Applets:Physical Signal & Equivalent Lowpass Signal: Unterschied zwischen den Versionen

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{{LntAppletLink|analPhysSignal}}
 
{{LntAppletLink|analPhysSignal}}
  
==Applet Description==
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==Programmbeschreibung==
 
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This applet shows the relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated analytic signal $x_+(t)$. It is assumed that the bandpass signal $x(t)$ has a frequency-discrete spectrum $X(f)$:
+
Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen äquivalenten Tiefpass&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
+
:$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right)+ A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$
The physical signal $x(t)$ is thus composed of three [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonic oscillations]], a constellation that can be found, for example, in the ''Double-sideband Amplitude Modulation''
+
Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|harmonischen Schwingungen]] zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:
*of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; in German: &nbsp;  '''N'''achrichtensignal
+
* $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das &bdquo;Obere Seitenband&rdquo; mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
*with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; in German: &nbsp; '''T'''rägersignal.
+
*Entsprechend gilt für das &bdquo;Untere Seitenband&rdquo; $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.
+
 
  
The nomenclature is also adapted to this case:
+
Das dazugehörige äquivalente Tiefpass&ndash;Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;und &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:
* $x_{\rm O}(t)$ denotes the &bdquo;upper sideband&rdquo; &nbsp; (in German: &nbsp; '''O'''beres Seitenband) with the amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, the frequency $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ and the phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
 
*Similarly, for the &bdquo;lower sideband&rdquo; &nbsp; (in German: &nbsp; '''U'''nteres Seitenband) $x_{\rm U}(t)$ with $f_{\rm U} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ and $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.
 
  
 +
:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
 +
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$
  
The associated analytical signal is:
+
[[Datei:Ortskurve_1.png|right|frame|Äquivalentes TP&ndash;Signal zur Zeit $t=0$ bei cosinusförmigem Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\varphi_{\rm T} = 0$]]
 +
Im Programm dargestellt wird $x_{\rm TP}(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$ und cosinusförmigem Träger):
  
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
+
*Der (rote) Zeiger des Trägers $x_\text{TP, T}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ liegt in der komplexen Ebene fest. Es gilt also für alle Zeiten $t$: &nbsp; $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
 
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$
 
  
[[Datei:Zeigerdiagramm_2a_version2.png|right|frame|Analytical signal at the time $t=0$]]
+
*Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_\text{TP, O}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.
The program displays $x_+(t)$ as the vectorial sum of three rotating pointers (all with positive rotation) as a violet dot (see example graphic for start time $t=0$):
 
  
*The (red) pointer of the carrier $x_{\rm T+}(t)$ with length $A_{\rm T}$ and zero phase position $\varphi_{\rm T} = 0$ rotates at constant angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}$ (one revolution in time $1/f_{\rm T})$.
+
*Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, wegen $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Richtung).
  
*The (blue) pointer of the upper sideband $x_{\rm O+}(t)$ with length $A_{\rm O}$ and zero phase position $\varphi_{\rm O}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}$, which is slightly faster than $x_{\rm T+}(t)$.
+
*Mit $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ drehen der blaue und der grüne Zeiger gleich schnell, aber in unterschiedlichen Richtungen. Gilt zudem $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, so bewegt sich $x_{\rm TP}(t)$ auf einer Geraden mit einer Neigung von $\varphi_{\rm T}$.
  
*The (green) pointer of the lower sideband $x_{\rm U+}(t)$ with length $A_{\rm U}$ and zero phase position $\varphi_{\rm U}$ rotates at the angular velocity $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}$, which is slightly faster than $x_{\rm T+}(t)$.
 
  
 +
''Hinweis:'' &nbsp; Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel des blauen Zeigers (OSB)  gegenüber dem Koordinatensystem: &nbsp; $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphanlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes (USB, grüner Zeiger) für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel: &nbsp; $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.
  
The time course of $x_+(t)$ is also referred to below as '''Pointer Diagram'''. The relationship between the physical bandpass signal $x(t)$ and the associated analytic signal $x_+(t)$ is:
 
  
:$$x(t) = {\rm Re}\big [x_+(t)\big ].$$
+
Den zeitlichen Verlauf von $x_{\rm TP}(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als '''Ortskurve'''. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem physikalischen Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ wird im Abschnitt [[???]] angegeben. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:
  
''Note:'' &nbsp; The graphic applies to $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. From this follows for the start time $t=0$ the angle with respect to the coordinate system: &nbsp; $\phi_{\rm O}=-\varphi_{\rm O}=-30^\circ$. Similarly, from the null phantom $\varphi_{\rm U}=-30^\circ$ of the lower sideband follows for the phase angle to be considered in the complex plane: &nbsp; $\phi_{\rm U}=+30^\circ$.
+
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
 +
:$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$
  
  
[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|'''German description''']]  
+
[[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_TP-signal|'''Englische Beschreibung''']]  
  
==Theoretical Background==
+
==Theoretischer Hintergrund==
 
<br>
 
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===Description of bandpass signals===
+
===Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen===
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass&ndash;spectrum $X(f)$ |class=fit]]
+
[[Datei:Zeigerdiagramm_1a.png|right|frame|Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
We consider '''bandpass signals''' $x(t)$ with the property that their spectra $X(f)$ are not in the range around the frequency $f=0$, but by a carrier frequency $f_{\rm T}$. In most cases it can also be assumed that the bandwidth is $B \ll f_{\rm T}$.
+
Wir betrachten hier '''Bandpass-Signale''' $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.
  
The figure shows such a bandpass spectrum $X(f)$. Assuming that the associated $x(t)$ is a physical signal and thus real, the spectral function $X(f)$ has a symmetry with respect to the frequency $f = 0$&nbsp; &rArr; &nbsp; $x(t)$ is an even function &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(-t)=x(t)$, so $X(f)$ is real and even.
+
Die Grafik zeigt ein solches Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion &nbsp; &rArr; &nbsp; $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.
  
  
Beside the physical signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ we use for the description of Bandpass signals alike:
+
Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:
*the analytic signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, see next page,
+
*das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, siehe Applet [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]],
*the equivalent low-pass &ndash;signal &nbsp; (in German: &nbsp; äquivalentes '''T'''ief'''P'''ass&ndash;Signal) $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, <br>see Applet [[Applets:Physical_Signal_%26_Equivalent_Low-pass_Signal|Physical Signal & Equivalent Low&ndash;pass signal]].
+
*das äquivalente Tiefpass&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben.
 
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===Analytical signal &ndash; Frequency domain===
+
===Spektralfunktionen des analytischen und des äquivalenten TP&ndash;Signals===
  
The '''analytical signal''' $x_+(t)$ belonging to the physical signal $x(t)$ is the time function whose spectrum fulfills the following property:
+
Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
[[Datei:Zeigerdiagramm_3a.png|right|frame|Construction of the spectral function $X_+(f)$ |class=fit]]
+
[[Datei:Ortskurve_2.png|right|frame|Spektralfunktionen $X_+(f)$ und $X_{\rm TP}(f)$ |class=fit]]
 
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 
:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm for\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
+
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
  
The ''signum function'' is for positive values of $f$ equal to $+1$ and for negative $f$ values equal to $-1$.
+
Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.
* The (double-sided) limit returns $\sign(0)=0$.
+
*Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
* The index „+” should make it clear that $X_+(f)$ only has parts at positive frequencies.
+
*Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
  
  
From the graph you can see the calculation rule for $X_+(f)$:  
+
Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
 +
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
 +
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.
  
The actual band pass spectrum $X(f)$ becomes
 
* doubled at the positive frequencies, and
 
* set to zero at the negative frequencies.
 
