Step &ndash; Pause/Continue &ndash; Reset
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $P_\varepsilon$
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Speed of animation: &nbsp; &bdquo;Speed&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; Values: 1, 2 oder 3
  
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; &bdquo;Trace&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp;  On or Off, trace of equivalent lowpass signal &nbsp; $x_{\rm TP}(t)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl, Aufgabenstellung und Musterlösung
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Numerical output: &nbsp; time $t$, the signal values &nbsp;${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$ &nbsp;and&nbsp; ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,
  
&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung
+
$\text{}\hspace{4.2cm}$ &nbsp; envelope $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$ &nbsp;and&nbsp; phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$
  
$\hspace{1.5cm}$Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
+
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variations for the graphical representation
  
$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
+
$\hspace{1.5cm}$Zoom&ndash;Functions &bdquo;$+$&rdquo; (Enlarge), &bdquo;$-$&rdquo; (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)
  
$\hspace{1.5cm}$'''Andere Möglichkeiten''':
+
$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Section to the left, ordinate to the right),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
  
$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
+
&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Experiment section: &nbsp; Task selection and task
  
$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Experiment section:&nbsp; solution
 +
<br clear=all>
  
==Über die Autoren==
+
==About the Authors==
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
+
This interactive calculation was designed and realized at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] of the  [https://www.tum.de/ Technical University of Munich] .
*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
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*The original version was created in 2005 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her Diploma thesis using  &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*2018 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.
+
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5&rdquo; by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
  
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
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==Once again: Open Applet in new Tab==
  
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+
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[[Category:Applets|^Verzerrungen^]]
 
[[Category:Applets|^Verzerrungen^]]

Version vom 9. Juni 2020, 21:04 Uhr

Open Applet in new Tab

Applet Description


This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:

$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t)+ x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$

The physical signal $x(t)$ is thus composed of three harmonic oscillations, a constellation that can be found, for example, in the Double-sideband Amplitude Modulation

  • of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$   ⇒   in German:   Nachrichtensignal
  • with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$   ⇒   in German:   Trägersignal.


The nomenclature is also adapted to this case:

  • $x_{\rm O}(t)$ denotes the „upper sideband”   (in German:   Oberes Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
  • Similarly, for the „lower sideband”   (in German:   Unteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.


The associated equivalent lowpass–signal is $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$
Equivalent low-pass signal currently $t=0$ for cosinusoidal carrier   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$

The program shows $x_{\rm TP}(t)$ as the vectorial sum of three rotation pointers as a violet dot (see figure for start time $t=0$ and cosinusoidal carrier):

  • The (red) pointer of the carrier $x_\text{TP, T}(t)$ with the length $A_{\rm T}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm T}=0$ is fixed in the complex plane. So it applies to all times $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.
  • The (blue) pointer of the upper sideband $x_\text{TP, O}(t)$ with the length $A_{\rm O}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematically positive direction (one revolution in time $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.
  • The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with the length $A_{\rm U}$ and the zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, because of $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ counterclockwise.
  • With $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ the blue and green pointers will spin at the same speed but in different directions. Also, if $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, then $x_{\rm TP}(t)$ moves on a straight line with a incline of $\varphi_{\rm T}$.


Note:   In the figure $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. From this follows for the start time $t=0$ the angle of the upper sideband (OSB, blue pointer) with respect to the coordinate system:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Likewise, the zero phase position $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ of the lower sideband (USB, green pointer) follows for the phase angle to be considered in the complex plane:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.


The temporal process of $x_{\rm TP}(t)$ is also referred to below as „locus”. The relationship between $x_{\rm TP}(t)$ and the physical bandpass signal $x(t)$ is given in the section and the associated analytic signal is $x_+(t)$ :

$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$



German description

Theoretical Background


Description of Bandpass Signals

bandpass spectrum $X(f)$

We consider bandpass signals $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but around a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.

The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$, if $x(t)$ is an even function   ⇒   $x(-t)=x(t)$, $X(f)$ is real and even.


Beside the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$, one can also use the following descriptions of bandpass signals:

  • the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see applet Physical Signal & Analytic Signal,
  • the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, see next page



Spectral Functions of the Analytic and the Equivalent Lowpass Signal

The analytic signal $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:

spectral functions $X(f)$, $X_+(f)$ and $X_{\rm TP}(f)$
$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

The Signum function is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.

  • The (double-sided) limit returns $\sign(0) = 0$.
  • The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.


From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:   The actual bandpass spectrum $X(f)$ becomes

  • doubled at the positive frequencies, and
  • set to zero at the negative frequencies.


Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f = 0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ is always complex.


The spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent lowpass signal is obtained by shifting $X_+(f)$ to the left by the carrier frequency $f_{\rm T}$:

$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

In the time domain this operation corresponds to the multiplication of $x_{\rm +}(t)$ with the complex exponential function with negative exponent:

$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

It can be seen that $x_{\rm TP}(t)$ is generally complex. But if $X_+(f)$ is symmetric about the carrier frequency $f_{\rm T}$, $X_{\rm TP}(f)$ is symmetric about the frequency $f=0$ and there is accordingly a real time function $x_{\rm TP}(t)$.

$x_{\rm TP}(t)$ Representation of a Sum of Three Harmonic Oscillations

In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:

$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right) + A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
  • Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
  • The indices are based on the modulation method double sideband amplitude modulation. „T” stands for „carrier”, „U” for „lower sideband” and „O” for „upper Sideband”. Similarly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.


The associated equivalent low-pass signal is with $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  and  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

$\text{Example 1:}$  The constellation given here results, for example, in the double sideband amplitude modulation of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed frequently in the exercises.

Spectrum $X_{\rm TP}(f)$ of the equivalent low–pass signal for different phase constellations

There are some limitations to the program parameters in this approach:

  • The frequencies are always $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ and $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
  • Without distortion, the amplitude of the sidebands is $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
  • The respective phase relationships can be seen in the following graphic.



Representation of the Equivalent Lowpass Signal by Magnitude and Phase

The generally complex equivalent lowpass signal

$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$

can be split into a magnitude function $a(t)$ and a phase function $\phi(t)$ according to the equation given here, where:

$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

The reason for this is that a bandpass signal $x(t)$ is usually described by the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ that the functions $a(t)$ and $\phi(t)$ are interpretable in both representations:

  • The amount $a(t)$ of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ indicates the (time-dependent) envelope of $x(t)$.
  • The phase $\phi(t)$ of $x_{\rm TP}(t)$ denotes the location of the zero crossings of $x(t)$, where:
–   For $\phi(t)>0$ the zero crossing is earlier than its nominal position   ⇒   the signal is leading here.
–  When $\phi(t)<0$, the zero crossing is later than its target position   ⇒   the signal is trailing here.


$\text{Example 2:}$  The graph is intended to illustrate this relationship, assuming $A_{\rm U} > A_{\rm O}$   ⇒   the green pointer (for the lower sideband) is longer than the blue pointer (upper sideband). This is a snapshot at time $t_0$:

bandpass spectrum $X(f)$
  • For these system parameters, the top of the pointer cluster $x_{\rm TP}(t)$ – that is, the geometric sum of red, blue and green pointers – on an ellipse.
  • The amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ is drawn in black in the left-hand diagram and the phase value $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0$ is indicated in brown color.
  • In the graph on the right, the amount $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ of the equivalent low-pass signal indicates the envelope of the physical signal $x(t)$.
  • At $\phi(t) \equiv 0$, all zero crossings of $x(t)$ would occur at equidistant intervals. Because of $\phi(t_0) > 0$, the signal is leading at the time $t_0$, that is: the zero crossings come earlier than the grid dictates.

Exercises

Exercises verzerrungen.png
  • First select the task number.
  • A task description is displayed.
  • Parameter values are adjusted.
  • Solution after pressing „Hide solition”.


The number „0” will reset the program and output a text with the further explanation of the applet.


In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,   $\rm Red$ the carrier   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and $\rm Blue$ the upper sideband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

(1)   Let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

Consider and interpret the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ and the physical signal $x(t)$. Which period $T_0$ recognizable?
 The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.
 The amount $|x_{\rm TP}(t)|$ indicates the envelope $a(t)$ of the physical signal $x(t)$. It holds $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ and $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.
 Both $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are periodically with the period $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.


(2)   How do the ratios change to (1) with $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ and $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? How could $x(t)$ have arisen?

 For the envelope $a(t)$ of the signal $x(t)$ we still have $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, but now $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Even though it can not be recognized:
 $x_{\rm TP}(t)$ and $x(t)$ are still periodically:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Example: Double sideband Amplitude modulation (DSB–AM) of a sine signal with cosine carrier.


(3)   Which settings have to be changed from (2) in order to arrive at the DSB–AM of a cosine signal with sine carrier. What changes over (2)?

The carrier phase must be changed to $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$   ⇒   sine carrier. Similarly, $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ must be set   ⇒   cosinusoidal message
 The locus now lies on the imaginary axis  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. At the beginning $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.


(4)   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

What are the characteristics of this system „DSB–AM, where the message signal and carrier are respectively cosinusoidal”? What is the degree of modulation $m$?
 The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ takes from $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ on the real axis values between $0.2\ \text{V}$ and $1.8\ \text{V}$   ⇒   phase $\phi(t) \equiv 0$.
 Except for the start state $x_{\rm TP}(t=0)$ same behavior as at the setting (1). The degree of modulation is $m = 0.8$.