  
 +
Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.
  
Due to the asymmetry of $X_+(f)$ with respect to the frequency $f=0$, it can already be said that the time function $x_+(t)$ except for a trivial special case $x_+(t)=0 \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_+(f)=0$ is always complex.
 
<br clear=all>
 
  
===Analytical signal &ndash; Time domain===
+
Zum Spektrum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP&ndash;Signals kommt man, indem man $X_+(f)$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links verschiebt:
At this point it is necessary to briefly discuss another spectral transformation.
+
:$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$
  
{{BlaueBox|TEXT=
+
Im Zeitbereich entspricht diese Operation der Multiplkation von $x_{\rm +}(t)$ mit der komplexen Exponentialfunktion mit negativem Exponenten:
$\text{Definition:}$&nbsp;
+
:$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$
For the '''Hilbert transformed ''' $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ of a time function $x(t)$ we have::
 
  
:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
+
Man erkennt, dass $x_{\rm TP}(t)$ im Allgemeinen komplexwertig ist. Ist aber $X_+(f)$ symmetrisch um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, so ist $X_{\rm TP}(f)$ symmetrisch um die Frequenz $f=0$ und es ergibt sich dementsprechend eine reelle Zeitfunktion $x_{\rm TP}(t)$.  
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
 
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
 
  
This particular integral is not solvable in a simple, conventional way, but must be evaluated using the [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy principal value theorem].
 
  
Accordingly, in the frequency domain:
 
:$$Y(f) =  {\rm -j \cdot sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}
 
  
 +
===$x_{\rm TP}(t)$&ndash;Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen===
  
The above result can be summarized with this definition as follows:
+
In unserem Applet setzen wir stets  einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:
* The analytic signal $x_+(t)$ is obtained from the physical bandpass signal $x(t)$ by adding an imaginary part to $x(t)$ according to the Hilbert transform:
+
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
 +
* Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
 +
*Die Indizes sind an das Modulationsverfahren [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation]] angelehnt. &bdquo;T&rdquo; steht für &bdquo;Träger&rdquo;, &bdquo;U&rdquo; für &bdquo;Unteres Seitenband&rdquo; und &bdquo;O&rdquo; für &bdquo;Oberes Seitenband&rdquo;. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.
  
:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
 
  
*$\text{H}\{x(t)\}$ disappears only for the case $x(t) = \rm const.$.  For all other signal forms, the analytic signal $x_+(t)$ is complex.
+
Das dazugehörige äquivalente Tiefpass&ndash;Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$, &nbsp; $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$ &nbsp;und &nbsp;$f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:
  
 
+
:$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}
* From the analytic signal $x_+(t)$, the physical bandpass signal can be easily determined by the following operation:
+
A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$
:$$x(t) = {\rm Re}\big[x_+(t)\big] .$$
 
  
 
{{GraueBox|TEXT=
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 1:}$&nbsp; The principle of the Hilbert transformation should be further clarified by the following graphic:
+
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
*After the left representation $\rm(A)$ one gets from the physical signal $x(t)$ to the analytic signal $x_+(t)$, by adding an imaginary part ${\rm j} \cdot y(t)$.
+
Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]] des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.
*Here $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$ is a real time function that can be indicated in the spectral domain by multiplying the spectrum $X(f)$ with ${\rm - j} \cdot \sign(f)$.
 
  
 +
[[Datei:Ortskurve_4.png|center|frame|Spektum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP&ndash;Signals für verschiedene Phasenkonstellationen |class=fit]]
  
[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|frame|To clarify the Hilbert transform]]
+
Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:
 +
* Für die Frequenzen gelte stets  $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} =  f_{\rm N}$ und $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} =  -f_{\rm N}$.
 +
*Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
 +
*Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.
  
The right representation $\rm(B)$ is equivalent to $\rm(A)$. Now $x_+(t) = x(t) + z(t)$ stand with the purely imaginary function $z(t)$. A comparison of the two pictures shows that in fact $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$.}}
+
}}
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===Representation of the harmonic oscillation as an analytical signal===
 
  
The spectral function $X(f)$ of a harmonic oscillation $x(t) = A\cdot\text{cos}(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi)$ is known to consist of two dirac functions in the frequencies
 
* $+f_{\rm T}$ with the complex weight $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
 
* $-f_{\rm T}$ with the complex weight $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
 
  
  
Thus, the spectrum of the analytic signal (that is, without the Dirac function at the frequency $f =-f_{\rm T}$, but doubling at $f =+f_{\rm T}$):
+
===Darstellung des äquivalenten TP&ndash;Signals nach Betrag und Phase===
  
:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
+
Das im Allgemeinen komplexwertige äquivalenten TP&ndash;Signal
T}) .$$
+
:$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$
 +
kann entsprechend der hier angegebenen Gleichung in eine Betragsfunktion $a(t)$ und eine Phasenfunktion $\phi(t)$ aufgespalten werden, wobei gilt:
 +
:$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$
  
The associated time function is obtained by applying the [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Displacement law]]:
+
Der Grund dafür, dass man ein Bandpass&ndash;Signal $x(t)$ meist durch das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ beschreibt ist, dass die Funktionen $a(t)$ und $\phi(t)$ in beiden Darstellungen interpretierbar sind:
 
+
*Der Betrag $a(t)$ des äquivalentes TP&ndash;Signals $x_{\rm TP}(t)$ gibt die (zeitabhängige) Hüllkurve von $x(t)$ an.
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
+
*Die Phase $\phi(t)$ von $x_{\rm TP}(t)$ kennzeichnet die Lage der Nulldurchgänge von $x(t)$, wobei gilt:
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
+
:&ndash; &nbsp; Bei $\phi(t)>0$ ist der Nulldurchgang früher als seine Solllage &nbsp; &rArr; &nbsp; das Signal ist hier vorlaufend.
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$
+
:&ndash; &nbsp;Bei $\phi(t)<0$ ist der Nulldurchgang später als seine Solllage &nbsp; &rArr; &nbsp; das Signal ist hier nachlaufend.
 
 
This equation describes a pointer rotating at constant angular velocity $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$.
 
  
 
{{GraueBox|TEXT=
 
{{GraueBox|TEXT=
$\text{Example 2:}$&nbsp; Here the coordinate system is rotated by $90^\circ$ (real part up, imaginary part to the left) contrary to the usual representation.
+
$\text{Beispiel 2:}$&nbsp;
 +
Die Grafik soll diesen Zusammenhang verdeutlichen, wobei $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ vorausgesetzt ist &nbsp; &rArr; &nbsp;  der grüne Zeiger (für das untere Seitenband) ist länger als der blaue Zeiger (oberes Seitenband). Es handelt sich um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt $t_0$:
  
[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|frame|Pointer diagram of a harmonic oscillation]]
+
[[Datei:Ortskurve_3_neu.png|center|frame|Bandpass&ndash;Spektrum $X(f)$ |class=fit]]
  
Based on this graphic, the following statements are possible:
+
*Bei diesen Systemparametern liegt die Spitze des Zeigerverbundes $x_{\rm TP}(t)$ &ndash; also die geometrisch Summe aus rotem, blauem und grünem Zeiger &ndash; auf einer Ellipse.
* At the start time $t = 0$, the pointer of length $A$ (signal amplitude) lies with the angle $-\varphi$ in the complex plane. In the example shown, $\varphi=45^\circ$.
+
* In der linken Grafik schwarz eingezeichnet ist der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ und in brauner Farbe angedeutet ist der Phasenwert $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0.$
* For times $t>0$, the constant angular velocity vector $\omega_{\rm T}$ rotates in a mathematically positive direction, that is, counterclockwise.
+
*In der rechten Grafik gibt der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ des äquivalenten TP&ndash;Signals die Hüllkurve des physikalischen Signals $x(t)$ an.
* The tip of the pointer is thus always on a circle with radius $A$ and needs exactly the time $T_0$, i.e. the period of the harmonic oscillation $x(t)$ for one revolution.
+
* Bei $\phi(t) \equiv 0$ würden alle Nulldurchgänge von $x(t)$ in äquidistenten Abständen auftreten. Wegen $\phi(t_0)  > 0$ ist zum Zeitpunkt $t_0$ das Signal vorlaufend, das heißt: Die Nulldurchgänge kommen früher, als es das Raster vorgibt. }}
* The projection of the analytic signal $x_+(t)$ on the real axis, marked by red dots, gives the instantaneous values of $x(t)$.}}
 
<br><br>
 
  
===Analytical signal representation of a sum of three harmonic oscillations===
 
  
In our applet, we always assume a set of three rotating pointers. The physical signal is:
+
==Versuchsdurchführung==
:$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
+
[[Datei:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
* Each of the three harmonic oscillations $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ and $x_{\rm O}(t)$ is represented by an amplitude $(A)$, a frequency $(f)$ and a phase value $(\varphi)$.
+
*Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
*The indices are based on  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Double sideband Amplitude Modulation]] method. &bdquo;T&rdquo; stands for &bdquo;carrier&rdquo;, &bdquo;U&rdquo; for &bdquo;lower sideband&rdquo; and &bdquo;O&rdquo; for &bdquo;Upper Sideband&rdquo;.
+
*Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
*Similarly, $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ and $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. There are no restrictions for the amplitudes and phases.
+
*Parameterwerte sind angepasst.
 +
*Lösung nach Drücken von &bdquo;Hide solition&rdquo;.
  
  
The associated analytical signal is:
+
Mit der Nummer &bdquo;0&rdquo; wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.
:$$x_+(t) = x_{\rm U+}(t) + x_{\rm T+}(t) + x_{\rm O+}(t) = A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm U})}
 
\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm}A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm T})}
 
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t- \varphi_{\rm O})}. $$
 
  
{{GraueBox|TEXT=
 
$\text{Example 3:}$&nbsp;
 
For example the constellation given here results in the [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#AM-Signale_und_-Spektren_bei_harmonischem_Eingangssignal|double sideband amplitude modulation]] of the message signal $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ with the carrier signal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. This is discussed more frequently in the Exercises.
 
  
  
There are some limitations to the program parameters in this approach:
+
Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$, &nbsp;
* For the frequencies always apply $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$.
+
$\rm Rot$ den Träger &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und
 +
$\rm Blau$ das Obere Seitenband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.
  
*Without distortions the amplitude of the sidebands are $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
+
{{BlaueBox|TEXT=
*The respective phase relationships can be seen in the following graphic.
+
'''(1)''' &nbsp; Es gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
  
[[Datei:Zeigerdiagramm_2_neu.png|center|frame|Spectrum $X_+(f)$ of the analytic signal for different phase constellations |class=fit]]}}
+
:Betrachten und interpretieren Sie das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ und das physikalische Signal $x(t)$. Welche Periodendauer $T_0$ erkennt man?}}
  
==Exercises==
+
::&nbsp;Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Der Betrag $|x_{\rm TP}(t)|$ gibt die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $x(t)$ an. Es gilt mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ und $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$: &nbsp; $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.<br>&nbsp;Sowohl $x_{\rm TP}(t)$ als auch $x(t)$ sind periodisch mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm &micro; s$.
[[Datei:Zeigerdiagramm_aufgabe_2.png|right]]
 
*First select the task number.
 
*A task description is displayed.
 
*Parameter values are adjusted.
 
*Solution after pressing &bdquo;Hide solition&rdquo;.
 
  
  
The number &bdquo;0&rdquo; will reset to the same setting as the program start and will output a text with further explanation of the applet.
 
<br clear=all>
 
In the following, $\rm Green$ denotes the lower sideband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$, &nbsp;
 
$\rm Red$ the carrier &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ and
 
$\rm Blue$ the upper sideband &nbsp; &rArr; &nbsp; $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.
 
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(1)''' &nbsp; Consider and interpret the analytic signal  $x_+(t)$ for $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 50 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$. In addition, $A_{\rm U} = A_{\rm O} = 0$.
+
'''(2)''' &nbsp; Wie ändern sich die Verhältnisse gegenüber '''(1)''' mit $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ und $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$&nbsp;? Wie könnte $x(t)$ entstanden sein?}}
 
 
:Which signal values $x_+(t)$ result for $t = 0$, $t = 5 \ \rm &micro; s$ and $t = 20 \ \rm &micro; s$? How large are the corresponding signal values of $x(t)$? }}
 
 
 
::&nbsp;For a cosine signal $x_+(t= 0) = A_{\rm T} = 1.5\ \text{V}$. Then $x_+(t)$ rotates in a mathematically positive direction (one revolution per period  $T_0 = 1/f_{\rm T}$):
 
  
::&nbsp;$x_+(t= 20 \ {\rm &micro; s}) = x_+(t= 0) =  1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 20 \ {\rm &micro; s}= 1.5\ \text{V,}$  
+
::&nbsp;Für die Hüllkurve $a(t)$ des Signals $x(t)$ gilt weiterhin $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, aber nun mit $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Auch wenn es nicht zu erkennen ist:<br>&nbsp;$x_{\rm TP}(t)$ und $x(t)$ sind weiterhin periodisch: &nbsp; $T_0 = 1\ \rm ms$. Beispiel: Zweiseitenband&ndash;Amplitudenmodulation '''(ZSB&ndash;AM)''' eines Sinussignals mit Cosinus&ndash;Träger.  
::&nbsp;$x_+(t= 5 \ {\rm &micro; s}) =  {\rm j} \cdot 1.5\ \text{V}\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}x(t= 5 \ {\rm &micro; s}) = {\rm Re}[x_+(t= 5 \ {\rm &micro; s})] =  0$.
 
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(2)''' &nbsp; How do the ratios change for $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1.0\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 90^\circ$?}}
+
'''(3)''' &nbsp; Welche Einstellungen müssen gegenüber '''(2)''' geändert werden, um zur ZSB&ndash;AM eines Cosinussignals mit Sinus&ndash;Träger zu gelangen. Was ändert sich gegenüber '''(2)'''?}}
  
::The signal $x(t)$ is now a sine signal with a smaller amplitude. The analytic signal now starts because of $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ at $x_+(t= 0) = -{\rm j} \cdot A_{\rm T}$. <br>After that, $x_+(t)$ rotates again in a mathematically positive direction, but twice as fast because of $T_0 = 10 \ \rm &micro; s$ as in $\rm (1)$.
+
::Die Trägerphase muss auf $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ geändert werden &nbsp; &rArr; &nbsp; Sinus&ndash;Träger. Ebenso muss $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ eingestellt werden &nbsp; &rArr; &nbsp; cosinusförmige Nachricht<br>&nbsp;Die Ortskurve liegt nun auf der imaginären Achse&nbsp; &rArr; &nbsp; $\phi(t) \equiv -90^\circ$. Zu Beginn gilt $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(3)''' &nbsp; Now &nbsp; $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.
+
'''(4)''' &nbsp; Nun gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.  
 