(5)   The parameters are still valid according to (4) with the exception of $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. What is the degree of modulation $m$? What are the consequences?

 There is now a DSB–AM with modulation degree $m = 1.333$. For $m > 1$, the simpler Envelope Demodulation is not applicable, since the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ is no more constant and the envelope $a(t)$ no more matches the message signal. Rather, the complex Synchronous Demodulation must be used. Envelope detection would produce nonlinear distortions.


(6)   The parameters are still valid according to (4) or (5) with the exception from $A_{\rm T}= 0$ on   ⇒   $m \to \infty$. Which modulation method is described in this way?

It is a DSB–AM without carrier and a synchronous demodulation is required. The equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$ is on the real axis, but not only in the right half-plane. Thus, the phase function $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, also applies here, which means that Envelope Demodulation is not applicable.


(7)   Now let   $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

Which constellation is described here? Which characteristics of this procedure can be recognized from the graphic?
It is a single-sideband modulation (SSB–AM), more specifically an OSB–AM: the red carrier is fixed, the green pointer missing and the blue pointer (OSB) turns counterclockwise. The degree of modulation is $\mu = 0.8$ (in the case of SSB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead of $m$). The carrier signal is cosinusoidal and the message signal sinusoidal.
The locus is a circle. $x_{\rm TP}(t)$ moves in a mathematically positive direction. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ the envelope demodulation is not applicable here:  This can be seen by the fact that the envelope $a(t)$ is not cosinusoidal. Rather, the lower half-wave is sharper than the upper one   ⇒   strong linear distortions.


(8)   The parameters are still valid according to (7) with the exception of $A_{\rm O}= 0$ and $A_{\rm U}= 0.8 \text{ V}$. What differences arise opposite (7)?

Now it is a LSB–AM: The red carrier is fixed, the blue pointer is missing and the green pointer (LSB) rotates clockwise. All other statements of (7) apply here as well.


(9)   The parameters according to (7) are still valid with the exception of $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. What are the differences from (7)?

The locus $x_{\rm TP}(t)$ is not a horizontal straight line, but an ellipse with the real part between $0.4 \text{ V}$ and $1.6 \text{ V}$ and the imaginary part in the range $\pm 0.2 \text{ V}$. Because of $\phi(t) \ne \text{const.}$ , Envelope demodulation would lead to non-linear distortions here too.
The constellation simulated here describes the situation of (4), namely a DSB–AM with modulation degree $m = 0.8$, where the upper sideband is reduced to $50\%$ due to channel attenuation.

Applet Manual

Ortskurve abzug3.png
  • The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$ and the red pointer mark the Carrier
    (German: Träger).
  • The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ mark the Lower sideband
    (German: Untere Seitenband).
  • The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ mark the Upper sideband
    (German: Obere Seitenband).
  • The red pointer does not turn.
  • The green pointer rotates in a mathematically negative direction (clockwise).
  • The blue pointer turns counterclockwise.


Meaning of the letters in the adjacent graphic:

    (A)     Plot of the equivalent lowpass signal $x_{\rm TP}(t)$

    (B)     Plot of the physical signal $x(t)$

    (C)     Parameter input via slider:   amplitudes, frequencies, phase values

    (D)     Control elements:   Start – Step – Pause/Continue – Reset

    (E)     Speed of animation:   „Speed”   ⇒   Values: 1, 2 oder 3

    (F)     „Trace”   ⇒   On or Off, trace of equivalent lowpass signal   $x_{\rm TP}(t)$

    (G)     Numerical output:   time $t$, the signal values  ${\rm Re}[x_{\rm TP}(t)]$  and  ${\rm Im}[x_{\rm TP}(t)]$,

$\text{}\hspace{4.2cm}$   envelope $a(t) = |x_{\rm TP}(t)|$  and  phase $\phi(t) = {\rm arc} \ x_{\rm TP}(t)$

    (H)     Variations for the graphical representation

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Functions „$+$” (Enlarge), „$-$” (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)

$\hspace{1.5cm}$Move with „$\leftarrow$” (Section to the left, ordinate to the right), „$\uparrow$” „$\downarrow$” „$\rightarrow$”

    (I)     Experiment section:   Task selection and task

    (J)     Experiment section:  solution

About the Authors

This interactive calculation was designed and realized at the Lehrstuhl für Nachrichtentechnik of the Technical University of Munich .

  • The original version was created in 2005 by Ji Li as part of her Diploma thesis using „FlashMX–Actionscript” (Supervisor: Günter Söder).
  • In 2018 this Applet was redesigned and updated to „HTML5” by Xiaohan Liu as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: Tasnád Kernetzky).

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