 
:Consider and interpret the physical signal $x(t)$ the analytic signal $x_+(t)$.}}
 
  
::The Signal $x(t)$ results in the double sideband Amplitude Modulation '''(DSB&ndash;AM)''' of the message signals $A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$ with $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$, $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$. The carrier $x_{\rm T}(t)$ with $f_{\rm T} = 100\ \text{kHz}$ is also cosinusoidal. The degree of modulation is $m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 0.8$ and the period $T_{\rm 0} = 50\ \text{&micro;s}$.
+
:Welche Eigenschaften weist dieses System &bdquo;ZSB&ndash;AM, wobei Nachrichtensignal und Träger jeweils cosinusförmig&rdquo; auf? Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?}}
  
::In the phase diagram, the (red) carrier rotates faster than the (green) lower sideband and slower than the (blue) upper sideband. The analytic signal $x_+(t)$ results as the geometric sum of the three rotating hands. It seems that the blue pointer is leading the carrier and the green pointer is following the carrier.
+
::&nbsp;Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; Phase $\phi(t) \equiv 0$.<br>&nbsp;Bis auf den Startzustand $x_{\rm TP}(t=0)$ gleiches Verhalten wie bei der Einstellung '''(1)'''. Der Modulationsgrad ist jeweils $m = 0.8$.  
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(4)''' &nbsp; The settings of task '''(3)''' continue to apply. Which signal values are obtained at $t=0$, $t=2.5 \ \rm &micro; s$, $t= 5 \ \rm &micro; s$ and $t=10 \ \rm &micro; s$? }}
+
'''(5)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. Wie groß ist nun der Modulationsgrad $m$? Welche Konsequenzen hat das?}}
 
 
::At time $t=0$, all pointers are in the direction of the real axis, so that $x(t=0) = {\rm Re}\big [x+(t= 0)\big] =  A_{\rm U} + A_{\rm T} + A_{\rm O}  = 1.8\ \text{V}$.
 
 
 
::Until the time $t=2.5 \ \rm &micro; s$, the red carrier has rotated by $90^\circ$, the blue one by $108^\circ$ and the green one by $72^\circ$. We have $x(t=2.5 \ \rm &micro; s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 2.5 \ \rm &micro; s)\big] = 0$, because now the pointer group points in the direction of the imaginary axis. The other sought signal values are $x(t=5 \ \rm &micro; s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 5 \ \rm &micro; s)\big] = -1.647\ \text{V}$ and $x(t=10 \ \rm &micro; s) = {\rm Re}\big [x_+(t= 10 \ \rm &micro; s)\big] = 1.247\ \text{V}$.
 
::For $x_+(t)$ a spiral shape results, alternating with a smaller radius and then with a larger radius.
 
  
 +
::&nbsp;Es liegt nun eine ZSB&ndash;AM mit Modulationsgrad $m = 1.333$ vor. Bei $m > 1$ ist die einfachere [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]  nicht anwendbar, da nun die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ nicht mehr konstant ist und die Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr mit dem Nachrichtensignal übereinstimmt. Vielmehr muss die aufwändigere  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]] verwendet werden. Bei Hüllkurvendemodulation käme es zu nichtlinearen Verzerrungen.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(5)''' &nbsp; How should the phase parameters $\varphi_{\rm T}$, $\varphi_{\rm U}$ and $\varphi_{\rm O}$ be set if both the carrier $x_{\rm T}(t)$ and the message signal $x_{\rm N}(t)$ are sinusoidal?}}
+
'''(6)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(4)''' bzw. '''(5)''' mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0$ an &nbsp; &rArr; &nbsp; $m \to \infty$. Welches Modulationsverfahren wird so beschrieben?}}
  
::The parameter selection $\varphi_{\rm T} = \varphi_{\rm U} = \varphi_{\rm O}=90^\circ$ describes the signals $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \sin\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t\right)$ and $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t\right)$. If, in addition, the message $x_{\rm N}(t)$ is sinusoidal, then $\varphi_{\rm O}=\varphi_{\rm T} - 90^\circ = 0$ and $\varphi_{\rm U}=\varphi_{\rm T} + 90^\circ = 180^\circ$ must be set.
+
::Es handelt sich um eine '''ZSB&ndash;AM ohne Träger''' und es ist eine eine Synchrondemodulation erforderlich. Das äquivalente TP&ndash;Signal $x_{\rm TP}(t)$ liegt zwar auf der reellen Achse, aber nicht nur in der rechten Halbebene. Damit gilt auch hier für die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, wodurch Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar ist.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(6)''' &nbsp; The settings of task '''(3)''' apply except $A_{\rm T} = 0.6\ \text{V}$. Which modulation method is described here?
+
'''(7)''' &nbsp; Nun gelte &nbsp; $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V},  f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V},  f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz},  \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
 
 
: What are the consequences of this? What changes with $A_{\rm T} = 0$? }}
 
  
::It is a '''DSB&ndash;AM with carrier''' with the modulation degree $m=0.8/0.6 = 1.333$. For $m > 1$, however,  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|synchronous demodulation]] is required. [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|envelope detection]] no longer works.
+
:Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Eigenschaften dieses Verfahrens erkennt man aus der Grafik?}}
  
::With $A_{\rm T} = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $m \to \infty$ results in a '''DSB&ndash;AM suppressed carrier'''.  Also for this you absolutely need the coherent demodulation.
+
::Es handelt es sich um eine [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]] '''(ESB&ndash;AM)''', genauer gesagt um eine '''OSB&ndash;AM''': Der rote Träger liegt fest, der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger (OSB) dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Modulationsgrad ist $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.<br>Die Ortskurve ist ein Kreis. $x_{\rm TP}(t)$ bewegt sich darauf in mathematisch positiver Richtung. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ ist auch hier die Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar: &nbsp;Dies erkennt man daran, dass die Hüllkurve $a(t)$ nicht cosinusförmig ist. Vielmehr ist die untere Halbwelle spitzer als die obere &nbsp; &rArr; &nbsp; starke lineare Verzerrungen.
  
  
 
{{BlaueBox|TEXT=
 
{{BlaueBox|TEXT=
'''(7)''' &nbsp; &nbsp; Now applies &nbsp; $\text{Red:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Green:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0$, &nbsp;  $\text{Blue:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.
+
'''(8)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O}= 0$ und $A_{\rm U}= 0.8 \text{V}$. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}
  
:Which constellation is described here? What changes with $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$ und $A_{\rm O} = 0$?}}
+
::Nun handelt es sich um eine '''USB&ndash;AM''': Der rote Träger liegt fest, der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger (USB) dreht im Uhrzeigersinn. Alle anderen Aussagen von '''(7)''' treffen auch hier zu.
  
::In both cases, it is a [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Single sideband]] '''(ESB&ndash;AM)''' with the modulation degree $\mu = 0.8$ (in ESB we denote the degree of modulation with $\mu$ instead $m$). he carrier signal is cosinusoidal and the message signal is sinusoidal.
 
  
:: $A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm U} = 0$ is an OSB modulation. The green pointer is missing and the blue pointer rotates faster compared to the red carrier.
+
{{BlaueBox|TEXT=
 
+
'''(9)''' &nbsp; Es gelten weiter die Parameter gemäß '''(7)''' mit Ausnahme von $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber '''(7)'''?}}
:: $A_{\rm U} = 0.8\ \text{V}$, $A_{\rm O} = 0$ is a USB modulation. The blue pointer is missing and the green pointer rotates slower compared to the red carrier.
 
  
 +
::Die Ortskurve $x_{\rm TP}(t)$ ist nun keine horizontale Gerade, sondern eine Ellipse mit dem Realteil zwischen $0.4 \text{ V}$ und $1.6 \text{ V}$ sowie dem Imaginärteil im Bereich $\pm 0.2  \text{ V}$. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ würde auch hier die Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen führen<br>Die hier simulierte Konstellation beschreibt die Situation von  '''(4)''', nämlich eine ZSB&ndash;AM mit Modulationsgrad $m = 0.8$, wobei das obere Seitenband aufgrund der Kanaldämpfung auf $50\%$ reduziert wird.
  
{{BlaueBox|TEXT=
 
'''(8)''' &nbsp; Now applies &nbsp; $\text{Red:} \hspace{0.05cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$, &nbsp;  $\text{Green:} \hspace{0.05cm} A_{\rm U} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,  &nbsp;  $\text{Blue:} \hspace{0.05cm} A_{\rm O} = 0.2\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = +90^\circ$.
 
  
:Which constellation could be described here? Which figure is given for the equivalent lowpass&ndash;signal $x_{\rm TP}(t)$? &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;locus&rdquo;?}}
 
  
::It could be a ZSB&ndash;AM of a sinusoidal signal with cosinusoidal carrier and modulation degree $m=0.8$, in which the upper sideband is attenuated by a factor of 2. The equivalent lowpass&ndash;signal $x_{\rm TP}(t)$ has an elliptical course in the complex plane.
+
==Zur Handhabung des Applets==
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[[Datei:Handhabung_verzerrungen.png|center]]
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&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Parametereingabe für das Eingangssignal $x(t)$ per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte
  
 +
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Vorauswahl für die Kanalparameter: per Slider, Tiefpass oder Hochpass
  
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&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Kanalparameter per Slider: Dämpfungsfaktoren und Phasenlaufzeiten
  
==Applet Manual==
+
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Kanalparameter für Hoch&ndash; und Tiefpass: Ordnung $n$, Grenzfrequenz $f_0$
<br>
 
[[Datei:Zeigerdiagramm_abzug.png|right]]
 
  
* The red parameters $(A_{\rm T}, \ f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm T})$  and the red pointer marks the '''T'''räger(wearer).
+
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Matching&ndash;Parameter $k_{\rm M}$ und $\varphi_{\rm M}$
* The green parameters $(A_{\rm U}, \ f_{\rm U} < f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm U})$ marks the '''U'''ntere Seitenband(Lower sideband).
 
* The blue parameters $(A_{\rm O}, \ f_{\rm O} > f_{\rm T}, \ \varphi_{\rm O})$ marks the '''O'''bere Seitenband(upper sideband).
 
*All hands rotate in a mathematically positive direction (counterclockwise).
 
  
<br><br><br><br><br><br><br><br>
+
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der darzustellenden Signale: $x(t)$,  $y(t)$, $z(t)$, $\varepsilon(t)$, $\varepsilon^2(t)$
Meaning of the letters in the adjacent graphic:
 
  
&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Graphic field for the analytic signal $x_{\rm +}(t)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Graphische Darstellung der Signale
  
&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Graphic field for the physical signal $x(t)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Eingabe der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe
  
&nbsp; &nbsp; '''(C)''' &nbsp; &nbsp; Parameter input via slider: amplitudes, frequencies, phase values
+
&nbsp; &nbsp; '''( I )''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe der Signalwerte $x(t_*)$, $y(t_*)$, $z(t_*)$  und $\varepsilon(t_*)$
  
&nbsp; &nbsp; '''(D)''' &nbsp; &nbsp; Control elements: &nbsp; Start &ndash; Step &ndash; Pause/Continue &ndash; Reset
+
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Numerikausgabe des Hauptergebnisses $P_\varepsilon$
  
&nbsp; &nbsp; '''(E)''' &nbsp; &nbsp; Speed of animation: &nbsp; &bdquo;Speed&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp; Value: 1, 2 oder 3
+
&nbsp; &nbsp; '''(K)''' &nbsp; &nbsp; Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen
  
&nbsp; &nbsp; '''(F)''' &nbsp; &nbsp; &bdquo;Trace&rdquo; &nbsp; &rArr; &nbsp;  On or Off, trace of complex signal values $x_{\rm +}(t)$
+
&nbsp; &nbsp; '''(L)''' &nbsp; &nbsp; Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl, Aufgabenstellung und Musterlösung
  
&nbsp; &nbsp; '''(G)''' &nbsp; &nbsp; Numeric output of the time $t$ and the signal values &nbsp;${\rm Re}[x_{\rm +}(t)] = x(t)$&nbsp; and &nbsp;${\rm Im}[x_{\rm +}(t)]$
+
&nbsp; &nbsp; '''(M)''' &nbsp; &nbsp; Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung
  
&nbsp; &nbsp; '''(H)''' &nbsp; &nbsp; Variations for the graphical representation
+
$\hspace{1.5cm}$Zoom&ndash;Funktionen &bdquo;$+$&rdquo; (Vergrößern), &bdquo;$-$&rdquo; (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)
  
$\hspace{1.5cm}$Zoom&ndash;Functions &bdquo;$+$&rdquo; (Enlarge), &bdquo;$-$&rdquo; (Decrease) and $\rm o$ (Reset to default)
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$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; und &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
  
$\hspace{1.5cm}$Move with &bdquo;$\leftarrow$&rdquo; (Section to the left, ordinate to the right),  &bdquo;$\uparrow$&rdquo; &bdquo;$\downarrow$&rdquo; and &bdquo;$\rightarrow$&rdquo;
+
$\hspace{1.5cm}$'''Andere Möglichkeiten''':
  
&nbsp; &nbsp; '''(I)''' &nbsp; &nbsp; Range for the experiment:&nbsp; Task selection and task
+
$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
  
&nbsp; &nbsp; '''(J)''' &nbsp; &nbsp; Range for the experiment:&nbsp; solution
+
$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.
<br clear=all>
 
  
==About the Authors==
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==Über die Autoren==
This interactive calculation was designed and realized at the [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] of the  [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] .
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Dieses interaktive Berechnungstool wurde am [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik] der [https://www.tum.de/ Technischen Universität München] konzipiert und realisiert.
*The original version was created in 2005 by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] as part of her Diploma thesis using  &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
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*Die erste Version wurde 2005 von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Ji_Li_.28Bachelorarbeit_EI_2003.2C_Diplomarbeit_EI_2005.29|Ji Li]] im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
*In 2018 this Applet was redesigned and updated to &bdquo;HTML5&rdquo; by [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] as part of her Bachelor's thesis (Supervisor: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]).
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*2018 wurde dieses Programm  von [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]] im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]]) neu gestaltet und erweitert.
  
==Once again: Open Applet in new Tab==
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==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
  
 
{{LntAppletLink|analPhysSignal}}
 
{{LntAppletLink|analPhysSignal}}
  
 
[[Category:Applets|^Verzerrungen^]]
 
[[Category:Applets|^Verzerrungen^]]

Version vom 30. Juli 2018, 15:53 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen

Programmbeschreibung


Dieses Applet zeigt den Zusammenhang zwischen dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ und dem dazugehörigen äquivalenten Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)$. Ausgegangen wird stets von einem Bandpass–Signal $x(t)$ mit frequenzdiskretem Spektrum $X(f)$:

$$x(t) = x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) + x_{\rm U}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right)+ A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right). $$

Das physikalische Signal $x(t)$ setzt sich also aus drei harmonischen Schwingungen zusammen, einer Konstellation, die sich zum Beispiel bei der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$ ergibt. Die Nomenklatur ist ebenfalls an diesen Fall angepasst:

  • $x_{\rm O}(t)$ bezeichnet das „Obere Seitenband” mit der Amplitude $A_{\rm O}= A_{\rm N}/2$, der Frequenz $f_{\rm O} = f_{\rm T} + f_{\rm N}$ und der Phase $\varphi_{\rm O} = \varphi_{\rm T} + \varphi_{\rm N}$.
  • Entsprechend gilt für das „Untere Seitenband” $x_{\rm U}(t)$ mit $f_{\rm U} = f_{\rm T} - f_{\rm N}$, $A_{\rm U}= A_{\rm O}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$.


Das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  und  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$
Äquivalentes TP–Signal zur Zeit $t=0$ bei cosinusförmigem Träger   ⇒   $\varphi_{\rm T} = 0$

Im Programm dargestellt wird $x_{\rm TP}(t)$ als vektorielle Summe dreier Drehzeiger als violetter Punkt (siehe beispielhafte Grafik für den Startzeitpunkt $t=0$ und cosinusförmigem Träger):

  • Der (rote) Zeiger des Trägers $x_\text{TP, T}(t)$ mit der Länge $A_{\rm T}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm T} = 0$ liegt in der komplexen Ebene fest. Es gilt also für alle Zeiten $t$:   $x_{\rm TP}(t)= A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} }$.
  • Der (blaue) Zeiger des Oberen Seitenbandes $x_\text{TP, O}(t)$ mit der Länge $A_{\rm O}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm O}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ in mathematisch positiver Richtung (eine Umdrehung in der Zeit $1/f_{\rm O}\hspace{0.01cm}')$.
  • Der (grüne) Zeiger des Unteren Seitenbandes $x_{\rm U+}(t)$ mit der Länge $A_{\rm U}$ und der Nullphasenlage $\varphi_{\rm U}$ dreht mit der Winkelgeschwindigkeit $2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'$, wegen $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'<0$ im Uhrzeigersinn (mathematisch negative Richtung).
  • Mit $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = -f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'$ drehen der blaue und der grüne Zeiger gleich schnell, aber in unterschiedlichen Richtungen. Gilt zudem $A_{\rm O} = A_{\rm U}$ und $\varphi_{\rm U} = -\varphi_{\rm O}$, so bewegt sich $x_{\rm TP}(t)$ auf einer Geraden mit einer Neigung von $\varphi_{\rm T}$.


Hinweis:   Die Grafik gilt für $\varphi_{\rm O} = +30^\circ$. Daraus folgt für den Startzeitpunkt $t=0$ der Winkel des blauen Zeigers (OSB) gegenüber dem Koordinatensystem:   $\phi_{\rm O} = -\varphi_{\rm O} = -30^\circ$. Ebenso folgt aus der Nullphanlage $\varphi_{\rm U} = -30^\circ$ des unteren Seitenbandes (USB, grüner Zeiger) für den in der komplexen Ebene zu berücksichtigenden Phasenwinkel:   $\phi_{\rm U} = +30^\circ$.


Den zeitlichen Verlauf von $x_{\rm TP}(t)$ bezeichnen wir im Folgenden auch als Ortskurve. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem physikalischen Bandpass–Signal $x(t)$ wird im Abschnitt ??? angegeben. Der Zusammenhang zwischen $x_{\rm TP}(t)$ und dem dazugehörigen analytischen Signal $x_+(t)$ lautet:

$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t},$$
$$x_{\rm +}(t) = x_{\rm TP}(t)\cdot {\rm e}^{+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$


Englische Beschreibung

Theoretischer Hintergrund


Beschreibungsmöglichkeiten von Bandpass-Signalen

Bandpass–Spektrum $X(f)$

Wir betrachten hier Bandpass-Signale $x(t)$ mit der Eigenschaft, dass deren Spektren $X(f)$ nicht im Bereich um die Frequenz $f = 0$ liegen, sondern um eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Meist kann auch davon ausgegangen werden, dass die Bandbreite $B \ll f_{\rm T}$ ist.

Die Grafik zeigt ein solches Bandpass–Spektrum $X(f)$. Unter der Annahme, dass das zugehörige $x(t)$ ein physikalisches Signal und damit reell ist, ergibt sich für die Spektralfunktion $X(f)$ eine Symmetrie bezüglich der Frequenz $f = 0$. Ist $x(t)$ eine gerade Funktion   ⇒   $x(-t)=x(+t)$, so ist auch $X(f)$ reell und gerade.


Neben dem physikalischen Signal $x(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X(f)$ verwendet man zur Beschreibung von Bandpass-Signalen gleichermaßen:

  • das analytische Signal $x_+(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_+(f)$, siehe Applet Physikalisches Signal & Analytisches Signal,
  • das äquivalente Tiefpass–Signal $x_{\rm TP}(t)\ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ X_{\rm TP}(f)$, wie im nächsten Unterabschnitt beschrieben.



Spektralfunktionen des analytischen und des äquivalenten TP–Signals

Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige analytische Signal $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:

Spektralfunktionen $X_+(f)$ und $X_{\rm TP}(f)$
$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte Signumfunktion ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $-1$.

  • Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$.
  • Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.


Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$: Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird

  • bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
  • bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.


Aufgrund der Unsymmetrie von $X_+(f)$ bezüglich der Frequenz $f = 0$ kann man bereits jetzt schon sagen, dass die Zeitfunktion $x_+(t)$ bis auf einen trivialen Sonderfall $x_+(t)= 0 \ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\ \ X_+(f)= 0$ stets komplex ist.


Zum Spektrum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals kommt man, indem man $X_+(f)$ um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links verschiebt:

$$X_{\rm TP}(f)= X_+(f+f_{\rm T}).$$

Im Zeitbereich entspricht diese Operation der Multiplkation von $x_{\rm +}(t)$ mit der komplexen Exponentialfunktion mit negativem Exponenten:

$$x_{\rm TP}(t) = x_{\rm +}(t)\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \cdot f_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

Man erkennt, dass $x_{\rm TP}(t)$ im Allgemeinen komplexwertig ist. Ist aber $X_+(f)$ symmetrisch um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, so ist $X_{\rm TP}(f)$ symmetrisch um die Frequenz $f=0$ und es ergibt sich dementsprechend eine reelle Zeitfunktion $x_{\rm TP}(t)$.


$x_{\rm TP}(t)$–Darstellung einer Summe aus drei harmonischen Schwingungen

In unserem Applet setzen wir stets einen Zeigerverbund aus drei Drehzeigern voraus. Das physikalische Signal lautet:

$$x(t) = x_{\rm U}(t) + x_{\rm T}(t) + x_{\rm O}(t) = A_{\rm U}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm U}\cdot t- \varphi_{\rm U}\right)+A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t- \varphi_{\rm T}\right)+A_{\rm O}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm O}\cdot t- \varphi_{\rm O}\right). $$
  • Jede der drei harmonischen Schwingungen harmonischen Schwingungen $x_{\rm T}(t)$, $x_{\rm U}(t)$ und $x_{\rm O}(t)$ wird durch eine Amplitude $(A)$, eine Frequenz $(f)$ und einen Phasenwert $(\varphi)$ charakterisiert.
  • Die Indizes sind an das Modulationsverfahren Zweiseitenband–Amplitudenmodulation angelehnt. „T” steht für „Träger”, „U” für „Unteres Seitenband” und „O” für „Oberes Seitenband”. Entsprechend gilt stets $f_{\rm U} < f_{\rm T}$ und $f_{\rm O} > f_{\rm T}$. Für die Amplituden und Phasen gibt es keine Einschränkungen.


Das dazugehörige äquivalente Tiefpass–Signal lautet mit $f_{\rm O}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm O}- f_{\rm T} > 0$,   $f_{\rm U}\hspace{0.01cm}' = f_{\rm U}- f_{\rm T} < 0$  und  $f_{\rm T}\hspace{0.01cm}' = 0$:

$$x_{\rm TP}(t) = x_\text{TP, T}(t) + x_\text{TP, O}(t) + x_\text{TP, U}(t) = A_{\rm T}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm T} } \hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm O}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm O} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm O}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.1cm}+ \hspace{0.1cm} A_{\rm U}\cdot {\rm e}^{-{\rm j} \varphi_{\rm U} } \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f_{\rm U}\hspace{0.01cm}'\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} . $$

$\text{Beispiel 1:}$  Die hier angegebene Konstellation ergibt sich zum Beispiel bei der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation des Nachrichtensignals $x_{\rm N}(t) = A_{\rm N}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm N}\cdot t- \varphi_{\rm N}\right)$ mit dem Trägersignal $x_{\rm T}(t) = A_{\rm T}\cdot \cos\left(2\pi f_{\rm T}\cdot t - \varphi_{\rm T}\right)$. Hierauf wird in der Versuchsdurchführung häufiger eingegangen.

Spektum $X_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals für verschiedene Phasenkonstellationen

Bei dieser Betrachtungsweise gibt es einige Einschränkungen bezüglich der Programmparameter:

  • Für die Frequenzen gelte stets $f\hspace{0.05cm}'_{\rm O} = f_{\rm N}$ und $f\hspace{0.05cm}'_{\rm U} = -f_{\rm N}$.
  • Ohne Verzerrungen sind die Amplitude der Seitenbänder $A_{\rm O}= A_{\rm U}= A_{\rm N}/2$.
  • Die jeweiligen Phasenverhältnisse können der Grafik entnommen werden.



Darstellung des äquivalenten TP–Signals nach Betrag und Phase

Das im Allgemeinen komplexwertige äquivalenten TP–Signal

$$x_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{ {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi(t) }$$

kann entsprechend der hier angegebenen Gleichung in eine Betragsfunktion $a(t)$ und eine Phasenfunktion $\phi(t)$ aufgespalten werden, wobei gilt:

$$a(t) = \vert x_{\rm TP}(t)\vert = \sqrt{ {\rm Re}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] + {\rm Im}^2\big [x_{\rm TP}(t)\big ] }\hspace{0.05cm},$$
$$\phi(t) = \text{arc }x_{\rm TP}(t) = \arctan \frac{{\rm Im}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}{{\rm Re}\big [x_{\rm TP}(t)\big ]}.$$

Der Grund dafür, dass man ein Bandpass–Signal $x(t)$ meist durch das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ beschreibt ist, dass die Funktionen $a(t)$ und $\phi(t)$ in beiden Darstellungen interpretierbar sind:

  • Der Betrag $a(t)$ des äquivalentes TP–Signals $x_{\rm TP}(t)$ gibt die (zeitabhängige) Hüllkurve von $x(t)$ an.
  • Die Phase $\phi(t)$ von $x_{\rm TP}(t)$ kennzeichnet die Lage der Nulldurchgänge von $x(t)$, wobei gilt:
–   Bei $\phi(t)>0$ ist der Nulldurchgang früher als seine Solllage   ⇒   das Signal ist hier vorlaufend.
–  Bei $\phi(t)<0$ ist der Nulldurchgang später als seine Solllage   ⇒   das Signal ist hier nachlaufend.

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik soll diesen Zusammenhang verdeutlichen, wobei $A_{\rm U} > A_{\rm O}$ vorausgesetzt ist   ⇒   der grüne Zeiger (für das untere Seitenband) ist länger als der blaue Zeiger (oberes Seitenband). Es handelt sich um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt $t_0$:

Bandpass–Spektrum $X(f)$
  • Bei diesen Systemparametern liegt die Spitze des Zeigerverbundes $x_{\rm TP}(t)$ – also die geometrisch Summe aus rotem, blauem und grünem Zeiger – auf einer Ellipse.
  • In der linken Grafik schwarz eingezeichnet ist der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ und in brauner Farbe angedeutet ist der Phasenwert $\phi(t_0) = \text{arc }x_{\rm TP}(t_0) > 0.$
  • In der rechten Grafik gibt der Betrag $a(t_0) = \vert x_{\rm TP}(t_0) \vert$ des äquivalenten TP–Signals die Hüllkurve des physikalischen Signals $x(t)$ an.
  • Bei $\phi(t) \equiv 0$ würden alle Nulldurchgänge von $x(t)$ in äquidistenten Abständen auftreten. Wegen $\phi(t_0) > 0$ ist zum Zeitpunkt $t_0$ das Signal vorlaufend, das heißt: Die Nulldurchgänge kommen früher, als es das Raster vorgibt.


Versuchsdurchführung

Zeigerdiagramm aufgabe 2.png
  • Wählen Sie zunächst die Aufgabennummer.
  • Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt.
  • Parameterwerte sind angepasst.
  • Lösung nach Drücken von „Hide solition”.


Mit der Nummer „0” wird auf die gleichen Einstellung wie beim Programmstart zurückgesetzt und es wird ein Text mit weiteren Erläuterungen zum Applet ausgegeben.


Im Folgenden bezeichnet $\rm Grün$ das Untere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm U}, f_{\rm U}, \varphi_{\rm U}\big )$,   $\rm Rot$ den Träger   ⇒   $\big (A_{\rm T}, f_{\rm T}, \varphi_{\rm T}\big )$ und $\rm Blau$ das Obere Seitenband   ⇒   $\big (A_{\rm O}, f_{\rm O}, \varphi_{\rm O}\big )$.

(1)   Es gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

Betrachten und interpretieren Sie das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ und das physikalische Signal $x(t)$. Welche Periodendauer $T_0$ erkennt man?
 Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an   ⇒   Phase $\phi(t) \equiv 0$.
 Der Betrag $|x_{\rm TP}(t)|$ gibt die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $x(t)$ an. Es gilt mit $A_{\rm N} = 0.8\ \text{V}$ und $f_{\rm N} = 20\ \text{kHz}$:   $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$.
 Sowohl $x_{\rm TP}(t)$ als auch $x(t)$ sind periodisch mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 50\ \rm µ s$.


(2)   Wie ändern sich die Verhältnisse gegenüber (1) mit $f_{\rm U} = 99 \ \text{kHz}$ und $f_{\rm O} = 101 \ \text{kHz}$ ? Wie könnte $x(t)$ entstanden sein?

 Für die Hüllkurve $a(t)$ des Signals $x(t)$ gilt weiterhin $a(t) = A_{\rm T}+ A_{\rm N} \cdot \sin(2\pi\cdot f_{\rm N} \cdot t)$, aber nun mit $f_{\rm N} = 1\ \text{kHz}$. Auch wenn es nicht zu erkennen ist:
 $x_{\rm TP}(t)$ und $x(t)$ sind weiterhin periodisch:   $T_0 = 1\ \rm ms$. Beispiel: Zweiseitenband–Amplitudenmodulation (ZSB–AM) eines Sinussignals mit Cosinus–Träger.


(3)   Welche Einstellungen müssen gegenüber (2) geändert werden, um zur ZSB–AM eines Cosinussignals mit Sinus–Träger zu gelangen. Was ändert sich gegenüber (2)?

Die Trägerphase muss auf $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ geändert werden   ⇒   Sinus–Träger. Ebenso muss $\varphi_{\rm O} =\varphi_{\rm U} =\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ eingestellt werden   ⇒   cosinusförmige Nachricht
 Die Ortskurve liegt nun auf der imaginären Achse  ⇒   $\phi(t) \equiv -90^\circ$. Zu Beginn gilt $x_{\rm TP}(t=0)= - {\rm j} \cdot 1.8 \ \text{V}$.


(4)   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, \ f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0.4 \text{V}, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm U} = 0^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.4\ \text{V}, \ f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \ \varphi_{\rm O} = 0^\circ$.

Welche Eigenschaften weist dieses System „ZSB–AM, wobei Nachrichtensignal und Träger jeweils cosinusförmig” auf? Wie groß ist der Modulationsgrad $m$?
 Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ nimmt ausgehend von $x_{\rm TP}(t=0)=1.8\ \text{V}$ auf der reellen Achse Werte zwischen $0.2\ \text{V}$ und $1.8\ \text{V}$ an   ⇒   Phase $\phi(t) \equiv 0$.
 Bis auf den Startzustand $x_{\rm TP}(t=0)$ gleiches Verhalten wie bei der Einstellung (1). Der Modulationsgrad ist jeweils $m = 0.8$.


(5)   Es gelten weiter die Parameter gemäß (4) mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0.6 \text{V}$. Wie groß ist nun der Modulationsgrad $m$? Welche Konsequenzen hat das?

 Es liegt nun eine ZSB–AM mit Modulationsgrad $m = 1.333$ vor. Bei $m > 1$ ist die einfachere Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar, da nun die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$ nicht mehr konstant ist und die Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr mit dem Nachrichtensignal übereinstimmt. Vielmehr muss die aufwändigere Synchrondemodulation verwendet werden. Bei Hüllkurvendemodulation käme es zu nichtlinearen Verzerrungen.


(6)   Es gelten weiter die Parameter gemäß (4) bzw. (5) mit Ausnahme von $A_{\rm T}= 0$ an   ⇒   $m \to \infty$. Welches Modulationsverfahren wird so beschrieben?

Es handelt sich um eine ZSB–AM ohne Träger und es ist eine eine Synchrondemodulation erforderlich. Das äquivalente TP–Signal $x_{\rm TP}(t)$ liegt zwar auf der reellen Achse, aber nicht nur in der rechten Halbebene. Damit gilt auch hier für die Phasenfunktion $\phi(t) \in \{ 0, \ \pm 180^\circ\}$, wodurch Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar ist.


(7)   Nun gelte   $\text{Rot:} \hspace{0.15cm} A_{\rm T} = 1\ \text{V}, f_{\rm T} = 100 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm T} = 0^\circ$,   $\text{Grün:} \hspace{0.15cm} A_{\rm U} = 0, \ f_{\rm U} = 80 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm U} = -90^\circ$,   $\text{Blau:} \hspace{0.15cm} A_{\rm O} = 0.8\ \text{V}, f_{\rm O} = 120 \ \text{kHz}, \varphi_{\rm O} = 90^\circ$.

Welches Konstellation wird hiermit beschrieben? Welche Eigenschaften dieses Verfahrens erkennt man aus der Grafik?
Es handelt es sich um eine Einseitenbandmodulation (ESB–AM), genauer gesagt um eine OSB–AM: Der rote Träger liegt fest, der grüne Zeiger fehlt und der blaue Zeiger (OSB) dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Der Modulationsgrad ist $\mu = 0.8$ (bei ESB bezeichnen wir den Modulationsgrad mit $\mu$ anstelle von $m$). Das Trägersignal ist cosinusförmig und das Nachrichtensignal sinusförmig.
Die Ortskurve ist ein Kreis. $x_{\rm TP}(t)$ bewegt sich darauf in mathematisch positiver Richtung. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ ist auch hier die Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar:  Dies erkennt man daran, dass die Hüllkurve $a(t)$ nicht cosinusförmig ist. Vielmehr ist die untere Halbwelle spitzer als die obere   ⇒   starke lineare Verzerrungen.


(8)   Es gelten weiter die Parameter gemäß (7) mit Ausnahme von $A_{\rm O}= 0$ und $A_{\rm U}= 0.8 \text{V}$. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber (7)?

Nun handelt es sich um eine USB–AM: Der rote Träger liegt fest, der blaue Zeiger fehlt und der grüne Zeiger (USB) dreht im Uhrzeigersinn. Alle anderen Aussagen von (7) treffen auch hier zu.


(9)   Es gelten weiter die Parameter gemäß (7) mit Ausnahme von $A_{\rm O} = 0.2 \text{ V} \ne A_{\rm U} = 0.4 \text{ V} $. Welche Unterschiede ergeben sich gegenüber (7)?

Die Ortskurve $x_{\rm TP}(t)$ ist nun keine horizontale Gerade, sondern eine Ellipse mit dem Realteil zwischen $0.4 \text{ V}$ und $1.6 \text{ V}$ sowie dem Imaginärteil im Bereich $\pm 0.2 \text{ V}$. Wegen $\phi(t) \ne \text{const.}$ würde auch hier die Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen führen
Die hier simulierte Konstellation beschreibt die Situation von (4), nämlich eine ZSB–AM mit Modulationsgrad $m = 0.8$, wobei das obere Seitenband aufgrund der Kanaldämpfung auf $50\%$ reduziert wird.


Zur Handhabung des Applets

Handhabung verzerrungen.png


    (A)     Parametereingabe für das Eingangssignal $x(t)$ per Slider: Amplituden, Frequenzen, Phasenwerte

    (B)     Vorauswahl für die Kanalparameter: per Slider, Tiefpass oder Hochpass

    (C)     Eingabe der Kanalparameter per Slider: Dämpfungsfaktoren und Phasenlaufzeiten

    (D)     Eingabe der Kanalparameter für Hoch– und Tiefpass: Ordnung $n$, Grenzfrequenz $f_0$

    (E)     Eingabe der Matching–Parameter $k_{\rm M}$ und $\varphi_{\rm M}$

    (F)     Auswahl der darzustellenden Signale: $x(t)$, $y(t)$, $z(t)$, $\varepsilon(t)$, $\varepsilon^2(t)$

    (G)     Graphische Darstellung der Signale

    (H)     Eingabe der Zeit $t_*$ für die Numerikausgabe

    ( I )     Numerikausgabe der Signalwerte $x(t_*)$, $y(t_*)$, $z(t_*)$ und $\varepsilon(t_*)$

    (J)     Numerikausgabe des Hauptergebnisses $P_\varepsilon$

    (K)     Abspeichern und Zurückholen von Parametersätzen

    (L)     Bereich für die Versuchsdurchführung: Aufgabenauswahl, Aufgabenstellung und Musterlösung

    (M)     Variationsmöglichkeiten für die grafische Darstellung

$\hspace{1.5cm}$Zoom–Funktionen „$+$” (Vergrößern), „$-$” (Verkleinern) und $\rm o$ (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$Verschieben mit „$\leftarrow$” (Ausschnitt nach links, Ordinate nach rechts), „$\uparrow$” „$\downarrow$” und „$\rightarrow$”

$\hspace{1.5cm}$Andere Möglichkeiten:

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,

$\hspace{1.5cm}$Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

  • Die erste Version wurde 2005 von Ji Li im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
  • 2018 wurde dieses Programm von Xiaohan Liu im Rahmen ihrer Bachelorarbeit (Betreuer: Tasnád Kernetzky) neu gestaltet und erweitert.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen